Ćwiczenie 04 (7). Doświadczenie Stokesa.

str. 1

Ćwiczenie nr 7

Doświadczenie Stokesa

Cel ćwiczenia:

Wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy bardzo lepkiej.

Zagadnienia:

1. Przepływ gazów i cieczy.
2. Pojęcie współczynnika lepkości cieczy i gazów.
3. Wzór Stokes'a.
4. Przegląd wiskozymetrów.

Wprowadzenie:

Ciała poruszające się w cieczach czy gazach podlegają tzw. tarciu wewnętrznemu –
warstwa molekuł cieczy przylega do powierzchni ciała a podczas ruchu pociąga za sobą
warstwy sąsiadujące. W ten sposób doznają siły hamującej określanej powszechnie jako
lepkość. Zjawisko lepkości wykazują wszystkie gazy i ciecze oprócz jednego wyjątku,
którym jest nadciekły hel będący makroskopowym obiektem w kwantowym stanie sku-
pienia określanym jako kondensat Bosego-Einsteina. Lepkość gazów rośnie a lepkość
cieczy maleje wraz ze wzrostem temperatury.

Siłę oporu cieczy lepkiej działającej na kulkę o promieniu r poruszającą się z prędko-
ścią v opisuje wzór Stokes’a:

(1)

gdzie:
v – prędkości kulki,
r – promienia kulki,

– współczynnik zalezny od rodzaju cieczy (i temperatury) nazywany współczynni-

kiem
lepkości cieczy.

Pamiętać należy, że wzór Stokes’a jest słuszny, gdy kulka porusza sie z umiarkowana
prędkością, tzn. taką, gdy przepływ jest laminarny, czyli warstwowy, pozbawiony tur-
bulencji, czyli wirów oraz gdy objętość cieczy jest nieograniczona.
Gdy rozważyć ruch wzdłuż cylindra o promieniu R wzór Stokes’a (

1

) przybierze postać:

(2)

Wzór (1) lub (2) umożliwia doświadczalne wyznaczenie współczynnika lepkości, bo-
wiem ze wzoru (2) otrzymujemy

Ćwiczenie 04 (7). Doświadczenie Stokesa.

str. 2

Jak się wydaje większość wielkości występujących w powyższym wzorze jest łatwa do
zmierzenia a trudności możemy się jedynie spodziewać przy pomiarze wartości siły
Stokes’a. Rozważmy jednak cylinder z cieczą, w której porusza się, swobodnie spada-
jąc, kulka. Działają na nią trzy siły (Rys. 1):

 wymieniona już siła Stokes’a działająca przeciwnie do kierunku ruchu, czyli w

tym wypadku do góry,

 siła ciężkości skierowana w dół:

gdzie:
m jest masa kulki, g przyspieszeniem ziemskim, V objętością kulki, r promieniem kul-
ki,

ρ gęstością materiału kulki.

Rys. 1.

Schemat układu pomiarowego wraz z przedstawieniem sił działających na opadającą w

cieczy kulkę. Siły te są przyłożone do środka masy kulki, na rysunku siły Ft i Fw są odsunięte
nieco na bok dla większej poglądowości, ponadto średnica kulki w stosunku do średnicy naczy-
nia jest przedstawiona ze znaczna przesada

Ćwiczenie 04 (7). Doświadczenie Stokesa.

str. 3

 oraz siła wyporu zwana tez siła Archimedesa skierowana ku górze

gdzie: mc jest masa wypartej cieczy,

gęstością cieczy.

Jeśli warunki są odpowiednie to po wrzuceniu kulki do cieczy i przebyciu dość krótkiego od-
cinka zaczyna ona poruszać się ruchem jednostajnym z pewną graniczną prędkością zależną
oczywiście od rozmiaru kulek. Ruch ze stałą prędkością pociąga za sobą, jak to wynika z zasad
dynamiki Newtona, warunek równoważenia się sił, co możemy zapisać jako

Ft + Fw − Fg = 0,

oraz

Ft = Fg − Fw. (4)

Podstawiając za Ft z równania (4) do równania (3) otrzymujemy

I dalej podstawiwszy za siłę ciężkości i siłę wyporu odpowiednie wyrażenia otrzymu-
jemy

skąd otrzymujemy

i upraszczając ułamek

Można jeszcze dokonać drobnych przekształceń wynikających z praktycznej strony
pomiarów. Prędkość wyznaczamy często jako stosunek przebytej drogi do czasu v = l/ t
ponadto łatwiej jest zmierzyć bezpośrednio średnicę kulki niż jej promień r = d/2.
Wstawiając te wyrażenia do wzoru

otrzymujemy

oraz

Ćwiczenie 04 (7). Doświadczenie Stokesa.

str. 4

Zakładając, że cylinder ma znacznie większą średnicę niż kulka wyrażenie

staje się

bliskie zeru a równanie przyjmie jeszcze prostszą postać

Równanie (11) oraz układ pomiarowy zgodny z Rys. 1. wykorzystany będzie do pomia-
rów. Na cylindrze zaznaczone są poziomy:

A – poziom powierzchni cieczy,

B – na tym poziomie prędkość kulki osiąga stałą wartość; poziom zaznaczony orienta-
cyjnie - nie znamy jego konkretnego położenia,

C – poziom na głębokości l

o

, odpowiednik poziomu B wzięty z takim zapasem, by z

całą pewnością był spełniony warunek stałej prędkości,

D – poziom nad dnem cylindra, na poziomie którego kulka jeszcze porusza się jedno-
stajnie.

