I ZASADA DYNAMIKI NEWTONA – jeżeli na ciało lub układ ciał nie działa żadna siła lub siły się równoważą to układ ten porusza się ruchem jednostajnym. II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA- Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli wypadkowa sił jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

Twierdzenie Wariniona- moment wypadkowej sił danego układu jest równy sumie momentów wypadkowych sił.

ΣM̄i=r̄*F̌₁+ r̄*F̌₂+_…+ r̄*F̌_N= r̄(F̌₁+F̌₂+…+F̌_N)=r̄*W̄

UKŁAD SIŁ jest w równowadze kiedy wypadkowa jest wektorem zerowym, czyli kiedy wielobok jest zamknięty.

TWIERDZENIE O TRZECH SIŁACH. TRZY SIŁY są w równowadze, jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie i tworzą wielobok.

M̄= r̄*F̌=$\left| \begin{matrix} i & j & k \\ \text{rx} & \text{ry} & \text{rz} \\ \text{Fx} & \text{Fy} & \text{Fz} \\ \end{matrix} \right|$=(Fz_*r_y-Fy*r_z)ī+(Fx_*r_z-Fz*r_x)j+(Fy_*r_x-Fx*r_y)k

WARUNKI RÓWNOWAGI DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ:

W̄=ā₁+ā₂+…+ā_n=0 {Wx=a_1x+a_2x+…+a_nx=0 ; Wy=… ; Wz=… } ; Σā=0 => {Ea_x=0 Ea_y=0 Ea_z=0 } REDUKCJA UKŁADU SIŁ – kiedy w układzie będą występować tylko pary sił to można je zredukować do momentu głównego. Mg=M+r+ὦ Wg=0=>EPix=0 _Λ EPiy=0 _Λ EPiz=0 Mg=0=>EMix=0 _Λ EMiy=0 _Λ EMiz=0 KRATOWNICA – płaski ustrój prętowy złożony z prętów połączonych ze sobą przegubami.

METODA RITTERA-myślowe przecięcie prętów w celu wyodrębnienia sił wewnętrznych.

ΣFix=0

$$\left\{ \begin{matrix} - R_{\text{AX}} + P = 0 \rightarrow R_{\text{AX}} = P \\ - R_{\text{AY}} + R_{B} = 0 \rightarrow R_{\text{AY}} = R_{B} \\ - Pa + R_{B}a = 0 \rightarrow R_{B} = P \\ \end{matrix} \right.\ = P$$

-R_AX*a+S₁a=0=>S₁=R_AX=P ; -Pa-S₃a+S₅*a$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0 ; -Pa-S₃a+R_AYa=0/:a ; S₃=R_AY-P=P-P=0

S₅= P$\frac{2}{\sqrt{2}}$= P$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$P ; S₄-R_AY=0 ; S₄= R_AY=P ; S4-Ray=0 ; S4=Ray=P

TWIERDZENIA PAPPUSA – GULDINA 1)Pole powierzchni bocznej bryły utworzonej przez obrót krzywej względem prostej l jest równe iloczynowi długości tej krzywej i drogi jaką zakreśla jej środek ciężkości. 2)Objętość bryły utworzonej przez obrót prostej względem prostej l równa iloczynowi pola tej powierzchni i drogi jaką zakreśla jej środek ciężkości.

Tarcie ślizgowe

T/N=tgα=μ->T=μN , μ-tarcie ślizgowe

TARCIE TOCZNE

– P=T ; N=G ; G_*f-P_*h=0 ; P=G_*f/h

TARCIE CIĘGIEN

-(S+dS)*cos(dϕ/2)+dT+S*cos(dϕ/2)=0 ; dN-(S+dS)*sin(dϕ/2)-S*sin(dϕ/2)=0 ;;

-S*cos(dϕ/2)- dS*cos(dϕ/2) +dT+S*cos(dϕ/2)=0 ; dN-S*sin dϕ/2-dS* sin(dϕ/2)-S*sin(dϕ/2)=0 ;;

-dS+dT=0=>-dS+μdN=0 ; dN-2S(dϕ/2)=0=>dN-S dϕ=0=>dN=S dϕ ; μS* dϕ=dS/:S ; dS/S=μdϕ

d(lnS)= μ dϕ ; lnS₂-lnS₁= μ (d₂-d₁) ; ln(S₂/S₁)= μd=>e^ μd= S₂/S₁=>S₂=S₁*e^ μd ;

