LISTA POWTÓRKOWA 1

Zad.1.1 Wyznaczyć średnią wartość funkcji f na przedziale [a, b]. Wykonać rysunek.

a)

]

3

,

0

[

]

,

[

,

)

(

=

=

b

a

arctgx

x

f

;

b)

]

3

,

3

[

]

,

[

,

3

)

(

2

−

=

−

=

b

a

x

x

f

.

Zad.1.2. Obliczyć pole:

a)

jednego z obszarów ograniczonych wykresami funkcji

x

y sin

=

oraz

x

y

2

sin

=

,

b)

obszaru ograniczonego wykresem funkcji

)

2

ln(

)

(

x

x

f

=

, styczną do tego wykresu

w punkcie o odciętej

5

,

0

0

=

x

i prostą

2

=

y

.

Sporządzić rysunki obszarów.

Zad.1.3. Obliczyć długość krzywej:

a)

3

5

6

1

10

x

x

y

+

=

,

2

1

≤

≤

x

; b)

x

y

cos

ln

=

,

4

0

π

≤

≤

x

.

Zad.1.4.

a) Dla jakiej wartości parametru

1

>

α

objętość bryły powstającej przez obrót wokół

osi OX obszaru

{

}

x

y

x

R

y

x

D

α

≤

≤

α

≤

≤

∈

=

0

,

1

:

)

,

(

2

wynosi

π

3

.

b) Obliczyć objętość bryły powstającej przez obrót wokół osi OY obszaru

ograniczonego wykresem funkcji

2

2

ln

)

(

x

x

x

f

=

,

e

x

≤

≤

1

; prostą

e

x

=

i osią OX.

Zad.1.5. Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej

a)

x

y

+

=

2

,

4

0

≤

≤

x

, wokół osi OX;

b)

2

x

y

=

,

6

2

≤

≤

x

, wokół osi OY.

Zad.1.6. Obliczyć całki niewłaściwe:

a)

dx

x

x

∫

+ ∞

+

+

3

)

5

)(

3

(

1

, b)

dx

x

x

e

∫

+ ∞

2

3

ln

, c)

dx

e

x

x

∫

+ ∞

0

3

2

, d)

dx

x

x

e

∫

+ ∞

⋅

3

ln

1

.

Zad.1.7. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych. Sformułować wykorzystane kryterium.

a)

dx

x

x

x

∫

+ ∞

+

+

+

7

3

1

2

, b)

dx

e

e

e

x

x

x

∫

+ ∞

+

+

+

2

3

1

2

, c)

dx

x

x

x

x

∫

+ ∞

+

+

2

3

2

4

sin

, d)

dx

e

x

x

x

e

∫

+ ∞

+

2

2

ln

.

Zad.1.8. Obliczyć pole obszaru

a)

ograniczonego wykresem funkcji

x

xe

x

f

2

)

(

−

=

i asymptotą tego wykresu;

b)

ograniczonego wykresem funkcji

5

1

)

(

2

2

+

+

=

x

x

x

f

i asymptotą tego wykresu.

Sporządzić rysunek obszaru.

Zad.1.9. Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji f oraz poziomicę dla poziomu h = 0.

a)

y

x

y

y

x

y

x

f

+

+

+

=

2

ln

)

,

(

2

2

, b)

y

x

y

x

f

−

=

arcsin

)

,

(

.

Zad.1.10. Dla funkcji

1

ln

)

,

(

−

=

y

x

y

x

f

wyznaczyć i narysować zbiór













<

∂

∂

∈

0

)

,

(

:

)

,

(

y

x

y

f

D

y

x

f

.

Zad.1.11. Napisać równanie płaszczyzny stycznej

a)

w punkcie

)

,

2

,

4

(

0

z

do powierzchni

2

)

ln

2

(ln

y

x

z

−

=

,

b)

w punkcie

)

1

,

2

,

(

0

x

do powierzchni

7

2

2

2

=

+

+

z

y

x

.

Zad.1.12. Oszacować, z jakim błędem bezwzględnym i względnym obliczona będzie
wartość z, jeśli

a)

03

,

0

00

,

2

,

02

,

0

00

,

1

,

3

2

±

=

±

=

+

=

y

x

y

x

z

;

b)

10

10000

,

01

,

0

00

,

1

,

ln

4

±

=

±

=

+

=

y

x

x

y

x

z

.

Zad.1.13. Sprawdzić równości:

a)

u

xy

y

u

y

x

u

x

+

=

∂

∂

+

∂

∂

, jeśli













+

=

x

y

f

x

xy

y

x

u

)

,

(

;

b)

h

z

x

u

x

)

1

(

+

=

∂

∂

, jeśli

)

,

(

)

,

,

(

xz

yz

f

x

z

y

x

h

=

.

Zad.1.14. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

w kierunku

wersora

v



. Dla jakiego wersora pochodna ta ma wartość największą, dla jakiego –

najmniejszą, a dla jakiego jest równa zeru ?

a)

)

0

,

0

(

)

,

(

,

8

)

,

(

0

0

3

3

6

=

−

=

y

x

y

x

y

x

f

;

b)

)

1

,

0

(

)

,

(

,

)

,

(

0

0

=

+

=

y

x

y

x

y

x

f

.

Zad.1.15. Wyznaczyć wersory

v



, dla których

0

)

1

,

2

(

=

−

∂

∂

v

f



, jeśli

y

x

e

y

x

f

3

2

)

,

(

+

=

.

Zad.1.16. Wiadomo, że

1

)

,

(

0

0

1

=

∂

∂

y

x

v

f



dla wersora













=

2

2

,

2

2

1

v



i

0

)

,

(

0

0

2

=

∂

∂

y

x

v

f



dla wersora













−

=

2

2

,

2

2

2

v



. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

w kierunku wersora













−

=

2

3

,

2

1

v



. (Funkcja f ma w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

ciągłe

pochodne cząstkowe).

Zad.1.17. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f

a)

y

x

y

x

y

x

f

+

=

)

sin(

)

,

(

2

, b)

3

2

)

,

(

x

y

e

y

x

f

−

=

.

Zad.1.18. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a)

y

y

xy

x

y

x

f

ln

54

)

,

(

2

2

−

+

−

=

, b)

2

3

2

4

)

,

(

y

xy

x

y

x

f

+

−

=

,

c)

x

e

y

x

y

x

f

−

⋅

−

=

)

(

)

,

(

2

2

.

Zad.1.19. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

a)

2

)

,

(

xy

y

x

f

=

na kole

1

2

2

≤

+

y

x

,

b)

2

2

2

2

)

1

(

)

1

(

2

2

)

,

(

−

+

−

+

+

=

y

x

y

x

y

x

f

na obszarze trójkąta o wierzchołkach

( 0, 0 ), ( 1, 0 ), ( 0, 1 ).
c)

y

x

y

xy

x

y

x

f

+

−

+

−

=

2

)

,

(

2

2

na obszarze określonym nierównościami

0

≤

x

,

1

≤

+

y

x

.

Jolanta Sulkowska