Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Automatyka
Krzysztof Marzjan
Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Automatyka
Krzysztof Marzjan
2
Automatyka – ocena pracy UAR, przykłady
Problem 1.
Oceń astatyzm układu względem wymuszenia i zakłócenia. Oblicz uchyb ustalony dla wymuszenia
)
(
1
)
(
t
t
t
u
.
Stosując kryterium Hurwitza, oblicz dla jakiej wartości stałej czasowej T
2
układ jest stabilny.
)
1
;
1
,
0
;
2
(
3
1
T
T
k
Transmitancja uchybowa:
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
)
(
)
(
1
1
)
(
1
2
3
2
2
3
2
2
3
2
1
s
T
k
s
T
sT
s
T
T
s
s
T
k
sT
s
T
s
G
s
G
s
G
OR
R
e
2
1
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
2
1
2
3
2
2
3
2
0
0
0
k
s
s
T
k
s
T
sT
s
T
sT
s
s
u
s
sG
s
se
t
e
e
s
e
s
s
t
u
Transmitancja uchybowo
– zakłóceniowa:
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
)
1
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
3
s
T
k
s
T
sT
kT
s
s
T
k
sT
s
T
s
T
k
s
G
s
G
s
G
s
G
OR
R
R
ez
Wielomian charakterystyc
zny układu zamkniętego:
2
3
2
1
)
1
(
)
1
(
)
(
s
T
sT
s
T
k
s
M
Równanie charakterystyczne:
0
)
(
2
2
1
2
3
2
3
2
3
2
k
s
T
kT
s
T
T
s
T
T
Pojedyncze zero równe 0 w transmitancji
uchybowej oznacza, że układ jest astatyczny
względem wymuszenia z astatyzmem I rzędu,
tzn. uchyb ustalony na wymuszenie liniowe
będzie miał stałą wartość.
Zero równe 0 w transmitancji uchybowo – zakłóceniowej
oznacza, że układ jest astatyczny względem zakłócenia
z astatyzmem I rzędu.
2
1
1
sT
s
T
2
3
)
1
(
s
T
k
+
_
u(s)
y(s)
_
z(s)
3
Automatyka – ocena pracy UAR, przykłady
Po podstawieniu danych liczbowych:
0
2
)
2
,
0
(
2
2
2
2
3
2
s
T
s
T
s
T
z warunku koniecznego:
0
2
T
Warunek wystarczający:
2
0
0
2
2
,
0
2
0
2
2
2
2
2
3
T
T
T
T
Ob
licza się wyznacznik
2
:
0
)
8
,
0
(
2
2
)
2
,
0
(
2
2
,
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
2
3
2
2
T
T
T
T
T
T
T
T
T
kT
k
T
T
T
T
Ostatecznie:
8
,
0
2
T
4
Automatyka – ocena pracy UAR, przykłady
Problem 2.
Oceń astatyzm układu względem wymuszenia i zakłócenia. Oblicz uchyb ustalony dla zakłócenia
)
(
1
)
(
t
t
t
z
.
Stosując kryterium Routha, oblicz dla jakiej wartości współczynnika wzmocnienia k
1
układ jest stabilny.
)
3
;
1
,
0
(
2
T
k
Transmitancja uchybowa:
2
1
2
2
2
2
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
)
(
)
(
1
1
)
(
k
k
Ts
s
Ts
s
Ts
k
s
k
s
G
s
G
s
G
OR
R
e
Transmitancja uchybowo
– zakłóceniowa:
2
1
2
2
2
2
1
2
2
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
k
k
Ts
s
k
s
Ts
k
s
k
Ts
k
s
G
s
G
s
G
s
G
OR
R
R
ez
1
2
2
1
2
2
0
0
0
1
1
)
1
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
k
s
k
k
Ts
s
k
s
s
s
z
s
sG
s
se
t
e
e
s
ez
s
s
t
u
Wielomian charakterystyczny układu zamkniętego:
2
1
2
)
1
(
)
(
k
k
Ts
s
s
M
Równanie charakterystyczne:
0
2
2
1
2
3
2
k
k
s
Ts
s
T
_
z(s)
s
k
1
2
2
1
Ts
k
+
_
y(s)
u(s)
Zero równe 0 w transmitancji uchybowo – zakłóceniowej
oznacza, że układ jest astatyczny względem zakłócenia
z astatyzmem I rzędu, tzn. uchyb ustalony na zakłócenie
liniowe będzie miał stałą wartość.
Pojedyncze zero równe 0 w transmitancji
uchybowej oznacza, że układ jest astatyczny
względem wymuszenia z astatyzmem I rzędu,
5
Automatyka – ocena pracy UAR, przykłady
z warunku koniecznego:
0
1
k
Warunek wystarczający (tablica Routha):
0
0
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
k
k
T
k
k
T
T
k
k
T
T
Aby układ był stabilny wszystkie elementy pierwszej kolumny tablicy Routha muszą być dodatnie, tzn.:
0
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
T
T
T
k
k
T
k
k
T
T
czyli:
7
,
6
2
0
2
1
2
1
2
1
k
T
k
k
T
k
k
6
Automatyka – ocena pracy UAR, przykłady
Problem 3.
Oceń astatyzm układu względem wymuszenia i zakłócenia. Oblicz uchyb ustalony dla zakłócenia
)
(
1
)
(
t
t
z
.