S₂-S₁=T=>T=S₁(e^(μd)-1)

RUCH OBROTOWY

V̄_B= ὦ_*r_AB ; V_B= ὦ*r_{AB *} sin π/2 = ὦ _*r_AB ; p_B= ɛ_*V_AB+ ὦ _* (ὦ_*r_AB) ; p_T= ɛ_*r_AB ; pn= ὦ _* ὦ _* r_AB= ὦ²r_AB ; ὦ=dϕ/dt ; ɛ=dὦ/dt ; p_B= p_T+ pn RUCH ŚRUBOWY

V̄_f= ὦ _* r ; V_A=[0,Vy,0] ; p_B=p_Ay + ɛ_*r+ ὦ_*( ὦ_*r)

RUCH HARMONICZNY

ω=const.;ϕ=ωt ; X_B=r*cosϕ= r*cosωt ; y_B= r*sinϕ= r*sinωt ; f(t)=$\left\{ \begin{matrix} \text{Acos}\omega t \\ \text{Asin}\omega t \\ \end{matrix} \right.\ $;

ẋ_B=-r*ω*sinωt–prędkość=>x=-R ω²cosωt ; ẏ_B=r*ω*cosωt–pręd.=>y=-R ω²sinωt

V=$\sqrt{{x_{B}}^{2} + {y_{B}}^{2}}$=r* ω – pręd. w ruchu obr. ; ẍ_B=-rω²cosωt ;

ÿ_B=-rω²sinωt ; p=$\sqrt{{x_{B}}^{2} + {y_{B}}^{2}}$=rω² –przysp. dośrodkowe przy ruchu obr.

RUCH KULISTY

V̄=dr̄_M/dt=ω*r̄_M ; V̄_M=lim(Δt->0)Δr̄_M/Δt = lim(Δt->0)Δθr̄_M/Δt= ω*r̄_M

$$\overset{\overline{}}{\omega} = \overset{\overline{}}{\dot{\varphi}} + \overset{\overline{}}{\dot{\theta}} + \overset{\overline{}}{\dot{\psi}} = \dot{\varphi}\overset{\overline{}}{e_{3}}' + \dot{\theta}\overset{\overline{}}{e_{1}}" + \dot{\psi}\overset{\overline{}}{e_{3}}$$

$$\overset{\overline{}}{\omega} = \overset{\overline{}}{\omega_{1}} + \overset{\overline{}}{\omega_{2}} + \overset{\overline{}}{\omega_{3}} = \omega\overset{\overline{}}{e_{1}} + \omega\overset{\overline{}}{e_{2}} + \omega\overset{\overline{}}{e_{3}}$$

$\omega_{1}\overset{\overline{}}{e_{1}}\overset{\overline{}}{e_{1}} + \omega_{2}\overset{\overline{}}{e_{2}}\overset{\overline{}}{e_{1}} + \omega_{3}\overset{\overline{}}{e_{3}}\overset{\overline{}}{e_{1}} = \dot{\varphi}\overset{\overline{}}{e_{3}}'\overset{\overline{}}{e_{1}} + \dot{\theta}\overset{\overline{}}{e_{1}}"\overset{\overline{}}{e_{1}} + \dot{\psi}\overset{\overline{}}{e_{3}}\overset{\overline{}}{e_{1}}$ ; ($\dot{\psi}\overset{\overline{}}{e_{3}}\overset{\overline{}}{e_{1}} = 0$)

$$\omega_{1} = \dot{\varphi}\overset{\overline{}}{e_{3}}'\overset{\overline{}}{e_{1}} + \dot{\theta}\overset{\overline{}}{e_{1}}"\overset{\overline{}}{e_{1}} = \dot{\varphi}cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)\cos\left( \frac{\pi}{2} - \psi \right) + \theta cos\psi = \dot{\varphi}sin\theta cos\psi + \theta cos\psi$$

RUCH KULISTY(OPIS EULERA)- ὦ= f _* j’ + Ψ _* j + Θ _* ew ; Vb= V_A+ ὦ+r_AB ;

