Niezawodno

ść

konstrukcji

Plan wykładów

• Niepewno

ść

w budownictwie

• Zmienne losowe
• Symulacje (metoda Monte Carlo)
• Procedury analizy niezawodno

ś

ciowej

1

• Procedury analizy niezawodno

ś

ciowej

• Opracowywanie norm
• Modele obci

ąż

e

ń

i no

ś

no

ś

ci

• Niezawodno

ść

układów konstrukcyjnych

Cel wykładów

Odpowied

ź

na nast

ę

puj

ą

ce pytania:

• Jak mo

ż

na mierzy

ć

bezpiecze

ń

stwo konstrukcji ?

• Jakie bezpiecze

ń

stwo jest dostateczne ?

• W jaki sposób projektant zapewnia konstrukcji

optymalny poziom bezpiecze

ń

stwa ?

2

Mo

ż

liwe zastosowania

:

• Racjonalne projektowanie nowych konstrukcji
• Ocena istniej

ą

cych konstrukcji

• Opracowywanie norm projektowych

Techniki symulacyjne

(metoda Monte Carlo)

wyniki
bada

ń

histogram

3

specjalne

techniki

wybór losowy dokonany
za pomoc

ą

specjalnych technik

Aby rozwi

ą

za

ć

bardziej zło

ż

one zadanie

wybierz losowe wyniki bada

ń

i wykorzystaj je z pozostałymi danymi.

Przykład

Rozwa

ż

my pomiary wytrzymało

ś

ci na

ś

ciskanie f’c

cylindrycznej próbki betonowej. Załó

ż

my,

ż

e na podstawie

wyników bada

ń

sporz

ą

dzono histogram cz

ę

sto

ś

ci.

Rozwa

ż

my słup betonowy. Jego no

ś

no

ść

(zdolno

ść

4

Rozwa

ż

my słup betonowy. Jego no

ś

no

ść

(zdolno

ść

przeniesienia sił

ś

ciskaj

ą

cych) wynosi 0,85 f’

c

A

c

.

Załó

ż

my,

ż

e przyło

ż

one obci

ąż

enie Q ma rozkład normalny

o warto

ś

ci

ś

redniej

i współczynniku zmienno

ś

ci v

Q

.

Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo awarii słupa P

f

?

Q

Przykład (c.d.)

Zachowanie si

ę

konstrukcji mo

ż

na opisa

ć

za pomoc

ą

nast

ę

puj

ą

cej funkcji:

gdzie:

Prawdopodobie

ń

stwo awarii jest prawdopodobie

ń

stwem

tego,

ż

e:

Q

R

Y

−

=

c

'

c

A

f

85

,

0

R

=

Q

R

<

5

tego,

ż

e:

czyli:

Je

ż

eli rozkład Q jest normalny natomiast rozkład R jest

n.p. logarytmiczno-normalny, wtedy znalezienie dokładnego
rozwi

ą

zania jest bardzo trudne. Mo

ż

na je jednak rozwi

ą

za

ć

w przybli

ż

eniu stosuj

ą

c symulacje Monte Carlo.

Q

R

<

(

) (

)

0

Q

R

P

0

Y

P

P

f

<

−

=

<

=

Procedura metody Monte Carlo

1. Wygeneruj losowo warto

ść

f’

c

oraz oblicz

2. Wygeneruj losowo warto

ść

zmiennej Q zgodnie

z jej rozkładem prawdopodobie

ń

stwa.

c

'

c

A

f

85

,

0

R

=

6

3. Oblicz

4. Zachowaj obliczon

ą

warto

ść

zmiennej Y.

5. Powtarzaj kroki 1

÷

4 a

ż

liczba wygenerowanych warto

ś

ci

zmiennej Y b

ę

dzie dostateczna (n.p. tysi

ą

ce lub miliony).

Q

R

Y

−

=

Generowanie liczb losowych

o rozkładzie równomiernym

Znaj

ą

c warto

ść

liczby losowej U o rozkładzie równomiernym

w przedziale < 0, 1 > mo

ż

na wygenerowa

ć

liczb

ę

losow

ą

X

o rozkładzie równomiernym w przedziale < a, b >,
stosuj

ą

c wzór:

(

)

u

a

b

a

x

−

+

=

7

(

)

u

a

b

a

x

−

+

=

Generowanie liczb losowych

o rozkładzie normalnym

Aby wygenerowa

ć

liczby losowe

o rozkładzie normalnym
standaryzowanym z

1

, z

2

, ..., z

n

nale

ż

y najpierw wygenerowa

ć

odpowiadaj

ą

ce im liczby losowe

o rozkładzie równomiernym

( )

z

u

Φ

=

8

o rozkładzie równomiernym
u

1

, u

2

, ..., u

n

z przedziału <0, 1>

a nast

ę

pnie obliczy

ć

:

gdzie

Φ

-1

jest odwrotno

ś

ci

ą

dystrybuanty rozkładu
normalnego standaryzowanego.

( )

i

1

i

u

z

−

Φ

=

( )

u

z

1

−

Φ

=

i

u

i

z

Generowanie liczb losowych

o rozkładzie normalnym

Załó

ż

my,

ż

e dany jest rozkład zmiennej losowej X

o warto

ś

ci

ś

redniej i odchyleniu standardowym

µ

x

.

Podstawowy zwi

ą

zek mi

ę

dzy zmienn

ą

X a zmienn

ą

standaryzowan

ą

Z jest nast

ę

puj

ą

cy:

x

9

Zatem, danej warto

ś

ci z

i

, odpowiada warto

ść

x

i

,

któr

ą

mo

ż

na obliczy

ć

nast

ę

puj

ą

co:

X

Z

x

X

µ

+

=

X

i

i

z

x

x

µ

+

=

Przykład

Obci

ąż

enie stałe konstrukcji G jest zmienn

ą

losow

ą

o rozkładzie normalnym, o warto

ś

ci

ś

redniej = 20 kN/m

i współczynniku zmienno

ś

ci v

G

= 10%.

(Funkcj

ę

g

ę

sto

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa przedstawiono ni

ż

ej.)

Wygenerowa

ć

10 warto

ś

ci zmiennej losowej G.

u

i

z

i

G

i

-------------------------------------------

f

G

10

-------------------------------------------
0,050203

-1,642888

16,71

0,619129

0,303194

20,61

0,872402

1,137819

22,28

0,376568

-0,314508

19,37

0,139927

-1,080648

17,84

0,318491

-0,471923

19,06

0,987671

2,246725

24,49

0,033265

-1,834833

16,33

0,234626

-0,723696

18,55

0,623157

0,313782

20,63

f

G

10

30

20

Generowanie liczb losowych

o rozkładzie logarytmiczno-normalnym

X jest zmienn

ą

losow

ą

o rozkładzie logarytmiczno-normalnym,

o warto

ś

ci

ś

redniej i odchyleniu standardowym

µ

X

.

Aby wygenerowa

ć

warto

ść

x

i

, nale

ż

y najpierw wygenerowa

ć

warto

ść

u

i

o rozkładzie równomiernym w przedziale <0, 1>,

nast

ę

pnie obliczy

ć

:

( )

i

1

i

u

z

−

Φ

=

x

11

[

]

X

i

X

i

z

x

x

ln

ln

exp

µ

+

=

(

)

0,20

v

v

1

v

ln

X

2
X

2
X

2

X

ln

dla

<

≈

+

=

µ

0,20

v

)

x

ln(

2

1

)

x

ln(

x

X

2

X

ln

X

ln

dla

<

≈

−

=

µ

i ostatecznie:

gdzie:

a w przybli

ż

eniu:

[

]

X

i

i

v

z

exp

x

x

=

Ogólna procedura generowania

liczb losowych o dowolnym rozkładzie

Rozwa

ż

my zmienna losow

ą

X o dystrybuancie F

X

(x).

Aby wygenerowa

ć

jej warto

ść

x

i

, nale

ż

y:

1. Wygenerowa

ć

losow

ą

warto

ść

u

i

na podstawie

rozkładu równomiernego w przedziale < 0, 1 >.

12

rozkładu równomiernego w przedziale < 0, 1 >.

2. Obliczy

ć

warto

ść

losow

ą

x

i

ze wzoru:

gdzie F

X

-1

jest odwrotno

ś

ci

ą

F

X

.

( )

i

1

X

i

u

F

x

−

=

Przykład

Dany jest wspornik drewniany. Stosuj

ą

c metod

ę

Monte Carlo,

wyznaczy

ć

warto

ść

ś

redni

ą

i odchylenie standardowe

momentu zginaj

ą

cego M wyst

ę

puj

ą

cego w odległo

ś

ci 1,5 m

od jego swobodnego ko

ń

ca.

Obci

ąż

enia P i w s

ą

niezale

ż

nymi zmiennymi losowymi

o rozkładach normalnych i nast

ę

puj

ą

cych parametrach:

= 20 kN,

= 1 kN/m

P

w

13

l = 1,5 m

= 20 kN,

= 1 kN/m

µ

P

= 2 kN,

µ

w

= 0,1 kN/m

P

w

Przykład (c.d.)

Ze statyki, moment zginaj

ą

cy M w rozpatrywanym przekroju

wynosi:

Poniewa

ż

P i w s

ą

zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych

a moment M jest ich funkcj

ą

liniow

ą

, zatem moment M

tak

ż

e jest zmienn

ą

losow

ą

o rozkładzie normalnym

w

125

,

1

P

5

,

1

2

wl

Pl

M

2

−

=

−

=

14

tak

ż

e jest zmienn

ą

losow

ą

o rozkładzie normalnym

o warto

ś

ci

ś

redniej i odchyleniu standardowym:

kNm

875

,

28

w

125

,

1

P

5

,

1

M

=

−

=

(

) (

)

kNm

0

,

3

125

,

1

5

,

1

2

w

2

P

M

=

+

=

µ

µ

µ

Przykład (c.d.)

