Wykład 2. Postacie i algebra liczb zespolonych.

Przypomnijmy sobie definicj ˛e liczby zespolonej
(definicja 1.3.2. + rysunek).

2.1. Posta ´

c algebraiczna liczby zespolonej

Posta ´

c algebraiczna liczby zespolonej:

z

= x + iy

, z ∈

C

, x, y ∈

R

oraz i =

√

−1 jest

jednostk ˛

a urojon ˛

a.

Definicja 2.1.1. Sprz ˛e˙zeniem liczby zespolonej
z

= x + iy

(x, y ∈

R

) nazywamy liczb ˛e zespo-

lon ˛

a z o postaci z = x − iy.

Liczba zespolona sprz ˛e ˙zona jest obrazem syme-
trii wzgl ˛edem osi Re z.

Własno´s´

c 2.1.1. Algebra liczb zespolonych

z

1

, z

2

, z

3

∈

C

w postaci algebraicznej:

1. równo´s ´

c dwóch liczb zespolonych

z

1

= z

2

⇔ x

1

= x

2

oraz y

1

= y

2

2. suma liczb zespolonych (rysunek)

z

1

+ z

2

= (x

1

+ x

2

) + i (y

1

+ y

2

)

3. iloczyn liczb zespolonych (rysunek)

z

1

· z

2

= (x

1

x

2

− y

1

y

2

) + i (x

1

y

2

+ x

2

y

1

)

4. dodowanie liczb zespolonych jest przemienne

z

1

+ z

2

= z

2

+ z

1

5. i ł ˛

aczne

(z

1

+ z

2

) + z

3

= z

1

+ (z

2

+ z

3

)

6. istnieje element neutralny 0 = 0 + i0, dla

którego

z

+ 0 = z

7. istnieje liczba przeciwna −z = −x − iy, dla

której

z

+ (−z) = 0

8. mno˙zenie liczb zespolonych jest przemienne

z

1

· z

2

= z

2

· z

1

9. liczba zespolona 1 = 1 + i0 spełnia rów-

no´s ´

c

z

· 1 = z

10. dla dowolnej liczby z = x + iy 6= 0 wyra˙ze-

nie

1

z

=

x

x

2

+ y

2

− i

y

x

2

+ y

2

spełnia równo´s ´

c

z

·

1

z

= 1

Dygresja: liczb ˛e

1

z

mno˙zymy przez wyra˙ze-

nie sprz ˛e ˙zone, tzn.

z

z

·z

11. mno˙zenie liczb zespolonych jest rozdzielne

wzgl ˛edem dodawania (odejmowania)

z

1

· (z

2

+ z

3

) = z

1

· z

2

+ z

1

· z

3

12. ró˙znic ˛e liczb zespolonych zapisujemy w po-

staci

z

1

− z

2

= z

1

+ (−z

2

)

13. iloraz liczb zespolonych okre´slamy jako

z

1

z

2

= z

1

·

1

z

2

= z

1

·

z

2

z

2

· z

2

je ˙zeli z

2

6= 0

2.2. Posta ´

c trygonometryczna liczby zespolonej

Wprowad´zmy dodatkowe poj ˛ecia.
Definicja 2.2.1. Modułem liczby zespolonej
z

= x + iy

(x, y ∈

R

) nazywamy liczb ˛e rzeczywi-

st ˛

a |z| okre´slon ˛

a jako

|z| =

q

x

2

+ y

2

Dygresja: Moduł liczby z to długo´s ´

c odcinka -

odległo´s ´

c punktu z od pocz ˛

atku układu współ-

rz ˛ednych (rysunek). Moduł |z

1

− z

2

| jest długo-

´sci ˛

a odcinka ł ˛

acz ˛

acego punkty z

1

, z

2

.

Własno´s´

c 2.2.1. Wła´sno´sci modułów liczb

z

1

, z

2

, z

3

∈

C

:

1. |z

1

| = |z

1

| = |−z

1

|

2. z

1

· z

1

= |z

1

|

2

3. |z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|

4.





z

1

z

2





=

|z

1

|

|z

2

|

5. |z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|

6. ||z

1

| − |z

2

|| ≤ |z

1

− z

2

|

7. |Re z

1

| ≤ |z

1

|

|Im z

1

| ≤ |z

1

|

8. |Re (z

1

z

2

)

| ≤ |z

1

| |z

2

|

Definicja 2.2.2. Argumentem liczby zespolonej
z

= x + iy 6= 0 (x, y ∈

R

) nazywamy liczb ˛e

φ

∈

R

, która spełnia poni ˙zszy układ równa ´n







cos φ =

x

|z|

sin φ =

y

|z|

.

Definicja 2.2.3. Argumentem głównym liczby
zespolonej nazywamy argument okre´slony przez
definicj ˛e 2.2.2., który jest ograniczony do prze-
działu 0 ≤ φ < 2π (lub −π < φ ≤ π). Argument
główny oznaczamy przez arg z.

