L
ABORATORIUM FIZYCZNE
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
ĆWICZENIE
16
Wyznaczanie naprężeń za pomocą tensometru oporowego
L
ABORATORIUM FIZYCZNE
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
ĆWICZENIE
16
Wyznaczanie naprężeń za pomocą tensometru oporowego
Ćwiczenie 16
2
ĆWICZENIE
16
Wyznaczanie naprężeń za pomocą tensometru oporowego
Ryszard Duraj
1.
Wprowadzenie
Wszędzie tam, gdzie istnieje potrzeba mierzenia sił i naprężeń np. w konstrukcjach mostów,
zbiorników, budynków, statków i samolotów stosuje się od ponad 70 lat pomiar odkształceń fizycz-
nych za pomocą czujników rezystancyjnych zwanych tensometrami. Są to elementy wykonane w
formie elastycznych pasków o małej powierzchni, dzięki czemu można je nakleić na prawie każdy
materiał.
Pod wpływem wydłużeń względnych
∆
l/l występujących w elementach konstrukcji wydłuża się
także naklejony tensometr. Już w 1856 Lord Kelvin zaobserwował zmiany oporności drutu pod
wpływem przyłożonej siły. Właściwe wykorzystanie tej wiedzy do pomiaru siły nastąpiło dopiero w
1937r. w USA. W roku 1939 zaczęto produkować na skalę przemysłową pierwsze na świecie tenso-
metryczne czujniki siły zbliżone formą do stosowanych obecnie. Technika ta ma już kilkadziesiąt lat i
nadal jest udoskonalana.
Zakres siły działającej na tensometr musi mieścić się w zakresie odkształceń sprężystych materia-
łu, z którego jest wykonany, gdyż po jednorazowym przekroczeniu granicy plastyczności parametry
czujnika nie powróciłyby do pierwotnych wartości - uległby uszkodzeniu. Dlatego przez wiele lat roz-
woju tensometrii naukowcy dobierali odpowiednie stopy metali, aby uzyskać jak najlepsze parame-
try użytkowe czujników.
Podstawowa postać tensometru przedstawiona jest na rysunku 1a. Jest on wykonany z cienkiego
drutu oporowego (o średnicy od 0,02 do 0,05mm) ułożonego w charakterystyczną, wężykowatą mo-
zaikę, zwaną też drabinką pomiarową, wklejoną między paski papieru lub tworzywa sztucznego. Wy-
dłużanie się drucików tensometru pod wpływem sił powoduje zmianę oporu zgodnie ze wzorem:
S
l
R
ρ
=
(1)
Zmienia się bowiem zarówno długość drucika l jak i pole przekroju S.
Doświadczenie mówi, że stosunek:
k
l
l
R
R
=
∆
∆
:
(2)
jest dla danego tensometru wielkością stałą, zależną od materiału tensometru. Stosunek ten nazy-
wamy
stałą tensometru
. Dla większości metali k > 0; tak np. dla konstantanu k = 1,8, dla platyny –
4,12, dla niklu – 12. W celu znalezienia stałej k należy tensometr wywzorcować, nalepiając go na pła-
skowniku, poddając działaniu siły rozciągającej i mierząc równocześnie
∆
l/l i
∆
R/R. Opór tensometru
R i stałą k podaje zazwyczaj wytwórnia.
Oprócz tensometrów drucikowych używa się także innych rodzajów działających na podobnej
zasadzie:
Wyznaczanie naprężeń za pomocą…
3
•
•
•
•
tensometry
foliowe (folia metalowa o grubości od 0,002 do 0,02mm)
–
używane najczęściej,
wykonywane np. metodą trawienia warstwy metalu na podkładzie z tworzywa sztucznego,
•
•
•
•
tensometry półprzewodnikowe (wysoka stała k, od 100 do 150), silny wpływ temperatury, de-
likatne.
Oznaczając wydłużenie względne
∆
≡
może-
my napisać, korzystając z (2) :
ε
⋅
=
∆
k
R
R
(3)
Zastosowanie tensometrów do pomiaru naprężeń w
konstrukcjach bazuje na prawie Hooke'a, które mówi, że
naprężenie
σ
(dla jednoosiowego stanu małych naprę-
żeń) jest wprost proporcjonalne do wydłużenia względne-
go
ε
:
ε
σ
E
=
, (4)
gdzie E jest modułem Younga.
Korzystając ze wzorów (3) i (4) możemy napisać:
=
∙
∆
(5)
a)
b)
c)
Rys. 1. Tensometry oporowe a) druci-
kowy, b) foliowy, c) półprzewodni-
kowy
Rys.2. Tensometryczne czujniki siły: a) belkowe b) okrągłe c) S-kształtne
Ćwiczenie 16
4
2.
Metoda pomiaru
Aby znaleźć naprężenie, należy zatem znać stałą tensometru, moduł Younga badanego elemen-
tu konstrukcyjnego i wyznaczyć
∆
R/R dla tensometru.
