Zad.1.1 Wyznaczyć średnią wartość funkcji f na przedziale [a, b]. Wykonać rysunek.
a) f ( x) = arctgx, [ a, b] = [ , 0
3] ;
b) f ( x) = 3
2
− x , [ a, b] = [− 3, 3] .
Zad.1.2. Obliczyć pole:
a)
jednego z obszarów ograniczonych wykresami funkcji y = sin x oraz y 2
= sin x ,
b)
obszaru ograniczonego wykresem funkcji f ( x) = ln(2 x) , styczną do tego wykresu w punkcie o odciętej x
5
,
0
0 =
i prostą y = 2 .
Sporządzić rysunki obszarów.
Zad.1.3. Obliczyć długość krzywej:
5
x
1
π
a) y =
+
, 1 ≤ x ≤ 2 ; b) y = ln cos x , 0 ≤ x ≤
.
3
10
6 x
4
Zad.1.4.
a) Dla jakiej wartości parametru α > 1 objętość bryły powstającej przez obrót wokół
osi OX obszaru D = {( x, y)∈ R 2 :1≤ x ≤ α , 0 ≤ y ≤ α x} wynosi π
3 .
b) Obliczyć objętość bryły powstającej przez obrót wokół osi OY obszaru 2
ln x
ograniczonego wykresem funkcji f ( x) =
, 1 ≤ x ≤ e ; prostą x = e i osią OX.
2
x
Zad.1.5. Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej a) y = 2 + x , 0 ≤ x ≤ 4 , wokół osi OX; b)
2
y = x , 2 ≤ x ≤ 6 , wokół osi OY.
Zad.1.6. Obliczyć całki niewłaściwe:
+ ∞
+ ∞
1
ln x
+ ∞ x 2
+ ∞
1
a)
dx
∫
, b)
dx
∫
, c)
dx
∫
, d)
dx
∫
.
( x + )
3 ( x + )
5
x 3
3 x
3
e
x ⋅ 3
ln x
e 2
0
e
Zad.1.7. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych. Sformułować wykorzystane kryterium.
+ ∞
x + 2
+ ∞
+ ∞
e x + 2
+ ∞ x 2 + x sin x
x ln x
a)
dx
∫
, b)
dx
∫
, c)
dx
∫
, d)
dx
∫
.
x 3 + x +
3 x
x
3
2
2
7
1
e
+ e +
2
1
x +
2
4
x + e
e
Zad.1.8. Obliczyć pole obszaru
a)
ograniczonego wykresem funkcji
− 2 x
f ( x) = xe
i asymptotą tego wykresu;
2
x + 1
b)
ograniczonego wykresem funkcji f ( x) =
i asymptotą tego wykresu.
2
x + 5
Sporządzić rysunek obszaru.
Zad.1.9. Wyznaczyć i narysować dziedzinę funkcji f oraz poziomicę dla poziomu h = 0.
x 2 + y 2 + y
a) f ( x, y) =
2
ln
, b) f ( x, y) = arcsin x − y .
x + y
x
Zad.1.10. Dla funkcji f ( x, y) =
ln − 1 wyznaczyć i narysować zbiór
y
∂ f
( x, y) ∈ D :
( x, y)
f
< 0 .
∂ y
Zad.1.11. Napisać równanie płaszczyzny stycznej
a)
w punkcie ( ,
4 ,
2 z )
0 do powierzchni
2
z = (ln x − 2ln y) ,
b)
w punkcie ( x , ,
2 )
1
2
2
2
0
do powierzchni x + y + z = 7 .
Zad.1.12. Oszacować, z jakim błędem bezwzględnym i względnym obliczona będzie wartość z, jeśli
a)
2
3
z =
x + y , x = 0
,
1 0 ± 0
,
0 2 , y =
0
,
2 0 ± 0
,
0 3 ;
b) z = x y + ln 4
x , x = 0
,
1 0 ± 0
,
0 1 , y = 10000 ± 10 .
Zad.1.13. Sprawdzić równości:
∂ u
∂ u
y
a) x
+ y
= xy + u
u( x, y) = xy + x f
∂
, jeśli
;
x
∂ y
x
∂ u
b) x
= 1
( + z) h , jeśli h( x, y, z) = x f ( yz, xz) .
∂ x
Zad.1.14. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie ( x ,
)
0 y 0 w kierunku
wersora v . Dla jakiego wersora pochodna ta ma wartość największą, dla jakiego –
najmniejszą, a dla jakiego jest równa zeru ?
a) f ( x, y) 3 6
= x − 8 3
y , ( x , y ) = ( ,
0 )
0
0
0
;
b) f ( x, y) = x + y , ( x , y ) = ( , 0 )
1
0
0
.
∂ f
Zad.1.15. Wyznaczyć wersory v , dla których 2
( ,
2 − )
1 = 0 , jeśli
x + 3 y .
∂ v
f ( x, y) = e
∂ f
2
2
∂ f
Zad.1.16. Wiadomo, że ( x , y ) = 1
0
0
1
v =
,
( x , y ) =
∂
dla wersora
i
0
0
0
1
v
2
2 ∂ v 2
2
2
dla wersora v 2 = −
,
. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie
2
2
1
3
( x ,
)
0 y 0 w kierunku wersora v = , −
. (Funkcja f ma w punkcie ( x , )
0 y 0 ciągłe
2
2
pochodne cząstkowe).
Zad.1.17. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f 2
x
a) f ( x, y) = sin( x y) +
, b)
3
2 y − x .
y
f ( x, y) = e
Zad.1.18. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) f ( x, y) = x 2 − xy + y 2 − 54ln y , b) 3
2
f ( x, y) = x − 4 xy + 2 y , c)
2
2
− x
f ( x, y) = ( x − y ) ⋅ e .
Zad.1.19. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji a)
2
f ( x, y) = xy na kole 2
2
x + y ≤ 1,
b)
2
2
2
2
f ( x, y) = 2 x + 2 y + ( x − ) 1 + ( y − )
1 na obszarze trójkąta o wierzchołkach
( 0, 0 ), ( 1, 0 ), ( 0, 1 ).
c) f ( x, y) = x 2 − xy + y 2 − 2 x + y na obszarze określonym nierównościami x ≤ 0 , x + y ≤ 1.
Jolanta Sulkowska