I ZASADA DYNAMIKI NEWTONA – jeżeli na ciało lub układ ciał 
nie działa żadna siła lub siły się równoważą to układ ten 
porusza się ruchem jednostajnym.II ZASADA DYNAMIKI 
NEWTONA- Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się 
(czyli wypadkowa sił jest różna od zera), to ciało porusza się 
z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły 
wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.  
Twierdzenie Wariniona- moment wypadkowej sił danego 
układu jest równy sumie momentów wypadkowych sił. 

 

ΣM̄i=r̄*F̌

1

+ r̄*F̌

2

+

…

+ r̄*F̌

N

= r̄(F̌

1

+F̌

2

+…+F̌

N

)=r̄*W̄ 

UKŁAD SIŁ jest w równowadze kiedy wypadkowa jest 
wektorem zerowym, czyli kiedy wielobok jest zamknięty.  
TWIERDZENIE O TRZECH SIŁACH. TRZY SIŁYsą w równowadze, 
jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie i 
tworzą wielobok. 

 

M̄= r̄*F̌= 

𝑖

𝑗

𝑘

𝑟𝑥

𝑟𝑦

𝑟𝑧

𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧

 =(Fz

*

r

y

-Fy*r

z

)ī+(Fx

*

r

z

-Fz*r

x

)j+(Fy

*

r

x

-

Fx*r

y

)k 

WARUNKI RÓWNOWAGI DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ: 

 

W̄=ā

1

+ā

2

+…+ā

n

=0  {Wx=a

1x

+a

2x

+…+a

nx

=0 ; Wy=…  ;Wz=…  

};Σā=0 => {Ea

x

=0   Ea

y

=0   Ea

z

=0 }REDUKCJA UKŁADU SIŁ – kiedy 

w układzie będą występowad tylko pary sił to można je 
zredukowad do momentu głównego. 
Mg=M+r+ὦWg=0=>EPix=0  

Λ

EPiy=0

Λ

EPiz=0    

Mg=0=>EMix=0

Λ

EMiy=0

Λ

EMiz=0KRATOWNICA – płaski ustrój 

prętowy złożony z prętów połączonych ze sobą przegubami. 
METODA RITTERA-myślowe przecięcie prętów w celu 
wyodrębnienia sił wewnętrznych. 

 

ΣFix=0 

 

−𝑅

𝐴𝑋

+ 𝑃 = 0 → 𝑅

𝐴𝑋

= 𝑃

−𝑅

𝐴𝑌

+ 𝑅

𝐵

= 0 → 𝑅

𝐴𝑌

= 𝑅

𝐵

−𝑃𝑎 + 𝑅

𝐵

𝑎 = 0 → 𝑅

𝐵

= 𝑃

  = 𝑃 

-𝑅

𝐴𝑋

*a+S

1

a=0=>S

1

=R

AX

=P  ;  -Pa-S

3

a+S

5

*a

 2

2

=0  ;  -Pa-

S

3

a+R

AY

a=0/:a  ;  S

3

=R

AY

-P=P-P=0 

S

5

= P

2

 2

= P

2 2

2

= 2P  ;  S

4

-R

AY

=0  ;  S

4

= R

AY

=P  ;  S4-Ray=0   ;   

S4=Ray=P 
TWIERDZENIA PAPPUSA – GULDINA 1)Pole powierzchni 
bocznej bryły utworzonej przez obrót krzywej względem 
prostej l jest równe iloczynowi długości tej krzywej i drogi jaką 
zakreśla jej środek ciężkości. 2)Objętośd bryły utworzonej 
przez obrót prostej względem prostej l równa iloczynowi pola 
tej powierzchni i drogi jaką zakreśla jej środek ciężkości. 
Tarcie ślizgowe 

 

T/N=tgα=μ->T=μN , μ-tarcie ślizgowe  
TARCIE TOCZNE  

 

– P=T ; N=G ; G

*

f-P

*

h=0  ; P=G

*

f/h  

TARCIE CIĘGIEN 

 