Do pomiaru oporu stosujemy obwód elektryczny zwany mostkiem Wheatstone’a.
Zasada działania mostka Wheatstone’a została dokładnie omówiona w ćw. 12.
W jedną gałąź mostka włączamy tensometr „czynny” R
1
, w drugą, jako opór znany, taki sam ten-
sometr, przyklejony takim samym klejem, na takim samym podłożu, tzw. tensometr kompensacyjny
R
2
. Postępowanie to ma na celu:
a) wyeliminowanie wpływu temperatury na opór tensometru, wpływu na ogół silniej-
szego niż wpływ naprężeń mechanicznych. Jeżeli przez galwanometr prąd nie płynie, to ten
sam prąd płynie przez oba tensometry i podnosi jednakowo ich temperaturę;
b) wyeliminowanie zmiany oporu tensometru, spowodowanej skurczem kleju.
Pozostałe opory: R
3
i R
4
– każdy z nich jest sumą oporu R
0
i oporu odcinka drutu oporowego: od-
powiednio AB i BC. Drut oporowy jest rozpięty
wzdłuż skali milimetrowej i posiada znany
opór R
5
.
Łączymy obwód według schematu przed-
stawionego na rys. 2. Tensometr czynny (jego
opór – R
1
) przyklejony jest do płaskownika, w
którym będziemy badać naprężenia. Zaczyna-
my pomiar, gdy płaskownik spoczywa na stole
– jest nieobciążony. Po zamknięciu obwodu
ustawiamy ruchomy styk B w położeniu x
0
,
przy którym prąd płynący przez galwanometr
I
g
= 0. Równowaga powinna nastąpić przy
położeniu suwaka w pobliżu środka drutu AC.
Poddajemy następnie materiał odkształ-
ceniu. W tym celu mocujemy go w uchwycie.
Ponieważ zmienia się opór tensometru przyklejonego do odkształcanego płaskownika o
∆
R
1
, równo-
waga mostka zostaje zakłócona i pojawia się prąd I
g
≠
0 płynący przez galwanometr.
Aby ponownie uzyskać równowagę, przesuwamy styk w nowe położenie x
1
. Przy I
g
= 0 jest speł-
niona proporcja:
3
4
3
3
2
1
1
R
R
R
R
R
R
R
∆
−
∆
+
=
∆
+
, (6)
gdzie
∆
R
3
oznacza opór odcinka drutu oporowego długości:
∆
x = x
1
– x
0
. Łatwo go obliczyć ze
wzoru (2), mając opór całkowity drutu R
5
i jego długość (L = 1,000 m):
L
x
R
R
∆
=
∆
5
3
. (7)
Przy założeniu, że: R
1
= R
2
, R
3
= R
4
= R
0
+ 1/2 R
5
, równanie nasze przybierze postać:
3
3
3
3
1
1
1
R
R
R
R
R
R
R
∆
−
∆
+
=
∆
+
.
Po dalszych przekształceniach:
R
1
R
2
G
R
0
A B C R
0
R
U
Rys. 3. Schemat mostka Wheatstone’a z ten-
sometrami jako oporami R1 i R2
Wyznaczanie naprężeń za pomocą…
5
3
3
3
1
1
2
1
1
R
R
R
R
R
∆
−
∆
+
=
∆
+
,
stąd przy założeniu, że
∆
R
3
<< R
3
dostajemy:
3
3
3
3
3
1
1
2
2
R
R
R
R
R
R
R
∆
≅
∆
−
∆
=
∆
.
(8)
Korzystając ze wzoru (5) otrzymujemy ostatecznie:
k
E
R
R
⋅
∆
=
3
3
2
σ
.
(9)
3.
Wykonanie ćwiczenia
3.1
Zadanie 1
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie naprężenia
σ
w oznaczonym miejscu zginanego płaskownika
stalowego.
Płaskownik z naklejonym tensometrem kładziemy na stole, łączymy przewodnikami opory, gal-
wanometr i źródło zasilania według schematu przedstawionego na rys. 3.
Ustawiamy maksymalny opór na oporniku suwakowym R, przesuwamy styk B na środek drutu
oporowego L i zmniejszamy stopniowo opór R regulujący czułość układu; przesuwamy styk B tak, by
przy całkowicie wyłączonym oporze R, I
g
= 0. Notujemy położenie styku x
0
.
Uwaga: Pewien dopuszczalny przez producenta rozrzut wartości oporów elektrycznych tensome-
trów jest odpowiedzialny za to, że zwykle x
0
nie wypada dokładnie w połowie długości drutu oporo-
wego. Błąd, który jest popełniany jeśli w takiej sytuacji stosujemy w obliczeniach założenia, że
R
1
= R
2
, R
3
= R
4
jest jednak niewielki i nie wpływa w istotny sposób na wynik końcowy.
a
F
ξ
0
ξ
b
z
h
T
r
Rys. 3. Schemat zamocowania płaskownika (T – tensometr)
Ćwiczenie 16
6
Mocujemy teraz pręt w imadle – pod wpływem ciężaru własnego odkształca się i galwanometr
wychyla się z położenia zerowego. Aby go doń z powrotem sprowadzić, należy przesunąć styk do
położenia x
1
.