P_B= ɛ _* ς_ɛ + ὦ² _* ς_ὦ

PRECESJA REGULARNA – Precesja przy której prędkość nutacji jest równa 0

$\omega = \left| \overset{\overline{}}{\omega} \right| = \sqrt{{\omega_{3}}^{2} + {\omega_{3}'}^{2} + 2\omega_{3}\omega_{3}'\cos\theta}$ ; $\overset{\overline{}}{\omega} = \overset{\overline{}}{\omega_{3}} + \overset{\overline{}}{\omega_{3}}'$

$$\overset{\overline{}}{\varepsilon} = d\overset{\overline{}}{\omega}/dt = \ \overset{\overline{}}{\omega_{3}}*\overset{\overline{}}{\omega} = \overset{\overline{}}{\omega_{3}}*\left( \overset{\overline{}}{\omega_{3}} + \overset{\overline{}}{\omega_{3}}' \right) = \overset{\overline{}}{\omega_{3}}*\overset{\overline{}}{\omega_{3}} + \overset{\overline{}}{\omega_{3}}*\overset{\overline{}}{\omega_{3}}' = \overset{\overline{}}{\omega_{3}}*\overset{\overline{}}{\omega_{3}}'$$

OPIS RUCHU ZŁOŻONEGO

r̄_B= r̄_A+r̄_{AB ;} V̄_B=dr̄_B/dt =d/dt(r̄_A+r̄_AB)=dr̄_A/dt+dr̄_AB/dt=V̄_A+dr̄_AB/dt + ὦ*r_AB=V̄_A + ὦ * r̄_AB + V̄w ; p_B=dV̄_B/dt=d/dt(V̄_A+ὦ*r̄_AB+V̄w)=dV̄_A/dt+dὦ/dt*r̄_AB+ὦ*dr̄_AB/dt + dV̄w/dt = p_A + ɛ *r̄_AB + ὦ * (dr̄_AB/dt + ὦ *r̄_AB) + dV̄_w/dt + ὦ * V̄w = pA + ɛ *r̄_AB + ὦ (V̄w + ὦ * r̄AB) + pw + ὦ * V̄w = p_A + ɛ *r̄_AB + ὦ * ὦ * r̄_AB + p_w + 2 ὦ * V̄w RÓWNANIE WIĘZÓW

x_B²+y_A²=L²

MOMENT DEWIACJI Dxz = m*x*z Dyx = m*x*y Dyz = m*y*z

dJo = d²_*dm = d²_*dV ; Jo = ∫ϱ_*d²dV ; Jo=∫ϱ_*r_A*dV=∫ϱ(r_C+r_CA) _* (r_C+r_CA)dV = ∫ϱ (r_C*r_C + 2r_{C *} r_CA + r_{CA *}r_CA)dV=r_C*r_{C *} ∫ϱdV+2r_{C *} ∫ϱdV + ∫ϱr_{CA *} r_{CA *} dV = m * r_{C *} r_C + 2r_{C *} S⁰+Jc

ENERGIA KINETYCZNA BRYŁY SZTYWNEJ

dEk = V̄_{A *} V̄_{A *} 1/2dm ; Ek=1/2∫ϱ V̄_{A *} V̄_{A *} dV = 1/2 ϱ ∫(V̄c + ὦ _* r_CA)( V̄c + ὦ _* r_CA)dV = 1/2 ϱ ∫[V̄c*V̄c+2V̄c*(ὦ _* r_CA)+ (ὦ _* r_CA)*(ὦ _* r_CA)]dV=1/2V̄c*V̄c ∫ ϱ dV+ ϱ *V̄c ∫ (ὦ _* r_CA)dV +1/2 ∫ ϱ (ὦ _* r_CA)*(ὦ _* r_CA)dV=1/2mV̄c*V̄c+V̄c* ὦ ∫ r_CA ϱdV +1/2 ∫ϱ(ὦ* r_CA*sinα)²ē_l ē_ldV=1/2mV̄c*V̄c+1/2 ∫ ὦ²d²ē_lē_ldV=1/2mV̄c*V̄c+1/2 ὦ²ē_l ē_l ϱ ∫d²dV=1/2mV̄c*V̄c+1/2J_l ὦ²