Dla ka

ż

dej zmiennej wygenerowano po pi

ęć

liczb losowych:

u

i

z

i

P

i

= 20 + 2z

i

-----------------------------------------------------
0,050203

-1,642888

16,71

0,619129

0,303194

20,61

0,872402

1,137819

22,28

0,376568

-0,314508

19,37

X

i

i

z

x

x

µ

+

=

15

0,376568

-0,314508

19,37

0,139927

-1,080648

17,84

u

i

z

i

w

i

= 1 + 0,1z

i

-----------------------------------------------------
0,318491

-0,471923 0,95

0,987671

2,246725 1,22

0,033265

-1,834833 0,82

0,234626

-0,723696 0,93

0,623157

0,313782 1,03

Przykład (c.d.)

Nast

ę

pnie, na podstawie 5 zbiorów danych {P

i

, w

i

}

obliczono 5 warto

ś

ci momentu M:

otrzymuj

ą

c nast

ę

puj

ą

ce wyniki:

i

i

i

w

125

,

1

P

5

,

1

M

−

=

16

kNm

9

,

27

M

5

1

M

5

1

i

i

=

=

∑

=

kNm

3

,

3

1

5

)

M

(

5

M

2

5

1

i

2

i

M

=

−

−













=

∑

=

µ

M

i

[kNm]

------------

24,00
29,53
32,49
28,01
25,60

Losowanie „Latin Hypercube”

(

)

k

1

X

,

,

X

f

Y

K

=

Zredukowana liczba symulacji

• Podzieli

ć

przedział ka

ż

dej zmiennej X

i

na N podprzedziałów

( tak aby prawdopodobie

ń

stwo trafienia w ka

ż

dy z nich = 1/N ).

• Dla ka

ż

dej X oraz dla ka

ż

dego podprzedziału, wybra

ć

warto

ść

17

• Dla ka

ż

dej X

i

oraz dla ka

ż

dego podprzedziału, wybra

ć

warto

ść

reprezentatywn

ą

( warto

ść

ś

rodkow

ą

).

• Istnieje N

k

mo

ż

liwych kombinacji ich wyboru. Dokona

ć

pierwszego, losuj

ą

c po jednej warto

ś

ci dla ka

ż

dej X

i

.

• Dokona

ć

kolejnych wyborów, tak aby ka

ż

da warto

ść

pojawiała si

ę

tylko raz w N kombinacjach.

Losowanie „Latin Hypercube”

Powstanie N kombinacji ( x

1

, x

2

, ... x

k

).

• warto

ść

ś

rednia Y

N

y

Y

N

1

i

i

∑

=

=

( )

N

∑

18

• m-ty moment Y

• dystrybuanta

( )

N

y

Y

N

1

i

m

i

m

∑

=

=

( ) (

)

N

y

y

y

F

i

Y

razy

ile

<

=

Metoda estymacji „Rosenblueth 2K+1 point”

(

)

K

1

X

,

,

X

f

Y

K

=

• Dla ka

ż

dej zmiennej X

i

obliczy

ć

warto

ść

ś

redni

ą

i odchylenie standardowe

• Obliczy

ć

:

(

)

x

,

x

,

x

f

y

2

1

0

K

=

i

x

i

X

µ

19

• Dla ka

ż

dej zmiennej X

i

obliczy

ć

:

(

)

K

x

,

x

,

x

f

y

2

1

0

K

=

(

)

k

X

i

1

i

x

,

,

x

,

,

x

f

y

i

K

K

µ

+

=

+

(

)

k

X

i

1

i

x

,

,

x

,

,

x

f

y

i

K

K

µ

−

=

−

Metoda estymacji „Rosenblueth 2k+1 point”

• Dla ka

ż

dej zmiennej X

i

obliczy

ć

2

y

y

y

i

i

i

−

+

+

=

−

+

−

+

+

−

=

i

i

i

i

y

y

y

y

y

v

i

20

• Obliczy

ć

warto

ść

ś

redni

ą

i wska

ź

nik zmienno

ś

ci dla Y

∏

=













=

k

1

i

0

i

0

y

y

y

Y

(

)

1

v

1

y

v

k

1

i

2
Y

0

Y

i

−













+

=

∏

=

Analiza bezpiecze

ń

stwa konstrukcji

• Stan graniczny

• Przypadek podstawowy

• Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

21

• Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

• Procedura Rackwitza-Fiesslera

• Podsumowanie procedur analizy niezawodno

ś

ciowej

Stany graniczne

Definicja awarii

Konstrukcja ulega awarii, je

ż

eli nie jest w stanie

spełnia

ć

swojej funkcji. Jaka jest ta funkcja ?

Przykład:

22

Przykład:

• Konstrukcja ulega awarii, je

ż

eli napr

ęż

enia

przekraczaj

ą

wytrzymało

ść

( ale nie zawsze jest to prawd

ą

).

• Konstrukcja ulega awarii, je

ż

eli M > W

x

f

y

( chocia

ż

nadal istnieje pewien zapas bezpiecze

ń

stwa ).

Definicja awarii

Awaria powinna by

ć

jasno zdefiniowana.

Przykład:

Rozwa

ż

my belk

ę

stalow

ą

walcowan

ą

na zimno,

swobodnie podpart

ą

23

• Belka ulegnie awarii, gdy strzałka ugi

ę

cia przekroczy

warto

ść

krytyczn

ą

δ

krytyczne

przegub plastyczny

Definicja awarii

• Belka stalowa mo

ż

e ulec awarii na skutek powstania

przegubu plastycznego, globalnej utraty stateczno

ś

ci

lub lokalnego wyboczenia.

σ

max

24

M

krytyczny

σ

max

napr

ęż

enia

odkształcenia

Stany graniczne

Rozpatruje si

ę

trzy stany graniczne

• stan graniczny no

ś

no

ś

ci

25

• stan graniczny u

ż

ytkowalno

ś

ci

• stan graniczny zm

ę

czenia

Stany graniczne no

ś

no

ś

ci

Odnosz

ą

si

ę

do utraty przez konstrukcj

ę

zdolno

ś

ci

przenoszenia obci

ąż

e

ń

• przekroczenie maksymalnego momentu zginaj

ą

cego

• powstanie przegubu plastycznego

26

• powstanie przegubu plastycznego

• zgniecenie betonu

ś

ciskanego

• zniszczenie przy

ś

cinaniu

ś

rodnika belki stalowej

• globalna utrata stateczno

ś

ci

• wyboczenie

ś

rodnika lub półki

• zerwanie spoiny

Stany graniczne u

ż

ytkowalno

ś

ci

Odnosz

ą

si

ę

do spełnienia przez konstrukcj

ę

jej funkcji

• zarysowanie betonu

• ugi

ę

cie

• drgania

27

• drgania

• trwałe odkształcenie

Stany graniczne u

ż

ytkowalno

ś

ci

• Zarysowanie

pr

ę

t zbrojeniowy

28

Jakie zarysowanie jest dopuszczalne ?
Czy dopuszczalne jest zarysowanie o okre

ś

lonych rozmiarach ?

Długo

ś

ci ? Szeroko

ś

ci ?

Zarysowanie w belce

ż

elbetowej.

Stany graniczne u

ż

ytkowalno

ś

ci

• Ugi

ę

cia

• Przyjmowane ograniczenia s

ą

subiektywne,

zale

ż

ne od ludzkiej percepcji.

• W przypadku budynków, widoczne ugi

ę

cia

s

ą

niedopuszczalne - nawet wtedy, gdy konstrukcja

29

s

ą

niedopuszczalne - nawet wtedy, gdy konstrukcja

jest bezpieczna pod wzgl

ę

dem wytrzymało

ś

ciowym.

• W przypadku belek stropowych, za ugi

ę

cia dopuszczalne

przyjmuje si

ę

L/200, gdzie L - rozpi

ę

to

ść

prz

ę

sła.

Stany graniczne u

ż

ytkowalno

ś

ci

• Drgania

• Trudne do oceny ilo

ś

ciowej.

• W przypadku budynków, silne drgania

nie s

ą

tolerowane przez u

ż

ytkowników.

• W przypadku mostów nie u

ż

ytkowanych

30

• W przypadku mostów nie u

ż

ytkowanych

przez pieszych, wstrz

ą

sy s

ą

tolerowane.

Stany graniczne u

ż

ytkowalno

ś

ci

• Wa

ż

ne pytania

• Jakie drgania i ugi

ę

cia s

ą

dopuszczalne ?

• Jak cz

ę

sto stany graniczne u

ż

ytkowalno

ś

ci

mog

ą

by

ć

przekraczane ?

• Jak mierzy

ć

drgania ?

31

• Jak mierzy

ć

drgania ?

Stany graniczne u

ż

ytkowalno

ś

ci

• Odkształcenia trwałe

•

Kumulacja ugi

ęć

trwałych mo

ż

e doprowadzi

ć

do problemów u

ż

ytkowania

32

Powstanie zagi

ę

cia w ci

ą

głej belce stalowej

zagi

ę

cie

Stany graniczne zm

ę

czenia

• Odnosz

ą

si

ę

do kumulacji zniszczenia

oraz ewentualnej awarii na skutek
powtarzaj

ą

cych si

ę

obci

ąż

e

ń

• Elementy konstrukcyjne mog

ą

ulec awarii

pod wpływem obci

ąż

e

ń

ni

ż

szych ni

ż

dopuszczalne

33

•

Formułowanie stanu granicznego zniszczenia
dla konstrukcji stalowych i

ż

elbetowych

•

Kryteria dopuszczalno

ś

ci

•

Praktyczne kryteria projektowania i oceny.