Teraz obciążamy pręt ciężarem F i ponownie notujemy położenie styku x
2
na drucie oporowym,
przy którym mostek jest w równowadze. Pomiary przeprowadzamy dla różnych długości ramienia r,
na którym zawieszony jest ciężar F. Wyniki pomiarów wpisujemy do tabeli 1.
Tabela 1. Zależność naprężeń belki od położenia ciężarka
3.2
Zadanie 2 (dla studentów bardziej zaawansowanych)
Obliczyć wielkość naprężenia w tym samym miejscu zginanej belki, korzystając ze wzoru teorii
sprężystości; porównać obliczoną wartość naprężenia z wartością uzyskaną z pomiaru.
Naprężenie belki dane jest wzorem:
0
J
z
M
⋅
=
σ
,
gdzie:
M – moment gnący, tzn. suma momentów sił zewnętrznych, działających na rozpatrywaną
część belki, obliczoną względem środka ciężkości rozważanego przekroju,
Z – odległość rozpatrywanego punktu od osi obojętnej belki (u nas: z = h/2),
J
0
– moment bezwładności prostokątnego przekroju pręta względem poziomej osi symetrii:
J
0
=
12
3
h
b
⋅
(rys. 3).
Na moment gnący M składa się moment siły F:
k = ....... E = .......
R
5
= ....... R
0
= .......
L
R
R
R
k
E
C
+
⋅
=
5
0
5
2
1
2
= .......
początkowe położenie styku x
0
= ...... cm
r
[m]
x
i
[cm]
∆
x
i
= x
i
– x
0
[cm]
σ
[N/m
2
]
obciążenie
własne belki
Wyznaczanie naprężeń za pomocą…
7
M
1
= F
⋅
(
ξ
–
ξ
0
)
i moment własnego ciężaru belki M
2
. Jeżeli długość belki (od zamocowania do swobodnego
końca) oznaczamy przez a, a jej ciężar przez Q, to:
2
d
2
0
2
ξ
ς
ς
ξ
⋅
=
⋅
=
∫
a
Q
a
Q
M
,
M = M
1
+ M
2
,
i na naprężenie belki w miejscu, gdzie zamocowany jest tensometr dostajemy wyrażenie:
2
)
(
0
2
1
h
J
M
M
+
=
σ
.
(10)
Należy zmierzyć parametry belki: a, b i h. Wartości Q,
ξ
i masa odważnika m podane są w labora-
toryjnym egzemplarzu instrukcji. Dla różnych odległości:
ξ
0
= a – r zawieszenia odważnika od końca
belki obliczyć naprężenia ze wzoru (11).
Wyniki pomiarów i obliczeń wpisać do tabeli 2.
Przeprowadzić porównanie naprężenia obliczonego ze wzoru teoretycznego ze zmierzonym za
pomocą tensometru. Sporządzić wykresy
σ
(r) dla obu przypadków
Tabela 2. Teoretyczne naprężenia belki
b = ....
h = ....
a = ....
ξ
= ....
F = mg = ....
Q = ....
J
0
= .... M
2
= ....
ξ
0
m
M
1
m
σ
N/m
2
Ćwiczenie 16
8
4.
Opracowanie wyników
4.1
Zadanie 1
Naprężenia w zadaniu 1 obliczamy ze wzoru (9), w którym
∆
R
3
zastępujemy wyrażeniem (7). Wzór
ten do obliczeń wygodnie jest przekształcić do postaci:
)
(
2
1
2
2
0
5
0
5
3
3
x
x
C
x
L
R
R
R
k
E
k
E
R
R
−
⋅
=
∆
⋅
+
⋅
=
⋅
∆
=
σ
.
(11)
Wyniki obliczeń wpisujemy do tabeli 1.
Dla jednego pomiaru liczymy niepewność u(
σ
). Sporządzamy wykres naprężenia w funkcji długo-
ści ramienia działania siły r,
σ
(r).
4.2
Zadanie 2
W ramach zadania 2 należy przeprowadzić porównanie naprężenia obliczonego ze wzoru teore-
tycznego ze zmierzonym za pomocą tensometru. Sporządzić wykresy
σ
(r) dla obu przypadków.
5.
Literatura
[1] J. Halaunbrenner, M. Kmiecik, Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, Wydawnictwo Politechniki Kra-
kowskiej, Kraków 1997,
[2] Parchański J.: Miernictwo elektryczne i elektroniczne. WSiP - Warszawa 2008,
[3]Tumański S.: Technika pomiarowa. WNT, Warszawa 2007.