-(S+dS)*cos(dϕ/2)+dT+S*cos(dϕ/2)=0  ; dN-(S+dS)*sin(dϕ/2)-
S*sin(dϕ/2)=0;; 
-S*cos(dϕ/2)- dS*cos(dϕ/2) +dT+S*cos(dϕ/2)=0 ; dN-S*sin 
dϕ/2-dS* sin(dϕ/2)-S*sin(dϕ/2)=0 ;; 
-dS+dT=0=>-dS+μdN=0   ;   dN-2S(dϕ/2)=0=>dN-S 
dϕ=0=>dN=S dϕ  ;  μS* dϕ=dS/:S  ;  dS/S=μdϕ 
d(lnS)= μ dϕ  ;  lnS

2

-lnS

1

= μ (d

2

-d

1

); ln(S

2

/S

1

)= μd=>e^ μd= 

S

2

/S

1

=>S

2

=S

1

*e^ μd;   

S

2

-S

1

=T=>T=S

1

(e^(μd)-1) 

RUCH OBROTOWY 

 

V̄

B

= ὦ

*

r

AB

 ;V

B

= ὦ*r

AB*

 sin π/2 = ὦ

*

r

AB

;p

B

=ɛ

*

V

AB

+ ὦ

* 

(ὦ

*

r

AB

) ;p

T

= 

ɛ

*

r

AB

;pn= ὦ

*

ὦ

*

r

AB

= ὦ

2

r

AB

;ὦ=dϕ/dt; ɛ=dὦ/dt ; p

B

= p

T

+ pnRUCH 

ŚRUBOWY 

 

V̄

f

= ὦ

*

 r ; V

A

=[0,Vy,0]  ;p

B

=p

Ay

+ ɛ

*

r+ ὦ

*

( ὦ

*

r)   

RUCH HARMONICZNY 

 

ω=const.;ϕ=ωt  ; X

B

=r*cosϕ= r*cosωt    ;  y

B

= r*sinϕ= r*sinωt  ;  

f(t)= 

𝐴𝑐𝑜𝑠ωt
𝐴𝑠𝑖𝑛ωt

 ; 

ẋ

B

=-r*ω*sinωt–prędkośd=>x=-R ω

2

cosωt ; ẏ

B

=r*ω*cosωt–

pręd.=>y=-R ω

2

sinωt 

V= ẋ

B

2

+ ẏ

B

2

=r*ω – pręd. w ruchu obr. ; ẍ

B

=-rω

2

cosωt ; 

ÿ

B

=-rω

2

sinωt  ;  p= ẍ

B

2

+ ÿ

B

2

=rω

2 

–przysp.dośrodkowe przy 

ruchu obr. 
RUCH KULISTY 

 

V̄=dr̄

M

/dt=ω*r̄

M

;  V̄

M

=lim(Δt->0)Δr̄

M

/Δt =lim(Δt->0)Δθr̄

M

/Δt= 

ω*r̄

M 

 

𝜔

  = 𝜑   + 𝜃   + 𝜓   = 𝜑 𝑒

3

  ′ + 𝜃 𝑒

1

  " + 𝜓 𝑒

3

   

𝜔

  = 𝜔

1

     + 𝜔

2

     + 𝜔

3

     = 𝜔𝑒

1

  + 𝜔𝑒

2

  + 𝜔𝑒

3

   

𝜔

1

𝑒

1

  𝑒

1

  + 𝜔

2

𝑒

2

  𝑒

1

  + 𝜔

3

𝑒

3

  𝑒

1

  = 𝜑 𝑒

3

  ′𝑒

1

  + 𝜃 𝑒

1

  "𝑒

1

  + 𝜓 𝑒

3

  𝑒

1

   ; 

(𝜓 𝑒

3

  𝑒

1

  = 0) 

𝜔

1

= 𝜑 𝑒

3

  ′𝑒

1

  + 𝜃 𝑒

1

  "𝑒

1

  = 𝜑 cos⁡ 

𝜋
2

− 𝜃  𝑐𝑜𝑠  

𝜋
2

− 𝜓 

+ 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓
= 𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 

RUCH KULISTY(OPIS EULERA)-ὦ= f 

* 

j’ + Ψ

* 

j + Θ

* 

ew   ;   Vb= 

V

A

+ὦ+r

AB

; 

P

B

= ɛ 

*

ς

ɛ 

+ ὦ

2 

*

ς

ὦ

 

PRECESJA REGULARNA – Precesja przy której prędkośd nutacji 
jest równa 0 

 