Funkcja stanu granicznego

• Wszystkie zrealizowane konstrukcje mo

ż

na zaliczy

ć

do jednej z dwóch kategorii:

• Bezpiecze

ń

stwo

( efekt obci

ąż

enia

≤

no

ś

no

ść

)

• Awaria

34

• Awaria

( efekt obci

ąż

enia > no

ś

no

ść

)

Funkcja stanu granicznego

• Stan konstrukcji mo

ż

na opisa

ć

za pomoc

ą

parametrów

X

1

, ..., X

n

, gdzie X

i

- parametry obci

ąż

enia i no

ś

no

ś

ci.

• Funkcja stanu granicznego g( X

1

, ..., X

n

) jest funkcj

ą

tych parametrów, tak

ą

ż

e

(

)

0

X

,

X

g

≥

35

• w przypadku bezpiecze

ń

stwa

• w przypadku awarii

• Ka

ż

da taka funkcja zwi

ą

zana jest z danym

stanem granicznym.

(

)

0

X

,

X

g

n

1

≥

K

(

)

0

X

,

X

g

n

1

<

K

Przykład funkcji stanu granicznego

• Niech Q = całkowity efekt obci

ąż

enia, R = no

ś

no

ść

.

Wtedy, funkcj

ę

stanu granicznego mo

ż

na zdefiniowa

ć

jako

Q

R

g

−

=

R-Q

margines

Q

obci

ąż

enie

R

no

ś

no

ść

f

Q

, f

R

, f

R-Q

36

Prawdopodobie

ń

stwo

awarii

margines

bezpiecze

ń

stwa

obci

ąż

enie

no

ś

no

ść

Funkcje g

ę

sto

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa

obci

ąż

enia Q, no

ś

no

ś

ci R i marginesu bezpiecze

ń

stwa R-Q

X

Przypadek podstawowy

• Prawdopodobie

ń

stwo awarii

•

Wobec funkcji stanu granicznego postaci g = R - Q
prawdopodobie

ń

stwo awarii P

f

mo

ż

na okre

ś

li

ć

rozpatruj

ą

c funkcje g

ę

sto

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa R i Q.

f

Q

, f

R

37

Funkcje g

ę

sto

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa obci

ąż

enia Q i no

ś

no

ś

ci R

X

dx

f

Q

, f

R

f

Q

f

R

1-F

Q

(x)

Przypadek podstawowy

Konstrukcja ulega awarii, gdy obci

ąż

enie Q przekracza no

ś

no

ść

R,

wtedy prawdopodobie

ń

stwo awarii równe jest prawdopodobie

ń

stwu

tego,

ż

e Q > R i wynosi:

)

r

R

(

P

)

r

R

|

R

Q

(

P

)

r

Q

r

R

(

P

P

i

i

i

i

f

=

=

>

=

>

∩

=

=

∑

∑

(

)

dr

)

r

(

f

)

r

(

F

1

dr

)

r

(

f

)

r

(

F

1

P

∫

∫

+∞

+∞

−

=

−

=

38

Wzory te s

ą

zbyt trudne do stosowania.

(

)

i

i

R

i

Q

i

i

R

i

Q

f

dr

)

r

(

f

)

r

(

F

1

dr

)

r

(

f

)

r

(

F

1

P

∫

∫

∞

−

∞

−

−

=

−

=

)

q

Q

(

P

)

q

Q

|

Q

R

(

P

)

q

R

q

Q

(

P

P

i

i

i

i

f

=

=

<

=

<

∩

=

=

∑

∑

i

i

Q

i

R

f

dq

)

q

(

f

)

q

(

F

P

∫

+∞

∞

−

=

lub:

Przypadek podstawowy

• Przestrze

ń

zmiennych opisuj

ą

cych stan konstrukcji

R

R - Q = 0

granica awarii

R > Q

obszar

bezpiecze

ń

stwa

39

Obszar bezpiecze

ń

stwa i obszar awarii w 2-wymiarowej przestrzeni stanów

Q

granica awarii

( funkcja stanu granicznego )

R < Q

obszar

awarii

Q

R

Przypadek podstawowy

• Przestrze

ń

zmiennych opisuj

ą

cych stan konstrukcji

R

f

R,Q

40

3-wymiarowy szkic przykładowej ł

ą

cznej funkcji prawdopodobie

ń

stwa f

R,Q

Q

R - Q = 0

granica awarii

( funkcja stanu granicznego )

Q

R

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

• Definicja

•

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci oznacza si

ę

przez

β

.

Mo

ż

na go obliczy

ć

nast

ę

puj

ą

co:

2

Q

2

R

Q

R

µ

µ

β

+

−

=

41

•

Zwi

ą

zek mi

ę

dzy wska

ź

nikiem niezawodno

ś

ci

o prawdopodobie

ń

stwem awarii jest nast

ę

puj

ą

cy:

Q

R

µ

µ

+

( )

f

1

P

−

Φ

−

=

β

( )

β

−

Φ

=

f

P

lub

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

• Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci mo

ż

na tak

ż

e zdefiniowa

ć

dla przypadku przestrzeni n-wymiarowej.

• Rozwa

ż

my funkcj

ę

stanu granicznego

42

gdzie X

i

s

ą

zmiennymi losowymi nieskorelowanymi.

(

)

n

2

1

X

,

X

,

X

g

K

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

• Je

ż

eli funkcja ta jest liniowa

(

)

∑

∑

=

=

+

=

n

1

i

2

X

i

n

1

i

i

i

0

i

a

x

a

a

µ

β

n

n

1

1

0

n

1

X

a

...

X

a

a

)

X

,...,

X

(

g

+

+

+

=

43

• Je

ż

eli jest nieliniowa, rozwijamy j

ą

w szereg Taylora wokół

warto

ś

ci

ś

rednich zmiennych losowych i wtedy:

(

)

∑

=

















∂

∂

=

n

1

i

2

X

srednie

wartosci

i

n

2

1

i

x

g

x

,...,

x

,

x

g

µ

β

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

• Zwi

ą

zek mi

ę

dzy wska

ź

nikiem niezawodno

ś

ci

β

a prawdopodobie

ń

stwem awarii P

f

P

f

β

10

-1

1,28

10

-2

2,33

44

10

-3

3,09

10

-4

3,71

10

-5

4,26

10

-6

4,75

10

-7

5,19

10

-8

5,62

10

-9

5,99

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

• Zdefiniowany wska

ź

nik niezawodno

ś

ci nazywa si

ę

wska

ź

nikiem

pierwszego rz

ę

du, drugiego momentu, warto

ś

ci

ś

redniej.

• pierwszego rz

ę

du

poniewa

ż

wyst

ę

puj

ą

w nim

wyrazy pierwszego rz

ę

du

rozwini

ę

cia w szereg Taylora

funkcji stanu granicznego

45

funkcji stanu granicznego

• drugiego momentu

poniewa

ż

wyst

ę

puj

ą

w nim

jedynie warto

ść

ś

rednia i wariancja

(nie zale

ż

y od rodzaju rozkładu

zmiennych losowych)

• warto

ś

ci

ś

redniej

poniewa

ż

rozwini

ę

cie

w szereg Taylora nast

ę

puje

wokół warto

ś

ci

ś

redniej

Przykład

• Belka swobodnie podparta o długo

ś

ci 4 m,

poddana jest obci

ąż

eniom losowym: stałemu, zmiennemu

oraz wiatrem - równomiernie rozło

ż

onym.

Warto

ść

ś

rednia maksymalnego momentu zginaj

ą

cego,

jaki przenosi belka = 180 kNm a współczynnik

zmienno

ś

ci v

M

= 15%.

M

46

zmienno

ś

ci v

M

= 15%.

Obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo awarii belki, zakładaj

ą

c,

ż

e wszystkie zmienne losowe s

ą

nieskorelowane

i maj

ą

rozkłady normalne.

w

L

Przykład (c.d.)

• Obci

ąż

enia

obci

ąż

enie:

µ

x

--------------------------------------------------------
g - stałe

14 kN/m

1,4 kN/m

p - zmienne

22 kN/m

3,0 kN/m

w - wiatrem

8 kN/m

1,8 kN/m

x

47

• No

ś

no

ść

w tym przypadku równa jest zdolno

ś

ci

przeniesienia momentu zginaj

ą

cego

= 180 kNm

v

R

= v

M

= 0,15

µ

R

= v

R

= (180)(0,15) = 27 kNm

M

R

=

R

Przykład (c.d.)

• Funkcja stanu granicznego jest nast

ę

puj

ą

ca:

gdzie M

g

, M

p

i M

w

oznaczaj

ą

odpowiednio momenty

zginaj

ą

ce wyst

ę

puj

ą

ce w

ś

rodku rozpi

ę

to

ś

ci belki

wywołane obci

ąż

eniem stałym, zmiennym i wiatrem:

(

)

w

p

g

M

M

M

R

g

+

+

−

=

48

wywołane obci

ąż

eniem stałym, zmiennym i wiatrem:

(

)

w

p

g

2

R

g

+

+

−

=

8

gL

M

2

g

=

8

pL

M

2

p

=

8

L

w

M

2

w

=

m

4

L

=

czyli:

Przykład (c.d.)

