LISTA POWTÓRKOWA 1
Zad.1.1 Wyznaczyć średnią wartość funkcji f na przedziale [a, b]. Wykonać rysunek.
a)
]
3
,
0
[
]
,
[
,
)
(
=
=
b
a
arctgx
x
f
;
b)
]
3
,
3
[
]
,
[
,
3
)
(
2
−
=
−
=
b
a
x
x
f
.
Zad.1.2. Obliczyć pole:
a)
jednego z obszarów ograniczonych wykresami funkcji
x
y sin
=
oraz
x
y
2
sin
=
,
b)
obszaru ograniczonego wykresem funkcji
)
2
ln(
)
(
x
x
f
=
, styczną do tego wykresu
w punkcie o odciętej
5
,
0
0
=
x
i prostą
2
=
y
.
Sporządzić rysunki obszarów.
Zad.1.3. Obliczyć długość krzywej:
a)
3
5
6
1
10
x
x
y
+
=
,
2
1
≤
≤
x
; b)
x
y
cos
ln
=
,
4
0
π
≤
≤
x
.
Zad.1.4.
a) Dla jakiej wartości parametru
1
>
α
objętość bryły powstającej przez obrót wokół
osi OX obszaru
{
}
x
y
x
R
y
x
D
α
≤
≤
α
≤
≤
∈
=
0
,
1
:
)
,
(
2
wynosi
π
3
.
b) Obliczyć objętość bryły powstającej przez obrót wokół osi OY obszaru
ograniczonego wykresem funkcji
2
2
ln
)
(
x
x
x
f
=
,
e
x
≤
≤
1
; prostą
e
x
=
i osią OX.
Zad.1.5. Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej
a)
x
y
+
=
2
,
4
0
≤
≤
x
, wokół osi OX;
b)
2
x
y
=
,
6
2
≤
≤
x
, wokół osi OY.
Zad.1.6. Obliczyć całki niewłaściwe:
a)
dx
x
x
∫
+ ∞
+
+
3
)
5
)(
3
(
1
, b)
dx
x
x
e
∫
+ ∞
2
3
ln
, c)
dx
e
x
x
∫
+ ∞
0
3
2
, d)
dx
x
x
e
∫
+ ∞
⋅
3
ln
1
.
Zad.1.7. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych. Sformułować wykorzystane kryterium.
a)
dx
x
x
x
∫
+ ∞
+
+
+
7
3
1
2
, b)
dx
e
e
e
x
x
x
∫
+ ∞
+
+
+
2
3
1
2
, c)
dx
x
x
x
x
∫
+ ∞
+
+
2
3
2
4
sin
, d)
dx
e
x
x
x
e
∫
+ ∞
+
2
2
ln
.
Zad.1.8. Obliczyć pole obszaru
a)
ograniczonego wykresem funkcji
x
xe
x
f
2
)
(
−
=
i asymptotą tego wykresu;
b)
ograniczonego wykresem funkcji
5
1
)
(
2
2
+
+
=
x
x
x
f
i asymptotą tego wykresu.
Sporządzić rysunek obszaru.
Zad.1.9. Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji f oraz poziomicę dla poziomu h = 0.
a)
y
x
y
y
x
y
x
f
+
+
+
=
2
ln
)
,
(
2
2
, b)
y
x
y
x
f
−
=
arcsin
)
,
(
.
Zad.1.10. Dla funkcji
1
ln
)
,
(
−
=
y
x
y
x
f
wyznaczyć i narysować zbiór
<
∂
∂
∈
0
)
,
(
:
)
,
(
y
x
y
f
D
y
x
f
.
Zad.1.11. Napisać równanie płaszczyzny stycznej
a)
w punkcie
)
,
2
,
4
(
0
z
do powierzchni
2
)
ln
2
(ln
y
x
z
−
=
,
b)
w punkcie
)
1
,
2
,
(
0
x
do powierzchni
7
2
2
2
=
+
+
z
y
x
.
Zad.1.12. Oszacować, z jakim błędem bezwzględnym i względnym obliczona będzie
wartość z, jeśli
a)
03
,
0
00
,
2
,
02
,
0
00
,
1
,
3
2
±
=
±
=
+
=
y
x
y
x
z
;
b)
10
10000
,
01
,
0
00
,
1
,
ln
4
±
=
±
=
+
=
y
x
x
y
x
z
.
Zad.1.13. Sprawdzić równości:
a)
u
xy
y
u
y
x
u
x
+
=
∂
∂
+
∂
∂
, jeśli
+
=
x
y
f
x
xy
y
x
u
)
,
(
;
b)
h
z
x
u
x
)
1
(
+
=
∂
∂
, jeśli
)
,
(
)
,
,
(
xz
yz
f
x
z
y
x
h
=
.
Zad.1.14. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie
)
,
(
0
0
y
x
w kierunku
wersora
v
. Dla jakiego wersora pochodna ta ma wartość największą, dla jakiego –
najmniejszą, a dla jakiego jest równa zeru ?
a)
)
0
,
0
(
)
,
(
,
8
)
,
(
0
0
3
3
6
=
−
=
y
x
y
x
y
x
f
;
b)
)
1
,
0
(
)
,
(
,
)
,
(
0
0
=
+
=
y
x
y
x
y
x
f
.
Zad.1.15. Wyznaczyć wersory
v
, dla których
0
)
1
,
2
(
=
−
∂
∂
v
f
, jeśli
y
x
e
y
x
f
3
2
)
,
(
+
=
.
Zad.1.16. Wiadomo, że
1
)
,
(
0
0
1
=
∂
∂
y
x
v
f
dla wersora
=
2
2
,
2
2
1
v
i
0
)
,
(
0
0
2
=
∂
∂
y
x
v
f
dla wersora
−
=
2
2
,
2
2
2
v
. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie
)
,
(
0
0
y
x
w kierunku wersora
−
=
2
3
,
2
1
v
. (Funkcja f ma w punkcie
)
,
(
0
0
y
x
ciągłe
pochodne cząstkowe).
Zad.1.17. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f
a)
y
x
y
x
y
x
f
+
=
)
sin(
)
,
(
2
, b)
3
2
)
,
(
x
y
e
y
x
f
−
=
.
Zad.1.18. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a)
y
y
xy
x
y
x
f
ln
54
)
,
(
2
2
−
+
−
=
, b)
2
3
2
4
)
,
(
y
xy
x
y
x
f
+
−
=
,
c)
x
e
y
x
y
x
f
−
⋅
−
=
)
(
)
,
(
2
2
.
Zad.1.19. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
a)
2
)
,
(
xy
y
x
f
=
na kole
1
2
2
≤
+
y
x
,
b)
2
2
2
2
)
1
(
)
1
(
2
2
)
,
(
−
+
−
+
+
=
y
x
y
x
y
x
f
na obszarze trójkąta o wierzchołkach
( 0, 0 ), ( 1, 0 ), ( 0, 1 ).
c)
y
x
y
xy
x
y
x
f
+
−
+
−
=
2
)
,
(
2
2
na obszarze określonym nierównościami
0
≤
x
,
1
≤
+
y
x
.
Jolanta Sulkowska