𝜔 =  𝜔

   =  𝜔

3

2

+ 𝜔

3

′

2

+ 2𝜔

3

𝜔

3

′𝑐𝑜𝑠θ  ;  𝜔

  = 𝜔

3

     + 𝜔

3

    ′ 

𝜀  = 𝑑𝜔

 /𝑑𝑡 = 𝜔

3

     ∗ 𝜔

  = 𝜔

3

     ∗  𝜔

3

     + 𝜔

3

    ′ 

= 𝜔

3

     ∗ 𝜔

3

     + 𝜔

3

     ∗ 𝜔

3

    ′

= 𝜔

3

     ∗ 𝜔

3

    ′ 

OPIS RUCHU ZŁOŻONEGO 

 

r̄

B

=r̄

A

+r̄

AB;

V̄

B

=dr̄

B

/dt =d/dt(r̄

A

+r̄

AB

)=dr̄

A

/dt+dr̄

AB

/dt=V̄

A

+dr̄

AB

/dt + 

ὦ*r

AB

=V̄

A

 + ὦ * r̄

AB

 + 

V̄w;p

B

=dV̄

B

/dt=d/dt(V̄

A

+ὦ*r̄

AB

+V̄w)=dV̄

A

/dt+dὦ/dt*r̄

AB

+ὦ*dr̄

AB

/

dt + dV̄w/dt = p

A

 + ɛ *r̄

AB

 + ὦ * (dr̄

AB

/dt + ὦ *r̄

AB

) + dV̄

w

/dt + ὦ * 

V̄w = pA + ɛ *r̄

AB

 + ὦ (V̄w + ὦ * r̄AB) + pw + ὦ * V̄w = p

A

 + ɛ *r̄

AB

 

+ ὦ * ὦ * r̄

AB

 + p

w

 + 2 ὦ * V̄wRÓWNANIE WIĘZÓW  

 

x

B

2

+y

A

2

=L

2

 

MOMENT DEWIACJIDxz = m*x*z   Dyx = m*x*y   Dyz= m*y*z 

 

dJo = d

2

*

dm = d

2

*

dV;Jo = ∫ϱ

*

d

2

dV ;Jo=∫ϱ

*

r

A*

dV=∫ϱ(r

C

+r

CA

) 

*

 

(r

C

+r

CA

)dV = ∫ϱ (r

C*

r

C

 + 2r

C*

r

CA

 + r

CA*

r

CA

)dV=r

C*

r

C*

∫ϱdV+2r

C*

∫ϱdV + 

∫ϱr

CA*

r

CA*

dV = m * r

C*

r

C

 + 2r

C*

 S

0

+Jc 

ENERGIA KINETYCZNA BRYŁY SZTYWNEJ  

 

dEk = V̄

A*

V̄

A*

 1/2dm ; Ek=1/2∫ϱ V̄

A*

V̄

A*

dV= 1/2 ϱ ∫(V̄c + ὦ 

*

r

CA

)( 

V̄c + ὦ 

*

r

CA

)dV= 1/2 ϱ ∫*V̄c*V̄c+2V̄c*(ὦ 

*

r

CA

)+ (ὦ 

*

r

CA

)*(ὦ 

*

r

CA

)]dV=1/2V̄c*V̄c∫ ϱdV+ ϱ *V̄c ∫ (ὦ 

*

r

CA

)dV +1/2 ∫ ϱ(ὦ 

*

r

CA

)*(ὦ 

*

r

CA

)dV=1/2mV̄c*V̄c+V̄c* ὦ ∫r

CA

ϱdV +1/2 ∫ϱ(ὦ* 

r

CA*

sinα)

2

ē

l

ē

l

dV=1/2mV̄c*V̄c+1/2 ∫ ὦ

2

d

2

ē

l

ē

l

dV=1/2mV̄c*V̄c+1/2 

ὦ

2

ē

l

ē

l

 ϱ ∫d

2

dV=1/2mV̄c*V̄c+1/2J

l

 ὦ

2

 

PĘD dQ = VA 

*

dm;Q=∫VA * dm = ∫(VC +ὦ

*

rCA)dm = ∫Vcdm + ὦ 

*

∫ rCA

*

dm = Vc

*

 mKRĘT  r

A

 = r

C

 + r

CA

; dK

0

 = r

A

 * V

A

 * dm;  K

0

=∫r

A*

 