• Poniewa

ż

funkcja stanu granicznego jest liniowa

a zmienne maj

ą

rozkłady normalne i s

ą

nieskorelowane,

β

obliczamy nast

ę

puj

ą

co:

(

)

a

x

a

a

n

2

X

i

n

1

i

i

i

0

i

+

=

∑

∑

=

=

µ

β

49

( )

(

)

(

) (

)

(

)

( ) (

)

( ) ( )( )

(

) ( )( )

(

) ( )( )

(

)

28

,

3

8

,

1

2

0

,

3

2

4

,

1

2

27

8

22

14

2

180

1

0

2

2

2

w

p

g

2

R

1

0

2

2

2

2

2

w

2

p

2

g

2

R

1

i

i

=

−

+

−

+

−

+

+

+

−

+

=

−

+

−

+

−

+

+

+

−

+

=

∑

=

µ

µ

µ

µ

( ) (

)

4

f

10

16

,

5

28

,

3

P

−

×

=

−

Φ

=

β

−

Φ

=

st

ą

d:

Przykład

• Rozwa

ż

my belk

ę

ż

elbetow

ą

d = 50 cm

50

Przekrój poprzeczny belki

ż

elbetowej

b = 30 cm

A

s

Przykład (c.d.)

• No

ś

no

ść

przekroju ze wzgl

ę

du na moment zginaj

ą

cy:

( )

b

f

f

A

59

,

0

d

f

A

b

f

f

A

59

,

0

d

f

A

M

'

c

2

y

s

y

s

'

c

y

s

y

s

R

−

=













−

=

• Funkcja stanu granicznego: g = M

R

-M

51

• Funkcja stanu granicznego: g = M

R

-M

(

)

( )

M

b

f

f

A

59

,

0

d

f

A

Q

,

f

,

f

,

A

g

'

c

2

y

s

y

s

'

c

y

s

−

−

=

gdzie M oznacza moment zginaj

ą

cy (efekt obci

ąż

enia).

Zmiennymi losowymi s

ą

M, f

y

, f

c

’ i A

s

.

Parametry rozkładów prawdopodobie

ń

stwa

i parametry projektowe s

ą

nast

ę

puj

ą

ce

Przykład (c.d.)

nominalna

µ

v

-----------------------------------------------------------------------------------
A

s

26 cm

3

25,5 cm

3

0,5

cm

3

0,019

f

y

300,0 MPa

273,0 MPa

31,5

MPa

0,105

f’

21 MPa

20,2 MPa

2,9

MPa

0,138

x

52

• Warto

ś

ci d i b s

ą

stałymi deterministycznymi.

• Obliczy

ć

wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

β

.

f’

c

21 MPa

20,2 MPa

2,9

MPa

0,138

M

235 kNm

247,0 kNm

28,2

kNm

0,120

-----------------------------------------------------------------------------------

Przykład (c.d.)

• Funkcja stanu granicznego jest nieliniowa.

Jej rozwini

ę

cie w szereg Taylora wokół warto

ś

ci

ś

redniej prowadzi do nast

ę

puj

ą

cej funkcji liniowej:

(

)

(

)

`

c

2

y

s

y

s

'

c

y

s

g

g

M

b

f

)

f

A

(

59

,

0

d

f

A

)

M

,

f

,

f

,

A

(

g

∂

∂

−

+

−

+

















−

−

≈

53

(

)

(

)

(

)

(

)

srednie

wartosci

srednie

wartosci

'

c

`

c

'

c

srednie

wartosci

y

y

y

srednie

wartosci

s

s

s

M

g

M

M

f

g

f

f

f

g

f

f

A

g

A

A

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

−

+

−

+

−

+

−

+

Przykład (c.d.)

• Aby obliczy

ć

β

, nale

ż

y obliczy

ć

warto

ść

funkcji stanu granicznego

i jej pierwszych pochodnych cz

ą

stkowych dla warto

ś

ci

ś

rednich

zmiennych losowych.

(

)

m

/

kN

106171

b

f

f

A

2

59

,

0

d

f

A

g

a

wartosci

'

c

2

y

s

y

wartosci

s

1

=















−

=

∂

∂

=

kNm

98

M

b

f

)

f

A

(

59

,

0

d

f

A

)

M

,

f

,

f

,

A

(

g

`

c

2

y

s

y

s

`

c

y

s

=

−

−

=

54

(

)

( )

1

1

Q

g

a

m

10

2713

b

)

f

(

f

A

59

,

0

f

g

a

m

10

920

b

f

A

f

2

59

,

0

d

A

f

g

a

b

f

A

srednie

wartosci

srednie

wartosci

4

3

6

srednie

wartosci

2

'

c

2

y

s

srednie

wartosci

'

c

3

3

6

srednie

wartosci

'

c

2
s

y

s

srednie

wartosci

y

2

srednie

wartosci

c

srednie

wartosci

s

−

=

−

=

∂

∂

=

×

=















=

∂

∂

=

×

=

















−

=

∂

∂

=





∂

−

−

Przykład (c.d.)

• Podstawiaj

ą

c do wzoru na

β

, otrzymujemy:

(

)

(

)

(

)

(

)

0

,

98

)

)(

1

(

)

)(

10

2713

(

)

)(

10

920

(

)

)(

106171

(

)

M

,

f

,

f

,

A

(

g

2

M

2

f

6

2

f

6

2

A

`

c

y

s

'

c

y

s

−

+

×

+

×

+

=

−

−

µ

µ

µ

µ

β

55

(

) (

) (

)

(

)

36

,

2

6

,

41

0

,

98

)

2

,

28

)(

1

(

)

2940

)(

10

2713

(

)

31500

)(

10

920

(

)

10

52

,

0

)(

106171

(

0

,

98

2

2

6

2

6

2

4

=

=

−

+

×

+

×

+

×

=

−

−

−

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

wyznaczony na podstawie warto

ś

ci

ś

redniej,

pierwszego rz

ę

du, drugiego momentu

• Metoda ta oparta jest na zało

ż

eniu,

ż

e wszystkie zmienne

losowe maj

ą

rozkład normalny

Zalety

• Metoda jest łatwa w u

ż

yciu

• Nie wymaga znajomo

ś

ci rozkładów zmiennych losowych

56

• Nie wymaga znajomo

ś

ci rozkładów zmiennych losowych

Wady

• daje niedokładne wyniki, szczególnie w przypadku, gdy

„ko

ń

ce” dystrybuant odbiegaj

ą

od rozkładu normalnego

• du

ż

y problem: warto

ść

β

zale

ż

y od przyj

ę

tej postaci

funkcji stanu granicznego.

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

wyznaczony na podstawie warto

ś

ci

ś

redniej,

pierwszego rz

ę

du, drugiego momentu

aproksymuj

ą

cy

rozkład
normalny

aproksymuj

ą

cy

rozkład
normalny

F

Q

F

R

57

arkusz probabilistyczny rozkładu normalnego

Q

R

µ

Q

µ

R

R, Q

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

wyznaczony na podstawie warto

ś

ci

ś

redniej,

pierwszego rz

ę

du, drugiego momentu

• Obliczenie takiego wska

ź

nika niezawodno

ś

ci,

β

,

zale

ż

y od sformułowania zadania

58

zale

ż

y od sformułowania zadania

(postaci funkcji stanu granicznego)

Przykład

• Rozwa

ż

my belk

ę

stalow

ą

o kr

ę

pym przekroju,

o wska

ź

niku zginania przekroju W i granicy plastyczno

ś

ci f

y

.

W zadaniu wyst

ę

puj

ą

4 zmienne losowe: P, L, W, f

y

.

Przyj

ę

to,

ż

e s

ą

nieskorelowane.

59

L

Przykład (c.d.)

{ }

























×

×

=

























=

−

kPa

10

600

m

10

100

m

8

kN

10

f

W

L

P

x

3

3

4

y

Wektor warto

ś

ci

ś

rednich i macierz kowariancji s

ą

nast

ę

puj

ą

ce:

60









y

[ ]

(

)





























×

×

×

=

−

−

2

2

9

6

12

2

3

2

2

x

m

/

kN

10

10

0

0

0

0

m

10

400

0

0

0

0

m

10

10

0

0

0

0

kN

4

µ

Przykład (c.d.)

•

Najpierw, rozwa

ż

my funkcj

ę

stanu granicznego,

wyra

ż

on

ą

za pomoc

ą

momentów zginaj

ą

cych.

(

)

4

PL

Wf

L

,

P

,

f

,

W

g

y

y

1

−

=

•

Jak pami

ę

tamy, funkcja stanu granicznego słu

ż

y do definiowania

granicy pomi

ę

dzy obszarami bezpiecznym i niebezpiecznym,

i granica ta odpowiada g = 0. Je

ż

eli funkcj

ę

g podzielimy

61

i granica ta odpowiada g = 0. Je

ż

eli funkcj

ę

g

1

podzielimy

przez wielko

ść

dodatni

ą

(n.p. przez W), nie zmienimy granicy

pomi

ę

dzy obszarami, w których jest ona dodatnia lub ujemna.

Zatem alternatywna posta

ć

funkcji stanu granicznego

(wyra

ż

ona w jednostkach napr

ęż

e

ń

) mo

ż

e by

ć

nast

ę

puj

ą

ca:

(

)

(

)

W

L

,

P

,

f

,

W

g

W

4

PL

f

L

,

P

,

f

,

W

g

y

1

y

y

2

=

−

=

Przykład (c.d.)