PĘD dQ = VA _* dm ; Q=∫VA * dm = ∫(VC + ὦ _* rCA)dm = ∫Vc dm + ὦ _* ∫ rCA _* dm = Vc _* m KRĘT r_A = r_C + r_CA ; dK₀ = r_A * V_A * dm ; K₀=∫r_{A *} V_{A *} dm = ∫(r_C + r_CA) _* V_{A *} dm = ∫r_{C *} V_{A *} dm + ∫r_{CA *} V_{A *} dm = r_{C *} ∫V_A dm + ∫r_{CA *} V_A dm = r_{C *} Q + K_C MOMENT BEZWŁADNOŚCI – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. MOMENTEM STATYCZNYM FIGURY PŁASKIEJ względem dowolnej osi nazywamy sumę iloczynów powierzchni pól częściowych A_i i ich odległości r_i od tej osi, lub prościej iloczyn pola powierzchni A tej figury i odległości r₀ środka ciężkości figury od tej osi. TWIERDZENIE STEINERA -twierdzenie mechaniki opisujące zależność momentu bezwładności bryły względem danej osi i osi równoległej do danej przechodzącej przez środek masy bryły. I = Io + md² , gdzie: Io-moment bezwł. Względem osi przechodzącej przez środek masy, I-moment bezwł, względem osi równoległej do pierwszej osi, d-odległość między osiami, m-masa bryły. PRĘDKOŚĆ KĄTOWA w fizyce – wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu).

RZUT PIONOWY ỳ(t)=-gt+C->C=Vo ; y(t)=-gt^2/2+Ct+D->D=0 ; ẏ(t)=V(t)=Vo-gt ; y(t)=Vot-gt^2/2 ; ẏ(t=to)=0->Vo-gtc=0->tc=Vo/g ; h=Vo*(Vo/g)-(g/2)*(Vo/g)^2=Vo^2/g-Vo^2/2g=Vo^2/2g ; Ek= ½ _* m * Vo² ; Ep=mg_*h ; ½ m _*Vo² = m _* g _* h -> h = Vo²/2g

RZUT POZIOMY

ẍ=0 ẋ(t=0)=Vo ẋ=C->C=Vo ;

x(t=0)=0 x=Ct+D->D=0;

ÿ=-g ẏ(t=0)=0 ẏ=-gt+C’->C’=0;

y(t=0)=h y=-gt^2/2+C’t+D’->D’=h;

$\left\{ \begin{matrix} x = Vo \\ x = Vot \\ \end{matrix} \rightarrow t = \frac{x}{\text{Vo}} \right.\ $ ; $\left\{ \begin{matrix} y = - \text{gt} \\ y = h - \frac{\text{gt}^{2}}{2} \\ \end{matrix} \rightarrow h - \frac{g}{2}*\frac{x^{2}}{Vo^{2}} \right.\ $ ; h-gxk^2/2Vo^2=0 ;

$Xk = \sqrt{2Vo2h/g} = Vo\sqrt{2h/g}$

RZUT UKOŚNY

ẍ=0 ẋ(t=0)=Vocosα ẋ=C->C=Vocosα ;

x(t=0)=0 x=Ct+D->D=0;

ÿ=-g ẏ(t=0)=Vosinα ẏ=-gt+C’->C’= Vosinα;

y(t=0)=0 y=-gt^2/2+C’t+D’->D’=0

ẋ=Vocosα ; x=Votcosα =t=x/Vocosα ; ẏ=Vosinα-gt ; y=Votsinα-gt^2/2 ; y=Vo (x/Vocosα) sinα-g/2 *( x/Vocosα)^2 =Xtgα-(gx^2/2Vo^2cos^2α) ; Xk*(tgα-(gx^2/2Vo^2cos^2α)=0 ; X_k=2Vo²cos²α/g_*sinα/cosα=Vo²/g_*2sinαcosα=Vo²/g _*sin2α ;dX_k/dα=Vo²/g*2cos²α=0 ;cos2α=0 ; 2α=π/2 ;α=π/4

Ruch płaski

VAcosα=VBcosβ

V̄_A=V̄_B+ ὦ*r̄_BA ὦ*r̄_BA=V̄_A/B

V̄_A*r̄_BA=V̄_B*r̄_BA+( ὦ*r̄_BA)*r̄_BA ( ὦ*r̄_BA)*r̄_BA=0

|V̄_A|* |r̄_BA|*cosα=|V̄_B |*|r̄_BA|*cosβ

$$\overset{\overline{}}{p_{A}} = \overset{\overline{}}{p_{B}} + \overset{\overline{}}{\varepsilon}*\overset{\overline{}}{r_{\text{BA}}} + \overset{\overline{}}{\omega}*(\overset{\overline{}}{\omega}*\overset{\overline{}}{r_{\text{BA}}})$$

$$\left\lbrack \overset{\overline{}}{\varepsilon}*\overset{\overline{}}{r_{\text{BA}}} + \overset{\overline{}}{\omega}*\left( \overset{\overline{}}{\omega}*\overset{\overline{}}{r_{\text{BA}}} \right) \right\rbrack = \overset{\overline{}}{p_{A/B}}$$