V

A*

dm = ∫(r

C

 + r

CA

) 

*

 V

A*

dm = ∫r

C*

 V

A*

dm + ∫r

CA*

 V

A*

dm = r

C*

 

∫V

A

dm + ∫r

CA*

 V

A

dm = r

C*

 Q + K

C

MOMENT BEZWŁADNOŚCI – 

miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem 
określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym 
trudniej zmienid ruch obrotowy ciała, np. rozkręcid dane ciało 
lub zmniejszyd jego prędkośd 
kątową. MOMENTEM STATYCZNYM FIGURY 
PŁASKIEJ względem dowolnej osi 
nazywamy sumę iloczynów powierzchni pól częściowych A

i

 i 

ich odległości r

i

 od tej osi, lub prościej iloczyn pola 

powierzchni A tej figury i odległości r

0

 środka ciężkości figury 

od tej osi.TWIERDZENIE STEINERA -
twierdzenie mechaniki opisujące zależnośd momentu 
bezwładności bryły względem danej osi i osi równoległej do 
danej przechodzącej przez środek masy bryły.I = Io + md

2

, 

gdzie: Io-moment bezwł. Względem osi przechodzącej przez 
środek masy, I-moment bezwł, względem osi równoległej do 
pierwszej osi, d-odległośd między osiami, m-masa bryły. 
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA w fizyce – wielkość 
wektorowa 

opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). 

RZUT PIONOWY 

z(t)=-gt+C->C=Vo  ;  y(t)=-gt^2/2+Ct+D-

>D=0  ;  ẏ(t)=V(t)=Vo-gt  ;  y(t)=Vot-gt^2/2  ;  ẏ(t=to)=0->Vo-
gtc=0->tc=Vo/g  ;  h=Vo*(Vo/g)-(g/2)*(Vo/g)^2=Vo^2/g-
Vo^2/2g=Vo^2/2g  ;  Ek= ½ 

*

 m * Vo

2

;Ep=mg

*

h ;½ m 

*

Vo

2

 = 

m 

*

 g 

*

 h  -> h = Vo

2

/2g  

RZUT POZIOMY 
ẍ=0     ẋ(t=0)=Voẋ=C->C=Vo ; 
x(t=0)=0      x=Ct+D->D=0; 
ÿ=-g   ẏ(t=0)=0     ẏ=-gt+C’->C’=0; 
          y(t=0)=h     y=-gt^2/2+C’t+D’->D’=h; 

 

ẋ = Vo

x = Vot

→ 𝑡 =

𝑥

𝑉𝑜

   ;   

ẏ = −gt

y = h −

gt

2

2

→ ℎ −

𝑔

2

∗

𝑥

2

𝑉𝑜

2

    ;   h-

gxk^2/2Vo^2=0  ; 

Xk =  2Vo2h/g = 𝑉𝑜 2ℎ/𝑔 

RZUT UKOŚNY 
ẍ=0     ẋ(t=0)=Vocosα   ẋ=C->C=Vocosα ; 
           x(t=0)=0      x=Ct+D->D=0; 
ÿ=-g   ẏ(t=0)=Vosinα  ẏ=-gt+C’->C’=Vosinα; 
          y(t=0)=0 y=-gt^2/2+C’t+D’->D’=0 
ẋ=Vocosα  ;  x=Votcosα =t=x/Vocosα   ;   ẏ=Vosinα-gt  ;  
y=Votsinα-gt^2/2;y=Vo (x/Vocosα)sinα-g/2 *(x/Vocosα)^2  
=Xtgα-(gx^2/2Vo^2cos^2α)  ;Xk*(tgα-(gx^2/2Vo^2cos^2α)=0 
;X

k

=2Vo

2

cos

2

α/g

*

sin

α/cosα=Vo

2

/g

*

2sin

αcosα=Vo

2

/g 

*

sin2

α;dX

k

/d

α=Vo

2

/g*2cos

2

α=0;cos2α=0 ;2α=π/2 ;α=π/4 

Ruchpłaski 

 

VAcosα=VBcosβ 
V̄

A

=V̄

B

+ὦ*r̄

BA

ὦ*r̄

BA

=V̄

A/B

 