W ćwiczeniu, do gliceryny spuszczamy z pewnej wysokości h metalowe kulki (ołów,
cyna, stal) o promieniu r. Kulka wpada do cieczy z pewną prędkością początkową, któ-
ra w miarę opadania maleje lub rośnie aż do osiągnięcia wartości granicznej v, z którą
dalej opada na odcinku BD. Tę prędkość wyznaczamy poprzez pomiar czasu t opadania
kulki na drodze l (CD).

Pomiary.

1. Zmierzyć gęstość cieczy

ρ

c

przy pomocy areometru oraz temperaturę otoczenia,

określić niepewności pomiarowe. W tablicach odszukać gęstości materiałów, z ja-
kich wykonane są kulki oraz wartość przyspieszenia ziemskiego. Ustalić ich nie-
pewności pomiarowe. Zapisać wartości w tabeli (wg wzoru, Tabela. 2.).

2. Linijką zmierzyć długość l odcinka CD cylindra miarowego z gliceryną, określić

niepewność pomiarową.

3. Zmierzyć średnicę 2r kulki, określić niepewność pomiarową.

4. Spuścić kulkę z niewielkiej wysokości (mniej więcej takiej samej dla wszystkich

kulek) do gliceryny i zmierzyć czas opadania kulki t na odcinku CD, określić nie-
pewność pomiarową.

5. Pomiary 3. – 4. wykonać dla 10 kulek stalowych i 10 ołowianych.

6. Wyniki zapisać w Tabeli.1.

Wyniki pomiarów. Należy sporządzić oddzielne tabele dla każdego rodzaju kulek.

Ćwiczenie 04 (7). Doświadczenie Stokesa.

str. 5

Tabela 1.

Lp.

l [m]

2r [m]

r [m]

t [s]

ms

kg

ms

kg

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Niepewność

maksymalna

Δl =

Δ2r =

Δr =

Δt =

=

n

i

i

1

Tabela 2. Pomiary dodatkowe i dane tablicowe.

Gęstość cieczy, niepewność maksymalna, typ areometru, zakres

ρ

c

[kg m

-3

]

Temperatura pomiarów, niepewność maksymalna, przyrząd

t

p

[

0

C]

Gęstość stali, niepewność maksymalna, źródło

ρ

ks

[kg m

-3

]

Gęstość ołowiu, niepewność maksymalna, źródło

ρ

ko

[kg m

-3

]

Przyspieszenie ziemskie, niepewność maksymalna, źródło

g [m s

-2

]

Uwaga: w Tabeli 2. wpisywać dane liczbowe w postaci wartość ± niepewność.

Opracowanie wyników

1. Dla każdego pomiaru obliczamy współczynnik lepkości, wyniki zapisujemy w Ta-

beli 1.

2. Obliczyć wartość średnią współczynnika lepkości oraz błąd przeciętny ze wzoru

3. Dla jednego z pomiarów obliczyć niepewność maksymalna wg wzoru

Ćwiczenie 04 (7). Doświadczenie Stokesa.

str. 6

Ćw.4. (7). Doświadczenie Stokesa

Protokół pomiarowy

Ćw. 7.

Laboratorium z fizyki

Rok akadem.:

Temat:

Doświadczenie Stokesa

Kierunek:

Grupa:

Imię i Nazwisko:

Ocena

Data Zaliczenia

Podpis

L

S

K

Tabela 1

. Wyniki pomiarów. Należy sporządzić oddzielne tabele dla każdego rodzaju kulek.

Lp.

l [m]

2r [m]

r [m]

t [s]

ms

kg

ms

kg

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Niepewność

maksymalna

Δl =

Δ2r =

Δr =

Δt =

=

n

i

i

1

Tabela 2. Pomiary dodatkowe i dane tablicowe.

Gęstość cieczy, niepewność maksymalna, typ areometru, zakres

ρ

c

[kg m

-3

]

Temperatura pomiarów, niepewność maksymalna, przyrząd

t

p

[

0

C]

Gęstość stali, niepewność maksymalna, źródło

ρ

ks

[kg m

-3

]

Gęstość ołowiu, niepewność maksymalna, źródło

ρ

ko

[kg m

-3

]

Przyspieszenie ziemskie, niepewność maksymalna, źródło

g [m s

-2

]