Zakład Inteligencji Obliczeniowej
Instytut Informatyki PK
Algebra z geometrią: Lista nr 3
Liczby zespolone
Zad.1. Wykonać działania na liczbach zespolonych: a) (2 , − 1) + (1 , 3) · ( − 1 , 4) , d) (1 + 2 i)2 − (1 − 2 i)3 , b) (2 , 9) ,
e) (1 −i)5 − 1 , ( − 1 , 3)
(1+ i)5+1
c) (1 + 3 i)(4 − 5 i) + (2 − 3 i)(4 + 5 i) , f ) 1+5 i + −i − 4 i.
2 −i
2+3 i
Zad.2. Przedstawić liczby w postaci trygonometrycznej i wykładniczej:
√
a) 1 +
3 i,
d) 2 i,
b) 1
√
− 1
√ i,
e) i 2 ,
2
2
c) − 4 ,
f ) 1 −i .
1+ i
Zad.3. Wykazać następujące własności liczb zespolonych: a) Re( z 1 + z 2) = Rez 1 + Rez 2 , f ) arg z 1 = argz
z
1 − argz 2 ,
b) Im( z
2
1 + z 2) = I mz 1 + I mz 2 , g) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 , c) |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |, h) z
1 z 2 = z 1 z 2 , d) z
1 = |z 1 | ,
z
z
2 6= 0 ,
2
|z 2 |
i) |z| 2 = zz.
e) arg( z 1 z 2) = argz 1 + argz 2 , Zad.4. Obliczyć:
a) (2 + i)10 − (1 + i)6 , d) (1 − i)79 ,
√
√
3 12
b) (1+ 3 i)8 ,
e)
− 1 +
i
,
2
2
( − 1 −i)5
√
c) (4 i)128 ,
4
f )
(1 −
3 i)5
√
.
3+ i
1
Zad.5. Obliczyć i przedstawić w postaci a + bi pierwiastki:
√
√
a)
− 4 ,
d) 4 − 4 ,
√
√
b)
− 8 i,
e) 3 i,
√
√
c)
3 − 4 i,
f ) 6 − 64 .
Zad.6. Obliczyć:
a) Re (1+3 i)(1 −i)3 ,
− 4
√
3+ i
c)
,
1+
3 i
√
b) Im (1+ 3 i)5 , d) 3 i + 2(4 − i)3 .
( − 1+ i)2
Zad.7. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu w( z): a) w( z) = z 2 + (1 + 4 i) z − (5 + i) , d) w( z) = z 4 − 30 z 2 + 289 , b) w( z) = z 3 − z + 6 , e) w( z) = z 4 − 2 z 2 + 2 , c) w( z) = z 3 + z − 3 z 2 − 3 , f ) w( z) = z 7 + iz 4 − z 3 − i.
Zad.8. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiory punktów spełniające warunki: a) |z + 5 i| ¬ 1 ∧ Rez > 0 , d) 0 < arg( z 3) < π , 6
b) |z − 2 | = 2 |z − i|, e) z
+ 3 > 1 ∧ Imz ¬ − 2 , i
c) zz + z + z = 0 , f ) Re( z 2 + z) = |z| 2 .
2