V̄

A

*r̄

BA

=V̄

B

*r̄

BA

+( ὦ*r̄

BA

)*r̄

BA

( ὦ*r̄

BA

)*r̄

BA

=0 

|V̄

A

|*|r̄

BA

|*cosα=|V̄

B

|*|r̄

BA

|*cosβ 

𝑝

𝐴

    = 𝑝

𝐵

    + 𝜀  ∗ 𝑟

𝐵𝐴

     + 𝜔

  ∗ (𝜔

  ∗ 𝑟

𝐵𝐴

    ) 

 𝜀  ∗ 𝑟

𝐵𝐴

     + 𝜔

  ∗  𝜔

  ∗ 𝑟

𝐵𝐴

       = 𝑝

𝐴/𝐵

       

 

V̄

A

=V̄

A

’=0  ;  Vo/Vc=R/2R=>Vo=Vc/2  ;  Vc=2Vo 

PRACA𝑑𝐿 = 𝐹  ∗ 𝑑𝑟

    = 𝐹  ∗ 𝑉 𝑑𝑡 = 𝐹  ∗  𝑉

𝐶

    + 𝜔  ∗ 𝑟

𝐶𝐴

     𝑑𝑡  = 𝐹  ∗

𝑉

𝐶

   𝑑𝑡 + 𝐹  𝜔  ∗ 𝑟

𝐶𝐴

     𝑑𝑡 = 𝐹  ∗ 𝑉

𝐶

   𝑑𝑡 + 𝐹 𝑑𝜑𝑟  = 𝐹 𝑑𝑟

𝐶

  +

 𝑟

𝐶𝐴

     ∗ 𝐹  𝑑𝜑 = 𝑑𝐿

′

+ 𝑀

𝐶

    𝑑𝜑 = 𝑑𝐿

′

+ 𝑑𝐿"  ;  dL’-praca w ruchu 

postępowym;dL”-praca w ruchu obrotowym 
OSCYLATOR HARMONICZNY 
V=mgho  ;  ho=l-lcosϕo=l(1-cosϕo)  ;  V=mgl(1-cosϕo)     ;   T=0  
;  T(ϕ)=1/2m(ẋ^2+ẏ^2)=1/2m(l^2ϕ’^2cos^2ϕ+;^2ϕ’^2sin^2ϕ) 
=1/2ml^2ϕ’^2 ; T+V=1/2ml^2ϕ^2+mgl-mglcosϕ=mgl(1-cosϕ) ;  
Ml^2ϕ’^2+ϕ’mglsinϕ=0 – równanie ruchu układu 
PRAWO D’ALEMBERTA 
W przypadku ruchu postępowego 

 

𝑚𝑝  − 𝐹  − 𝑅  = 0     ;     𝐹𝑏

     = 𝑚𝑝  

1)równanie równowagi sił (P1) 
R-F-Fb=0  ;  R=F+Fb=mg+mp=m(g+p) 

2)(P2)   ;   R-F+Fb=0  ;  R=F-Fb=m(g-p) 
Dla dowolnego punktu 
𝑚𝑖𝑝 𝑖 − 𝐹𝑖

  − 𝑅𝑖

    − 𝑊𝑖

     = 0 

 
Dla układu ciał 

 

m2>m1 
i=2 (2 ciała = 2 układy równowagi) 
R-m1g-m1p1=0   ;   R-m2g+m2p2=0 
y1+πr+y2=const.=l (długośd linki) 
y1=y1(t)  ;  y2=y2(t)  ;  ẏ1+ ẏ2=0  ;  ÿ1+ÿ2=0  ;  p1+p2=0  ->  
p1=-p2 
POWIERZCHNIA EKWIPOTENCJALNA 

 

F=G*(M*m/r^2)   ;  Energia potencjalna  ;  V=mgy  ;  

𝜕𝑉

𝜕𝑦

= 𝑚𝑔  = −𝐹  – siła działająca na dane ciało 

𝐹  = −𝑔𝑟𝑎𝑑. 𝑉  (gradient potencjału) 
SIŁA SPRĘŻYSTOŚCI 

 

k=dFs/dx – stała sprężystości   ;   dL(𝐹 )=Fdx   ;   dL(𝐹 𝑠)=-Fsdx   ;   
dL=F(x)dx=kxdx   ;   L=∫kzdz=k(z^2/2)|

0

X

=kx^2/2 – praca 

wykonana przy rozciąganiu