•

Skoro obie funkcje spełniaj

ą

warunki funkcji stanu granicznego,

obie s

ą

wła

ś

ciwe. Obliczmy teraz

β

odpowiadaj

ą

cy obydwu funkcjom

•

Poniewa

ż

funkcja g

1

jest nieliniowa, nale

ż

y j

ą

zlinearyzowa

ć

rozwijaj

ą

c j

ą

w szereg wokół warto

ś

ci

ś

rednich.

(

)

(

)

(

) (

)

L

L

4

P

P

P

4

L

f

f

W

W

W

f

4

L

P

f

W

g

y

y

y

y

1

−

−

−

−

−

+

−

+













−

≈

48

,

2

=

β

62

48

,

2

=

β

•

Poniewa

ż

funkcja g

2

tak

ż

e jest nieliniowa, nale

ż

y j

ą

zlinearyzowa

ć

rozwijaj

ą

c j

ą

w szereg wokół warto

ś

ci

ś

rednich.

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

L

L

W

4

P

P

P

W

4

L

f

f

1

W

W

W

4

L

P

W

4

L

P

f

g

y

y

2

y

2

−

−

−

−

−

+

−

+













−

≈

48

,

3

=

β

Przykład (c.d.)

• Przykład ten wyra

ź

nie obrazuje problem zale

ż

no

ś

ci

wska

ź

nika niezawodno

ś

ci od postaci funkcji stanu

granicznego.

• W przykładzie, obie funkcje stanu granicznego opisuj

ą

ten

sam stan graniczny.

63

• Prawdopodobie

ń

stwo awarii obliczone na podstawie tych

funkcji (wyra

ż

one za pomoc

ą

wska

ź

ników niezawodno

ś

ci)

powinno by

ć

zatem jednakowe.

• Dlatego Hasofer i Lind wprowadzili now

ą

definicj

ę

wska

ź

nika niezawodno

ś

ci, która nie zale

ż

y od postaci

funkcji stanu granicznego

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

• Rozwa

ż

my funkcj

ę

stanu granicznego

g(X

1

,..., X

n

)

w której zmienne losowe X

i

s

ą

nieskorelowane.

• Funkcj

ę

stanu granicznego mo

ż

na przedstawi

ć

u

ż

ywaj

ą

c standaryzowanej postaci zmiennych

losowych (zmiennych zredukowanych)

64

losowych (zmiennych zredukowanych)

i

X

i

i

i

x

X

Z

µ

−

=

• Zast

ę

puj

ą

c X

1

, …, X

n

standaryzowanymi zmiennymi

Z

1

, …, Z

n

, otrzymujemy now

ą

funkcj

ę

stanu granicznego

g’(Z

1

,..., Z

n

)

i

X

i

i

i

Z

x

X

µ

+

=

oraz

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

• Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

definiuje si

ę

jako najkrótsza odległo

ść

od pocz

ą

tku

układu przestrzeni zmiennych losowych zredukowanych
do granicy opisanej równaniem stanu granicznego g’ = 0

• Praktycznie znaczy to,

ż

e

β

jest nakrótsz

ą

odległo

ś

ci

ą

od (0,…, 0) do n-wymiarowej powierzchni

65

g’(Z

1

,..., Z

n

) = 0

• Najbli

ż

szy punkt poło

ż

ony na g’(Z

1

,..., Z

n

) = 0 nazywany

jest punktem projektowym, oznaczamy go (Z

1

*,..., Z

n

*)

( )

∑

=

=

β

n

1

i

2

*

i

Z

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

• Je

ś

li funkcja stanu granicznego jest liniowa,

wska

ź

nik niezawodno

ś

ci oblicza si

ę

nast

ę

puj

ą

co:

∑

=

+

=

n

1

i

i

i

0

X

a

a

g

66

(

)

∑

∑

=

=

+

=

n

1

i

2

X

i

n

1

i

i

i

0

i

a

x

a

a

µ

β

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

R

R

f

R,Q

r*

67

Punkt projektowy dla liniowej funkcji stanu granicznego g = R - Q

Q

R

Q

(

R

,

Q

)

R - Q = 0

q*

r*

( r*, q* )

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

• Je

ś

li funkcja stanu granicznego jest nieliniowa, wtedy

nale

ż

y znale

źć

punkt (Z

1

*,..., Z

n

*) w przestrzeni

zmiennych losowych zredukowanych, który spełnia
równanie stanu granicznego, najbli

ż

szego (0, …, 0),

g’(Z

1

*,..., Z

n

*) = 0

68

g’(Z

1

*,..., Z

n

*) = 0

• Obliczenia mo

ż

na przeprowadzi

ć

metod

ą

iteracyjn

ą

.

( )

∑

=

=

β

n

1

i

2

*

i

Z

min

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

Z

2

punkt projektowy

69

Z

1

z

2

*

z

1

*

β

g’( Z

1

,... Z

n

) = 0

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

Z

2

z

*

g’( Z

1

,... Z

n

) =0

70

Z

1

z

1

*

z

2

*

β

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

Procedura iteracyjna polega na

rozwi

ą

zaniu układu (2n+1) równa

ń

z (2n+1) niewiadomymi:

β

,

α

1

,

α

2

, ...,

α

n

, z

1

*, z

2

*, ..., z

n

*

( )

1

n

1

i

2

i

=

α

∑

=

i

*

i

z

βα

=

(

)

0

z

,

,

z

'

g

*

n

*

1

=

K

71

∑

=

















∂

∂

∂

∂

−

=

α

n

1

i

2

projektowy

punkt

i

projektowy

punkt

i

i

Z

'

g

Z

'

g

i

X

i

i

i

i

i

X

g

Z

X

X

g

Z

'

g

µ

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

1

i

=

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

Dwie alternatywne procedury iteracyjne:

• Rozwi

ą

zywanie układu równa

ń

• Procedura macierzowa.

72

• Procedura macierzowa.

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

Układ równa

ń

:

1. Sformułuj funkcj

ę

stanu granicznego

i okre

ś

l odpowiednie parametry rozkładów

wyst

ę

puj

ą

cych w niej zmiennych losowych X

i

.

2. Wyra

ź

funkcj

ę

stanu granicznego za pomoc

ą

73

2. Wyra

ź

funkcj

ę

stanu granicznego za pomoc

ą

zmiennych losowych zredukowanych Z

i

.

3. Wyra

ź

funkcj

ę

stanu granicznego za pomoc

ą

β

i

α

i

:

4. Oblicz n warto

ś

ci

α

i

wyra

ż

aj

ą

c ka

ż

de z nich

jako funkcj

ę

wszystkich

α

i

oraz

β

.

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

5. Rozpocznij cykl oblicze

ń

:

przyjmij warto

ś

ci liczbowe

β

i wszystkich

α

i

.

6. Podstaw je do prawych stron równa

ń

sformułowanych w kroku 3 i 4.

74

sformułowanych w kroku 3 i 4.

7. Rozwi

ąż

układ n+1 równa

ń

otrzymanych

w kroku 6 ze wzgl

ę

du na

β

i

α

i

.

8. Wró

ć

do kroku 6. Powtarzaj iteracje,

a

ż

do uzyskania zbie

ż

no

ś

ci

β

i

α

i

.

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

Procedura macierzowa

:

1. Sformułuj funkcj

ę

stanu granicznego

i okre

ś

l odpowiednie parametry rozkładów

wyst

ę

puj

ą

cych w niej zmiennych losowych X

i

2. Znajd

ź

pocz

ą

tkowy punkt projektowy {x

i

*} przyjmuj

ą

c

warto

ś

ci pocz

ą

tkowe dla n-1 zmiennych X

i

.

(Cz

ę

sto, dobrze jest przyj

ąć

warto

ś

ci

ś

rednie.)

Rozwi

ąż

równanie stanu granicznego g = 0

75

Rozwi

ąż

równanie stanu granicznego g = 0

wzgl

ę

dem pozostałej zmiennej losowej.

Dzi

ę

ki temu punkt pocz

ą

tkowy b

ę

dzie nale

ż

ał

do granicy obszaru awarii.

3. Oblicz warto

ś

ci zmiennych zredukowanych {z

i

*}

odpowiadaj

ą

cych punktowi projektowemu

i

X

i

*

i

*

i

x

x

z

µ

−

=

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

4. Wyznacz pochodne cz

ą

stkowe funkcji stanu granicznego

wzgl

ę

dem zmiennych losowych zredukowanych.

Dla wygody zdefiniuj wektor kolumnowy {G}
- wektor tych pochodnych ze znakiem „-”

{ }



















=

2

1

G

G

G

M

punkt

i

Z

'

g

G

∂

∂

−

=

gdzie

76

5. Oblicz przybli

ż

enie

β

stosuj

ą

c poni

ż

szy wzór:















n

G

M

projektowy

punkt

i

Z

∂

{ }

{ }

{ } { }

G

G

z

G

T

*

T

=

β

{ }

























=

*

n

*
2

*

1

*

z

z

z

z

M

gdzie

Wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda

6. Oblicz wektor kolumnowy współczynników wra

ż

liwo

ś

ci:

7. Wyznacz nowy punkt projektowy w przestrzeni zmiennych

losowych zredukowanych dla n-1 zmiennych

{ }

{ }

{ } { }

G

G

G

T

=

α

i

*

i

z

βα

=

77

8. Okre

ś

l odpowiadaj

ą

cy mu punkt projektowy we współrz

ę

dnych

pocz

ą

tkowych dla n-1 zmiennych z kroku 7

9. Oblicz warto

ść

pozostałej zmiennej losowej ( t.j. nie okre

ś

lonej

w krokach 7 i 8 ) rozwi

ą

zuj

ą

c równanie stanu granicznego g = 0

10. Powtarzaj kroki 3

÷

9 a

ż

do uzyskania zbie

ż

no

ś

ci

β

oraz współrz

ę

dnych punktu projektowego {x

i

*}.

i

i

z

βα

=

i

X

*

i

i

*

i

z

x

x

µ

+

=

Przykład

• Oblicz wska

ź

nik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda,

β

dla belki ci

ą

głej 3-prz

ę

słowej.