V̄_A=V̄_A’=0 ; Vo/Vc=R/2R=>Vo=Vc/2 ; Vc=2Vo

PRACA $dL = \overset{\overline{}}{F}*\overset{\overline{}}{\text{dr}} = \overset{\overline{}}{F}*\overset{\overline{}}{V}dt = \overset{\overline{}}{F}*\left( \overset{\overline{}}{V_{C}} + \overset{\overline{}}{\omega}*\overset{\overline{}}{r_{\text{CA}}} \right)dt\ = \overset{\overline{}}{F}*\overset{\overline{}}{V_{C}}\text{dt} + \overset{\overline{}}{F}\left( \overset{\overline{}}{\omega}*\overset{\overline{}}{r_{\text{CA}}} \right)\text{dt} = \overset{\overline{}}{F}*\overset{\overline{}}{V_{C}}dt + \overset{\overline{}}{F}\text{dφ}\overset{\overline{}}{r} = \overset{\overline{}}{F}d\overset{\overline{}}{r_{C}} + \left( \overset{\overline{}}{r_{\text{CA}}}*\overset{\overline{}}{F} \right)\text{dφ} = dL^{'} + \overset{\overline{}}{M_{C}}\text{dφ} = dL^{'} + dL"$ ; dL’-praca w ruchu postępowym ; dL”- praca w ruchu obrotowym

OSCYLATOR HARMONICZNY

V=mgho ; ho=l-lcosϕo=l(1-cosϕo) ; V=mgl(1-cosϕo) ; T=0 ; T(ϕ)=1/2m(ẋ^2+ẏ^2)=1/2m(l^2ϕ’^2cos^2ϕ+;^2ϕ’^2sin^2ϕ) =1/2ml^2ϕ’^2 ; T+V=1/2ml^2ϕ^2+mgl-mglcosϕ=mgl(1-cosϕ) ;

Ml^2ϕ’^2+ϕ’mglsinϕ=0 – równanie ruchu układu

PRAWO D’ALEMBERTA

W przypadku ruchu postępowego

$m\overset{\overline{}}{p} - \overset{\overline{}}{F} - \overset{\overline{}}{R} = 0$ ; $\overset{\overline{}}{\text{Fb}} = m\overset{\overline{}}{p}$

1)równanie równowagi sił (P1)

R-F-Fb=0 ; R=F+Fb=mg+mp=m(g+p)

2)(P2) ; R-F+Fb=0 ; R=F-Fb=m(g-p)

Dla dowolnego punktu

$$mi\overset{\overline{}}{p}i - \overset{\overline{}}{Fi} - \overset{\overline{}}{\text{Ri}} - \overset{\overline{}}{\text{Wi}} = 0$$

Dla układu ciał

m2>m1

i=2 (2 ciała = 2 układy równowagi)

R-m1g-m1p1=0 ; R-m2g+m2p2=0

y1+πr+y2=const.=l (długość linki)

y1=y1(t) ; y2=y2(t) ; ẏ1+ ẏ2=0 ; ÿ1+ ÿ2=0 ; p1+p2=0 -> p1=-p2

POWIERZCHNIA EKWIPOTENCJALNA

F=G*(M*m/r^2) ; Energia potencjalna ; V=mgy ; $\frac{\partial V}{\partial y} = m\overset{\overline{}}{g} = - \overset{\overline{}}{F}$ – siła działająca na dane ciało

$\overset{\overline{}}{F} = - grad.V$ (gradient potencjału)

SIŁA SPRĘŻYSTOŚCI

k=dFs/dx – stała sprężystości ; dL($\overset{\overline{}}{F}$)=Fdx ; dL($\overset{\overline{}}{F}s$)=-Fsdx ; dL=F(x)dx=kxdx ; L=∫kzdz=k(z^2/2)|₀^X=kx^2/2 – praca wykonana przy rozciąganiu