Zale ˙zno´s ´

c pomi ˛edzy φ i arg z jest nast ˛epuj ˛

aca:

φ

= arg z + 2kπ,

dla k ∈

Z

Dygresja: Argument liczby zespolonej jest miar ˛

a

k ˛

ata zorientowanego od dodatniej cz ˛e´sci osi

rzeczywistej do wektora wodz ˛

acego tej liczby.

(rysunki z modułem i argumentem)

Własno´s´

c 2.2.2. Je˙zeli z 6= 0 jest dowoln ˛

a liczb ˛

a

zespolon ˛

a to:

1. arg (z) = 2φ − arg z

2. arg (−z) =

(

arg z + π

dla

0 ≤ arg z < π

arg z − π dla π ≤ arg z < 2π

3. arg



1

z



= 2π − arg z

Własno´s´

c 2.2.3. Je˙zeli z

1

, z

2

∈

C

s ˛

a liczbami ze-

spolonymi w postaci trygonometrycznej to:

1. arg (z

1

z

2

) = arg z

1

+arg z

2

+2kπ

dla k = 0

lub k = −1

2. arg



z

n

1



= n arg z + 2kπ

dla k ∈

Z

3. arg



z

1

z

2



= arg z

1

− arg z

2

+ 2kπ

dla k = 0

lub k = −1, o ile z

2

6= 0

Definicja 2.2.4. Ka˙zd ˛

a liczb ˛e zespolon ˛

a z mo˙zna

przedstawi ´

c w postaci

z

= |z| (cos φ + i sin φ) ,

któr ˛

a nazywamy postaci ˛

a trygonometryczn ˛

a. (ry-

sunek)

Własno´s´

c 2.2.4. Algebra liczb zespolonych z

1

, z

2

w postaci trygonometrycznej
(z

1

= |z

1

| (cos φ

1

+ i sin φ

1

) ,

z

2

= |z

2

| (cos φ

2

+ i sin φ

2

)):

1. z

1

= z

2

⇔ |z

1

| = |z

2

| oraz φ

1

= φ

2

+ 2kπ

dla k ∈

Z

- równo´s ´

c liczb

2. z

1

·z

2

= |z

1

| |z

2

| [cos (φ

1

+ φ

2

) + i sin (φ

1

+ φ

2

)]

- iloczyn liczb

3.

z

1

z

2

=

|z

1

|

|z

2

|

[cos (φ

1

− φ

2

) + i sin (φ

1

− φ

2

)] -

iloraz liczb dla zało˙zonej z

2

6= 0.

Dygresja: Mno˙z ˛

ac liczby zespolone w postaci

trygonometrycznej mno˙zymy ich moduły, a ar-
gumenty dodajemy. Dziel ˛

ac liczby zespolonej

w postaci trygonometrycznej dzielimy ich mo-
duły, a argumenty odejmujemy.

2.3. Posta ´

c wykładnicza liczby zespolonej

Definicja 2.3.1. Ka˙zd ˛

a liczb ˛e zespolon ˛

a z ∈

C

mo˙zna zapisa ´

c w postaci

z

= |z| e

iφ

zwan ˛

a postaci ˛

a wykładnicz ˛

a (rysunek), gdzie

|z| jest modułem tej liczby, a φ jest jej argumen-
tem.

Własno´s´

c 2.3.2. Algebra liczb zespolonych z

1

, z

2

w postaci wykładniczej (z

1

= |z

1

| e

iφ

1

,

z

2

= |z

2

| e

iφ

2

):

1. z

1

= z

2

⇔ |z

1

| = |z

2

| oraz φ

1

= φ

2

+ 2kπ

(k ∈

Z

) - równo´s ´

c dwóch liczb

2. z

1

= |z

1

| e

−iφ

1

- liczba sprz ˛e ˙zona

3. −z

1

= |z

1

| e

i

(φ

1

+π)

4. z

n

1

= (|z

1

|)

n

e

i

(nφ)

- pot ˛egowanie liczby

5. z

1

· z

2

= |z

1

| |z

2

| e

i

(φ

1

+φ

2

)

- mno˙zenie liczb

6.

z

1

z

2

=

|z

1

|

|z

2

|

e

i

(φ

1

−φ

2

)

- dzielenie liczb

Przypomnienie - funkcje trygonometryczne

1. Narysuj wszystkie funkcje trygonometryczne

i dokładnie opisz osie wykresu w zakresie
φ

∈ h0, 2πi .

2. Wstaw w tabelk ˛e odpowiednie warto´sci funk-

cji

φ

0

1

6

π

1

4

π

1

3

π

1

2

π

2

3

π

3

4

π

5

6

π

π

sin φ

cos φ

tgφ

ctgφ

φ

7

6

π

5

4

π

4

3

π

3

2

π

10

6

π

7

4

π

11

6

π

2π

sin φ

cos φ

tgφ

ctgφ

3. Przypomnij sobie co to jest koło trygonome-

tryczne? Wypisz wzory redukcyjne.

4. Na ´

cwiczeniach wykorzystuj nast ˛epuj ˛

ace wzory:

cos

2

φ

+sin

2

φ

= 1,

cos

2

φ

−sin

2

φ

= cos 2φ

i wiele innych.

Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.