78

Przykład (c.d.)

• Zmiennymi losowymi s

ą

:

obci

ąż

enie ci

ą

głe (w),

rozpi

ę

to

ść

poszczególnych prz

ę

seł (L),

moduł spr

ęż

ysto

ś

ci podłu

ż

nej (E),

moment bezwładno

ś

ci przekroju (I).

Rozwa

ż

amy stan graniczny ugi

ę

cia,

przyjmuj

ą

c warto

ść

ugi

ę

cia dopuszczalnego L/360.

Ugi

ę

cie maksymalne wynosi 0,0069 wL

4

/EI

79

Ugi

ę

cie maksymalne wynosi 0,0069 wL /EI

i wyst

ę

puje w odległo

ś

ci 0,446 L od ko

ń

ca belki (AISC, 1986).

Funkcja stanu granicznego jest nast

ę

puj

ą

ca:

(

)

EI

wL

0069

,

0

360

L

I

,

E

,

L

,

w

g

4

−

=

Przykład (c.d.)

• Warto

ś

ci

ś

rednie i odchylenia standardowe zmiennych losowych:

zmienna

warto

ść

ś

rednia

odchylenie standardowe

X

i

µ

xi

w

10

kN/m

0,4

kN/m

i

x

80

w

10

kN/m

0,4

kN/m

L

5

m

≈

0

E

2

×

10

7

kN/m

2

0,5

×

10

7

kN/m

2

I

6

×

10

-4

m

4

1,5

×

10

-4

m

4

Przykład (c.d.)

• Podstawiaj

ą

c dane liczbowe otrzymujemy:

• Wprowadzamy zmienne losowe zredukowane

( )

0

w

5

,

310

EI

0

w

5

0069

,

0

EI

360

5

0

g

4

=

−

⇒

=

−

⇒

=

−

−

−

81

E

2

E

E

Z

µ

−

=

w

3

w

w

Z

µ

−

=

I

1

I

I

Z

µ

−

=

I

1

Z

I

I

µ

+

=

w

3

Z

w

w

µ

+

=

E

2

Z

E

E

µ

+

=

Przykład (c.d.)

• Podstawiamy je do funkcji stanu granicznego, g:

(

)(

)

(

)

0

Z

w

5

,

310

Z

I

Z

E

w

3

I

1

E

2

=

+

−

+

+

µ

µ

µ

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

4

,

0

Z

10

5

,

310

10

5

,

1

Z

10

8

10

5

,

0

Z

10

2

3

4

1

4

7

2

7

=

+

−

×

+

×

×

+

×

−

−

0

12895

Z

2

,

124

Z

Z

750

Z

4000

Z

3000

3

2

1

2

1

=

+

−

+

+

82

• Wyra

ż

amy g’ jako funkcj

ę

β

i

α

i

:

3

2

1

2

1

i

*

i

z

βα

=

0

12895

2

,

124

750

4000

3000

3

2

1

2

2

1

=

+

βα

−

α

α

β

+

βα

+

βα

⇓

Przykład (c.d.)

• Obliczamy warto

ś

ci

β

i

α

i

:

3

2

1

2

1

2

,

124

750

4000

3000

12895

βα

−

α

α

+

α

+

α

−

=

β

(

)

(

) (

) (

)

2

2

2

2

1

2

,

124

750

4000

750

3000

750

3000

−

+

βα

+

+

βα

+

βα

+

−

=

α

83

(

) (

) (

)

1

2

2

,

124

750

4000

750

3000

−

+

βα

+

+

βα

+

(

)

(

) (

) (

)

2

2

1

2

2

1

2

2

,

124

750

4000

750

3000

750

4000

−

+

βα

+

+

βα

+

βα

+

−

=

α

(

)

(

) (

) (

)

2

2

1

2

2

2

2

,

124

750

4000

750

3000

2

,

124

−

+

βα

+

+

βα

+

−

−

=

α

Przykład (c.d.)

• Rozpoczynamy iteracje zgaduj

ą

c warto

ś

ci

β

,

α

1

,

α

2

,

α

3

,

na przykład:

58

,

0

333

,

0

2

1

−

=

−

=

α

=

α

84

58

,

0

333

,

0

3

=

=

α

3

=

β

Przykład (c.d.)

• Wyniki iteracji zestawiono poni

ż

ej. Zauwa

ż

my,

ż

e mi

ę

dzy iteracjami

5 i 6 zmiany warto

ś

ci s

ą

niewielkie, co oznacza zbie

ż

no

ść

wyniku.

Zbie

ż

no

ść

ta jest szybsza, je

ż

eli przyjmie si

ę

wła

ś

ciwe znaki

α

i

( + dla obci

ąż

e

ń

, - dla no

ś

no

ś

ci ).

3.173

3.173

3.175

3.213

3.429

3.664

3

β

6

5

4

3

2

1

iteracje

warto

ś

ci

pocz

ą

tkowe

85

0.034

0.034

0.034

0.037

0.047

0.039

+0.58

α

3

-0.983

-0.983

-0.985

-0.988

-0.965

-0.846

-0.58

α

2

-0.182

-0.179

-0.168

-0.153

-0.257

-0.532

-0.58

α

1

3.173

3.173

3.175

3.213

3.429

3.664

3

β

Zatem, obliczany wska

ź

nik niezawodno

ś

ci wynosi w przybli

ż

eniu 3,17

Procedura obliczania

β

według Rackwitza-Fiesslera

• Współczynnik niezawodno

ś

ci Hasofera-Linda jest

zdefiniowany dla przypadku, kiedy nie znamy
rozkładów zmiennych losowych

• Je

ś

li rozkłady s

ą

znane, wtedy obliczamy

β

metod

ą

Rackwitza-Fiesslera

86

metod

ą

Rackwitza-Fiesslera

• Analiza niezawodno

ś

ci prowadzi do wyznaczenia

wska

ź

nika niezawodno

ś

ci,

β

, oraz znalezienia

współrz

ę

dnych punktu projektowego {z

1

*, z

2

*, ... , z

n

*}

Procedura obliczania

β

według Rackwitz-Fiessler

• Rozkłady inne ni

ż

normalne s

ą

zast

ą

pione normalnymi

tak,

ż

e dystrybuanta i funkcja g

ę

sto

ś

ci maj

ą

t

ę

sam

ą

warto

ść

dla prawdziwych i zast

ę

pczych rozkładów

w punkcie projektowym.

• Wymagana jest znajomo

ść

rozkładów zmiennych

87

• Wymagana jest znajomo

ść

rozkładów zmiennych

losowych wyst

ę

puj

ą

cych w funkcji stanu granicznego.

Iteracyjna Procedura Rackwitza-Fiesslera

1. Przygotuj dane:

•

funkcja stanu granicznego g = g(X

1

, …, X

n

)

•

dystrybuanty dla wszystkich zmiennych F

1

, …, F

n

•

funkcje g

ę

sto

ś

ci dla wszystkich zmiennych f

1

, …, f

n

2. Wprowad

ź

(zgadnij) współrz

ę

dne punktu projektowego,

X

1

*, … X

n

* (jako pierwsze przybli

ż

enie, mo

ż

na przyj

ąć

warto

ś

ci

ś

rednie)

3. Oblicz parametry zast

ę

pczych rozkładów normalnych

88

3. Oblicz parametry zast

ę

pczych rozkładów normalnych

F

1

’

, …, F

n

’

, oraz f

1

’

, …, f

n

’

, tak

ż

e

F

1

’(X

1

*) = F

1

(X

1

*), …, F

n

’(X

n

*) = F

n

(X

n

*), oraz

f

1

’(X

1

*) = f

1

(X

1

*), …, f

n

’(X

n

*) = f

n

(X

n

*),

4. Oblicz

β

5. Oblicz współrz

ę

dne nast

ę

pnego punktu projektowego

6. Wprowad

ź

obliczone współrz

ę

dne do (3).