Stosując kryterium Routha, oblicz dla jakiej wartości współczynnika wzmocnienia k układ jest stabilny.
)
5
,
0
;
1
,
0
;
2
(
2
1
T
T
T
Transmitancja uchybowa:
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
)
(
)
(
1
1
)
(
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
s
T
kT
Ts
s
T
T
s
Ts
s
T
T
s
Ts
s
k
s
T
s
T
T
T
s
G
s
G
s
G
OR
R
e
Transmitancja uchybowo
– zakłóceniowa:
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
)
1
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
s
T
kT
Ts
s
T
T
s
s
T
T
k
Ts
s
k
s
T
s
T
T
T
Ts
s
k
s
G
s
G
s
G
s
G
OR
R
R
ez
2
1
1
2
2
1
2
1
0
0
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
T
T
s
T
kT
Ts
s
T
T
s
s
T
T
k
s
G
s
se
t
e
e
s
ez
s
s
t
u
Wielomian charakterystyczny układu zamkniętego:
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
(
2
1
1
2
s
T
Ts
sT
s
T
kT
s
M
Równanie charakterystyczne:
0
)
1
(
)
(
2
2
1
2
1
2
3
2
1
kT
s
kT
T
s
T
T
T
s
T
T
T
_
z(s)
1
1
2
1
1
2
s
T
s
T
T
T
1
Ts
s
k
+
_
y(s)
u(s)
Brak zera równego 0 w transmitancji
uchybowo
– zakłóceniowej oznacza,
że układ jest statyczny względem
zakłócenia, tzn. uchyb ustalony na
zakłócenie skokowe będzie miał stałą
wartość.
Brak zera równego 0 w transmitancji
uchybowo
– zakłóceniowej oznacza,
że układ jest statyczny względem
zakłócenia, tzn. uchyb ustalony na
zakłócenie skokowe będzie miał stałą
wartość.
Pojedyncze zero równe 0
w transmitancji uchybowej
oznacza, że układ jest
astatyczny względem
wymuszenia z astatyzmem
I
rzędu,
7
Automatyka – ocena pracy UAR, przykłady
z warunku koniecznego:
0
k
Warunek wystarczający (tablica Routha):
0
0
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
kT
T
T
T
kT
T
T
T
kT
T
T
T
T
kT
T
T
T
kT
T
T
T
T
Aby układ był stabilny wszystkie elementy pierwszej kolumny tablicy Routha muszą być dodatnie, tzn.:
0
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
T
T
T
kT
T
T
T
T
kTT
T
T
T
kT
T
T
T
kT
T
T
T
T
czyli:
67
,
0
5
,
0
1
,
0
5
,
0
1
,
0
2
5
,
0
2
1
,
0
)
5
,
0
2
(
)
(
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
)
1
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
k
T
T
T
TT
TT
T
T
T
k
T
T
T
T
T
T
TT
T
TT
k
T
T
T
T
T
T
T
k
T
kTT
kT
T
T
T
T
kTT
ostatecznie
67
,
0
k
8
Automatyka – ocena pracy UAR, przykłady
Problem 4.
Oceń astatyzm układu względem wymuszenia i zakłócenia. Oblicz uchyb ustalony dla wymuszenia
)
(
1
)
(
t
t
t
u
.
Stosując kryterium Hurwitza, oblicz dla jakiej wartości stałej czasowej T
1
układ jest stabilny.
)
5
,
1
;
5
(
2
T
k
Transmitancja uchybowa:
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
1
)
(
)
(
1
1
)
(
1
2
1
2
2
1
2
2
1
s
T
k
s
T
T
s
s
T
T
s
s
T
s
sT
k
s
G
s
G
s
G
OR
R
e
0
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
2
1
2
1
2
2
1
2
0
0
0
s
s
T
k
s
T
T
s
s
T
T
s
s
s
u
s
sG
s
se
t
e
e
s
e
s
s
t
u
Transmitancja uchybowo
– zakłóceniowa:
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
)
1
(
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
2
1
2
1
2
1
2
s
T
k
s
T
T
s
T
s
s
T
s
sT
k
s
T
s
s
G
s
G
s
G
s
G
OR
R
R
ez
Wielomian charakterystyczny układu zamkniętego:
)
1
(
)
1
(
)
(
1
2
1
2
s
T
k
s
T
T
s
s
M
Równanie charakterystyczne:
0
1
2
1
3
2
1
k
s
kT
s
T
s
T
T
Podwójne zero równe 0 w transmitancji
uchybowej oznacza, że układ jest astatyczny
względem wymuszenia z astatyzmem II rzędu,
tzn. uchyb ustalony na wymuszenie liniowe
będzie równy zero.
Zero równe 0 w transmitancji uchybowo – zakłóceniowej
oznacza, że układ jest astatyczny względem zakłócenia
z astatyzmem I rzędu.
1
1
1
sT
k
)
1
(
1
2
s
T
s
+
_
u(s)
y(s)
_
z(s)
9
Automatyka – ocena pracy UAR, przykłady
z warunku koniecznego:
0
1
T
Warunek wystarczający:
k
T
kT
k
T
T
T
0
0
0
1
1
2
1
1
3
Oblicza się wyznacznik
2
:
0
)
5
.
1
(
5
5
,
7
5
5
5
5
,
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
T
T
T
T
T
T
T
kT
k
T
T
T
Ostatecznie:
5
,
1
1
T