Obliczanie parametrów zast

ę

pczych rozkładów normalnych

( )















−

Φ

=

e

X

e

*

*

X

x

x

x

F

µ

( )















−

=

e

X

e

*

e

X

*

X

x

x

1

x

f

µ

φ

µ

St

ą

d, odchylenie standardowe zast

ę

pczego rozkładu normalnego

Dla ka

ż

dej zmiennej losowej X, mamy dwa równania

i dwie niewiadome (

µ

i

σ

):

89

(

)

[

]

)

x

(

F

x

x

*

X

1

e

X

*

e

−

Φ

−

=

µ

(

)

(

)

)

x

(

F

)

x

(

f

1

*

X

1

*

X

e

X

−

Φ

=

φ

µ

oraz warto

ść

ś

rednia zast

ę

pczego rozkładu normalnego

Obliczenie współrz

ę

dnych nast

ę

pnego punktu projektowego

dla zast

ę

pczych rozkładów normalnych

e

X

i

e

*

i

i

i

x

x

µ

βα

+

=

gdzie:

{ }

{ }

{ } { }

G

G

z

G

T

*

T

=

β

{ }

{ }

{ } { }

G

G

G

T

=

α

Je

ż

eli: g(X

1

,...,X

n

) = a

0

+ a

1

X

1

+...+a

n

X

n

90

(

)

∑

=

=

n

1

i

2

e

X

i

e

e

i

n

1

a

)

x

,...,

x

(

g

µ

β

( )

(

)

∑

=

−

=

2

1

i

2

e

X

i

2

e

X

i

e

*

i

i

i

i

a

a

x

x

µ

β

µ

Kolejne iteracje prowadzi si

ę

, a

ż

β

przestanie ulega

ć

zmianom (zwykle, gdy zmienia

ć

si

ę

b

ę

dzie o +/- 0,01)

Je

ż

eli: g(X

1

,...,X

n

) = a

0

+ a

1

X

1

+...+a

n

X

n

gdzie:

Rackwitz-Fiessler – dla dwóch zmiennych

1. Przygotuj dane:

1.

funkcja stanu granicznego g = R - Q

2.

dystrybuanty F

R

i F

Q

3.

funkcje g

ę

sto

ś

ci f

R

i f

Q

2. Wprowad

ź

(zgadnij) współrz

ę

dne punktu projektowego,

R* = Q* (pierwsze przybli

ż

enie)

3. Oblicz parametry zast

ę

pczych rozkładów normalnych

91

3. Oblicz parametry zast

ę

pczych rozkładów normalnych

F

R

’

i F

Q

’

, oraz f

R

’

i f

Q

’

, tak

ż

e

F

R

’(R*) = F

R

(R*)

F

Q

’(Q*) = F

Q

(Q*)

f

R

’(R*) = f

R

(R*)

f

Q

’(Q*) = f

Q

(Q*),

Obliczanie parametrów zast

ę

pczych rozkładów normalnych

(

)

[

]

)

R

(

F

R

R

*

R

1

e

R

*

e

−

Φ

−

=

σ

(

)

(

)

)

R

(

F

)

R

(

f

1

*

R

1

*

R

e

R

−

Φ

=

φ

µ

92

(

)

(

)

)

Q

(

F

)

Q

(

f

1

*

Q

1

*

Q

e

Q

−

Φ

=

φ

µ

(

)

[

]

)

Q

(

F

Q

Q

*

Q

1

e

Q

*

e

−

Φ

−

=

σ

Obliczenie wska

ź

nika niezawodno

ś

ci,

β

, dla zast

ę

pczych

rozkładów normalnych

Obliczenie współrz

ę

dnych nast

ę

pnego punktu projektowego

( ) ( )

2

e

Q

2

e

R

e

e

Q

R

µ

µ

β

+

−

=

93

( )

( ) ( )

2

e

Q

2

e

R

2

e

R

e

*

R

R

µ

µ

β

µ

+

−

=

( )

( ) ( )

2

e

Q

2

e

R

2

e

Q

e

*

Q

Q

µ

µ

β

µ

+

+

=

Metoda Rackwitza-Fiesslera

procedura graficzna

F

R

F

Q

F

R

e

styczna do F

Q

w q*

94

Ilustracja graficzna procedury Rackwitza-Fiesslera

R, Q

F

Q

e

styczna do F

R

w r*

q* = r*

R

e

Q

e

µ

R

e

µ

Q

e

Metoda Rackwitza-Fiesslera

procedura graficzna

• Mo

ż

e by

ć

stosowana, gdy dystrybuanty zmiennych losowych s

ą

dowolne

- wykre

ś

lone na arkuszu probabilistycznym.

• Ka

ż

da zmienna losowa, o innym rozkładzie ni

ż

normalny, aproksymowana

jest rozkładem normalnym, reprezentowanym na arkuszu probabilistycznym
przez lini

ę

prost

ą

.

• Warto

ść

dystrybuanty aproksymuj

ą

cej rozkład normalny równa jest

95

• Warto

ść

dystrybuanty aproksymuj

ą

cej rozkład normalny równa jest

warto

ś

ci dystrybuanty rozkładu rzeczywistego w punkcie projektowym.

• Zatem, na arkuszu probabilistycznym, linia prosta przecina oryginaln

ą

dystrybuant

ę

w punkcie projektowym.

• Skoro funkcja g

ę

sto

ś

ci prawdopodobie

ń

stwa jest styczna do dystrybuanty

(jako jej pierwsza pochodna), to linia prosta (aproksymuj

ą

ca) jest styczna

do oryginalnej dystrybuanty w punkcie projektowym.

• Parametry aproksymuj

ą

cego rozkładu normalnego (warto

ść

ś

rednia

i odchylenie standardowe) mog

ą

by

ć

odczytane bezpo

ś

rednio z wykresu.

Przykład

• Przykład zastosowania procedury graficznej

do wyznaczenia wska

ź

nika niezawodno

ś

ci

dla funkcji stanu granicznego:

g(R, Q) = R - Q

R - zmienna reprezentuj

ą

ca no

ś

no

ść

96

R - zmienna reprezentuj

ą

ca no

ś

no

ść

Q - zmienna reprezentuj

ą

ca efekt obci

ąż

enia

Dystrybuant

ę

zmiennych R i Q wykre

ś

lono

na arkuszu probabilistycznym rozkładu normalnego.

97

Ilustracja graficzna zadania

nowy punkt

projektowy

Przykład (c.d.)

1. Przyjmij warto

ść

pocz

ą

tkow

ą

współrz

ę

dnej punktu projektowego

na przykład r* = 50 MPa.
Zaznacz na wykresach F

Q

i F

R

punkty A i B.

Podstawowe kroki procedury graficznej

98

2. Poprowad

ź

w punktach A i B

styczne do F

Q

i F

R

.

3. Odczytaj bezpo

ś

rednio z rysunku:

MPa

56

R

e

=

MPa

14

Q

e

=

MPa

5

,

3

e

R

=

µ

MPa

5

,

14

e

Q

=

µ

Przykład (c.d.)

4. Oblicz

β

.

( ) ( )

( ) ( )

82

,

2

6

,

14

5

,

3

14

56

Q

R

2

2

2

e

Q

2

e

R

e

e

=

+

−

=

+

−

=

µ

µ

β

99

5. Wyznacz nowy punkt projektowy.

Z równania g = 0 wynika q* = r*

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

MPa

7

,

53

6

,

14

5

,

3

82

,

2

5

,

3

56

R

r

2

2

2

2

e

Q

2

e

R

2

e

R

e

*

=

+

−

=

+

−

=

µ

µ

β

µ

Przykład (c.d.)

6. Wykre

ś

l styczne do F

Q

i F

R

w punktach C i D odpowiadaj

ą

cych

nowemu punktowi projektowemu.

7. Odczytaj bezpo

ś

rednio z rysunku:

MPa

61

R

e

=

MPa

5

,

6

e

R

=

µ

100

8. Oblicz nowy

β

i współrz

ę

dne

nowego punktu projektowego.

9. Powtarzaj iteracje, a

ż

do uzyskania

zbie

ż

no

ś

ci wyników.

MPa

5

,

11

Q

e

=

MPa

5

,

15

e

Q

=

µ

94

,

2

=

β

MPa

6

,

53

q

r

*

*

=

=

Procedura Rackwitza-Fiesslera

Procedura macierzowa z modyfikacj

ą

Rackwitza-Fiesslera:

1. Sformułuj funkcj

ę

stanu granicznego. Dla poszczególnych

zmiennych losowych X

i

okre

ś

l rozkłady prawdopodobie

ń

stwa

i odpowiednie ich parametry.

2. Przyjmij n-1 warto

ś

ci pocz

ą

tkowych zmiennych losowych X

i

uzyskuj

ą

c pocz

ą

tkowy punkt projektowy {x

i

*} (n.p. wybieraj

ą

c

warto

ś

ci

ś

rednie). Rozwi

ąż

równanie stanu granicznego

101

warto

ś

ci

ś

rednie). Rozwi

ąż

równanie stanu granicznego

g = 0 wzgl

ę

dem brakuj

ą

cej zmiennej, dzi

ę

ki czemu

punkt ten b

ę

dzie le

ż

ał na granicy awarii.

3. Dla ka

ż

dej warto

ś

ci x

i

* odpowiadaj

ą

cej rozkładowi innemu

ni

ż

normalny wyznacz warto

ść

ś

redni

ą

i odchylenie standardowe

zast

ę

pczego rozkładu normalnego. Je

ż

eli jedna lub wi

ę

cej warto

ś

ci x

i

*

odpowiada rozkładowi normalnemu, jako parametry
zast

ę

pczego rozkładu normalnego przyjmij parametry rzeczywiste.

Przykład

•

Zmodyfikowana procedura macierzowa zostanie zademonstrowana
na przykładzie prostego przypadku dwóch zmiennych nieskorelowanych.
Niech R oznacza no

ś

no

ść

a Q - efekt obci

ąż

enia.

Funkcja stanu granicznego jest nast

ę

puj

ą

ca:

g(R, Q) = R - Q

R - rozkład logarytmiczno-normalny

= 200 i

µ

R

= 20

Q - rozkład ekstremalny typu I

= 100 i

µ

= 12

R

Q

102

Q - rozkład ekstremalny typu I

= 100 i

µ

Q

= 12

Obliczy

ć

β

.

Q

Przykład (c.d.)

1. Sformułuj funkcj

ę

stanu granicznego.

Okre

ś

l rozkłady prawdopodobie

ń

stwa zmiennych losowych. Zrobione.

2. Punkt pocz

ą

tkowy, przyj

ę

ty arbitralnie: r* = 150

Z równania stanu granicznego g = 0 wynika,

ż

e: q* = 150

3. Okre

ś

l parametry zast

ę

pczego rozkładu normalnego dla

R - rozkład logarytmiczno-normalny

2









µ

103

0998

,

0

10

95

,

9

R

1

ln

R

ln

3

2

2

R

2

R

ln

=

⇒

×

=















+

=

−

µ

µ

µ

( )

29

,

5

5

,

0

R

ln

R

2

R

ln

R

ln

=

−

=

µ

( )

(

)

( )

( )

(

)

192

29

,

5

150

ln

1

150

R

r

ln

1

r

R

R

ln

*

*

e

=

+

−

=

+

−

=

( )(

)

0

,

15

0998

,

0

150

*

r

R

ln

e

R

=

=

=

µ

µ

Przykład (c.d.)

3. Okre

ś

l parametry zast

ę

pczego rozkładu normalnego dla

Q - rozkład ekstremalny

a, u - parametry rozkładu zwi

ą

zane z warto

ś

ci

ą

ś

redni

ą

i odchyleniem standardowym zmiennej Q oblicz nast

ę

puj

ą

co:

( )

(

)

(

)

[

]

u

q

a

exp

exp

q

F

Q

−

−

−

=

( )

(

)

(

)

{

}

(

)

(

)

[

]

u

q

a

exp

exp

u

q

a

exp

a

q

f

Q

−

−

−

−

−

=

104

Podstawiaj

ą

c warto

ś

ci

µ

Q

i

σ

Q

, otrzymujemy:

a = 0,107 u = 94,6

a

5772

,

0

Q

u

−

=

2

Q

2

6

a

µ

π

=

( )

997

,

0

q

F

*

Q

=

( )

4

*

Q

10

86

,

2

q

f

−

×

=

Przykład (c.d.)

(

)

[

]

5

,

69

)

q

(

F

q

Q

*

Q

1

e

q

*

e

=

Φ

−

=

−

µ

(

)

(

)

(

)

(

)

9

,

28

997

,

0

10

86

,

2

1

)

q

(

F

)

Q

(

f

1

1

4

*

Q

1

*

Q

e

Q

=

Φ

×

=

Φ

=

−

−

−

φ

φ

µ

105

4. Okre

ś

l warto

ś

ci zmiennych zredukowanych

z

1

* - warto

ść

zredukowana dla r*

z

2

* - warto

ść

zredukowana dla q*

83

,

2

R

r

z

*

R

*

*

*

1

−

=

−

=

µ

78

,

2

Q

q

z

*

Q

*

*

*

2

=

−

=

µ

Przykład (c.d.)

5. Wyznacz wektor {G}:

e

R

e

R

*

q

*,

r

*}

z

{

1

1

1

R

g

Z

'

g

G

i

µ

µ

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

e

Q

e

Q

*

q

*,

r

*}

z

{

2

2

1

Q

g

Z

'

g

G

i

µ

µ

+

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

106

6. Oblicz przybli

ż

enie

β

:

*

q

*,

r

*}

z

{

2

i

{ }

{ }

{ } { }

78

,

3

G

G

z

G

T

*

T

=

=

β

Przykład (c.d.)

7. Wyznacz wektor {

α

}:

8. Okre

ś

l nowe warto

ś

ci z

i

* dla n-1 zmiennych losowych:

{ }

{ }

{ } { }













−

=

=

α

888

,

0

460

,

0

G

G

G

T

(

)(

)

74

,

1

460

,

0

78

,

3

z

1

*

1

−

=

−

=

βα

=

107

9. Okre

ś

l r* na podstawie nowego z

1

*:

10. Okre

ś

l q* rozwi

ą

zuj

ą

c równanie stanu granicznego g = 0.

(

)(

)

74

,

1

460

,

0

78

,

3

z

1

1

−

=

−

=

βα

=

166

z

R

r

e

R

*

1

e

*

=

+

=

µ

166

r

q

*

*

=

=

Przykład (c.d.)

11. Powtarzaj kroki iteracji a

ż

do uzyskania zbie

ż

no

ś

ci wska

ź

nika

β

oraz współrz

ę

dnych punktu projektowego r* i q*.

168

166

150

r

*

3

2

1

iteracje

108

168

168

166

q

*

168

168

166

r

*

↓

3.76

3.76

3.78

β

↓

168

166

150

q

*

168

166

150

r

Procedura Rackwitza-Fiesslera

zmienne losowe skorelowane

• Dotychczas rozwa

ż

ali

ś

my funkcje stanów granicznych,

w których zmienne losowe były nieskorelowane.

• Jednak, w wielu praktycznych zastosowaniach,

niektóre zmienne losowe mog

ą

by

ć

skorelowane

109

niektóre zmienne losowe mog

ą

by

ć

skorelowane

i korelacja ta mo

ż

e mie

ć

powa

ż

ny wpływ

na warto

ść

obliczonego wska

ź

nika niezawodno

ś

ci.

• Problem zmiennych losowych skorelowanych,

mo

ż

na rozwi

ą

za

ć

dwojako:

Procedura Rackwitza-Fiesslera

zmienne losowe skorelowane

1. Zastosowa

ć

transformacje współrz

ę

dnych.

Mo

ż

e by

ć

kłopotliwe w poł

ą

czeniu z iteracj

ą

Rackwitza-Fiesslera,

wykorzystuj

ą

c

ą

parametry zast

ę

pczych rozkładów normalnych.

2. Zmodyfikowa

ć

procedur

ę

macierzow

ą

wprowadzaj

ą

c

macierz korelacji [

ρ

] - macierz współczynników korelacji

zmiennych losowych równania stanu granicznego.

110

zmiennych losowych równania stanu granicznego.
Zmodyfikowane wzory przyjmuj

ą

posta

ć

:

{ }

{ }

{ } { }

G

G

z

G

T

*

T

=

β

{ }

{ }

{ } { }

G

G

G

T

=

α

{ }

{ }

{ }

[ ]

{ }

G

G

z

G

T

*

T

ρ

=

β

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

G

G

G

T

ρ

ρ

=

α

staje si

ę

:

staje si

ę

:

Przykład

•

Oblicz wska

ź

nik niezawodno

ś

ci

β

dla funkcji stanu granicznego:

(

)

2

1

2

1

X

2

X

3

X

,

X

g

−

=

6

,

16

x

1

=

45

,

2

1

X

=

µ

111

8

,

18

x

2

=

85

,

2

2

X

=

µ

(

)

0

,

2

X

,

X

Cov

2

1

=

Poniewa

ż

brak informacji o rozkładach zmiennych losowych X

1

i X

2

,

przyjmujemy,

ż

e s

ą

one normalne.

Przykład (c.d.)

1. Sformułuj funkcj

ę

stanu granicznego.

Okre

ś

l rozkłady prawdopodobie

ń

stwa zmiennych losowych. Zrobione.

2. Przyjmij pocz

ą

tkowy punkt projektowy. Przyjmujemy: X

1

* = 17.

Z równania g = 0 wynika,

ż

e: X

2

* = 25,5

3. Okre

ś

lanie parametrów zast

ę

pczych rozkładów normalnych nie jest

potrzebne, poniewa

ż

obie zmienne maj

ą

rozkłady normalne.

4. Oblicz warto

ś

ci współrz

ę

dnych zredukowanych punktu projektowego.

112

5. Okre

ś

l wektor {G}

163

,

0

z

*

1

=

37

,

2

z

*
2

=

1

1

i

i

X

X

*}

x

{

1

*}

z

{

1

1

3

X

g

Z

'

g

G

µ

µ

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

1

1

i

i

X

X

*}

x

{

2

*}

z

{

2

2

2

X

g

Z

'

g

G

µ

µ

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

Przykład (c.d.)

6. Oblicz przybli

ż

enie wska

ź

nika niezawodno

ś

ci

β

[ ]

(

)

(

)

( )( )

( )( )









=

















=













=

ρ

1

288

,

0

288

,

0

1

1

83

,

2

48

,

2

83

,

2

48

,

2

1

1

1

2

X

,

1

X

Cov

2

X

,

1

X

Cov

1

{ }

{ }

z

G

*

T

113

7. Okre

ś

l wektor {

α

}

{ }

{ }

{ }

[ ]

{ }

55

,

1

G

G

z

G

T

*

T

=

ρ

=

β

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }













−

=

ρ

ρ

=

α

449

,

0

726

,

0

G

G

G

T

Przykład (c.d.)

8. Okre

ś

l nowe warto

ś

ci z

i

* dla n-1 zmiennych losowych:

9. Okre

ś

l x

1

* na podstawie nowego z

1

*:

(

)( )

3

,

1

55

,

1

726

,

0

z

1

*

1

−

=

−

=

βα

=

8

,

13

z

x

x

*

*

=

+

=

µ

114

10. Oblicz x

2

* rozwi

ą

zuj

ą

c równanie stanu granicznego g = 0.

11. Powtarzaj iteracje, a

ż

do uzyskania zbie

ż

no

ś

ci wyników.

8

,

13

z

x

x

1

1

X

*

i

*

1

=

+

=

µ

7

,

20

x

*
2

=

Przykład (c.d.)

Wyniki iteracji (poprawne rozwi

ą

zanie uzyskano po jednej iteracji).

20.7

25.5

x

*

13.8

17

x

1

*

2

1

iteracje

115

20.7

20.7

x

2

*

13.8

13.8

x

1

*

↓

1.55

1.55

β

↓

20.7

25.5

x

2

*