1.1. Naszkicować wykresy funkcji.
|x|
x − 1
(a) f ( x) =
− 4,
(b) f ( x) =
,
(c) f ( x) = x 2 − 4 |x| + 7, 2
x − 2
q
(d) f ( x) = 1 −
|x| − 2,
(e) f ( x) = 2 −x − 2, (f) f ( x) = || log ( x − 2) | − 1 |, 2
x
π
(g) f ( x) = 1 + tg ,
(h) f ( x) = cos |x| +
,
(i) f ( x) = 2 sin 2 x − | sin 2 x|, 2
3
| ctg x|
π
(j) f ( x) =
,
(k) f ( x) = π − arctg x, (l) f ( x) =
+ arcsin x.
ctg x
2
1.2. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
s
x + 3
x + 2
(a) f ( x) = √
,
(b) f ( x) =
,
(c) f ( x) = 1 − ln sin x, x 2 + 4 x
x − 4
x − 5
1
π
(d) f ( x) =
,
(e) f ( x) =
,
(f) f ( x) = tg 2 x +
,
log ( x 2 − 3)
2 −x − 2
5
2
x
ex
(g) f ( x) = 3ctg ,
(h) f ( x) =
,
(i) f ( x) = arcsin ln x.
4
1 − arctg2 x
1.3. Rozwiązać równania i nierówności.
1
(a) x( x − 1) < 2( x + 2), (b) x 4 − 5 x 2 − 4, (c)
¬ 8,
x 3
3
1
(d) e−x − 3 = 1,
(e) 2 x −
> 2,
(f)
< 3,
2 x
ln x
π
x
(g) sin 2 x +
0,
(h) cos2
= 1,
(i) tg3 x = 2.
4
5
1.4. Uzasadnić tożsamość trygonometryczną i podać jej dziedzinę.
1
1
1
sin x
x
(a) cos x · (tg x + ctg x) =
,
(b) tg2 x − ctg2 x =
−
,
(c)
= ctg .
sin x
cos2 x
sin2 x
1 − cos x
2
1.5. Napisać wzory określające funkcje złożone f ◦ g, g ◦ f oraz naszkicować ich wykresy.
(a) f ( x) = x 2 − 4 x, g( x) = |x|,
(b) f ( x) = e−x,
g( x) = 2 x + 1,
(c) f ( x) = log
x,
g( x) = |x| + 2,
(d) f ( x) = cos 2 x,
g( x) = 0 , 5 x, 0 , 5
π
√
(e) f ( x) = sin x +
,
g( x) = 2 x,
(f) f ( x) =
x,
g( x) = x 2.
4
1.6. Wyprowadzić wzór funkcji odwrotnej do funkcji f . Naszkicować w jednym układzie współ-
rzędnych wykresy funkcji y = f ( x) i y = f − 1( x).
√
(a) f ( x) = 4 − 2 x, (b) f ( x) =
x + 1 ,
(c) f ( x) = 1 + 2 x,
(d) f ( x) = 2 ln( x + 1) , (e) f ( x) = x 2 + 2 x dla
x − 1 ,
(f) f ( x) = x 2 + 2 x dla
x ¬ − 1 .
1.7. Uzasadnić, że ciąg ( an) jest monotoniczny (od pewnego miejsca) i ograniczony n + 1
2 n + 4 n
12 n
(a) an =
,
(b) an =
,
(c) an =
,
3 n + 4
5 n
( n + 1)!
π
√
√
1
1
1
1
(d) an = cos2
,
(e) an =
n + 4 −
n,
(f) an =
·
·
· · · · ·
.
4 n + 7
2
22
23
2 n
1.8. Obliczyć granice ciągów liczbowych:
√ 5 n + 4
3 n+1 + 6 · 2 n
1
(a) a
√
√
√
n =
,
(b) an =
,
(c) an =
,
4 n +
5
5 · 4 n− 1 − 3 n 4 n + 3 · 2 n −
4 n + 4
√
√
1 + n 2
n n + 3 −
n 3 + 9
(d) an = 73 n+4 − 92 n+7 , (e) an =
,
(f) an =
√
,
1 + 2 + 3 + · · · + n
n
n 3 + 2 !3 n+1
2 n
n
3 n + 5 2 − 5 n
(g) an =
,
(h) an =
,
(i) an =
,
n 2 + 2 n
2 n + 1
3 n + 2
√
√
arctg(2 n + 1)
(j) an =
πn −
en,
(k) an =
,
(l) an = ln(4 n + 5) − ln(2 n + 3).
1 + 2arcctg n 2
1.9. Dla danego ciągu ( an) dobrać ciąg ( bn) postaci bn = np lub bn = αn tak, aby ciągi ( an) i ( bn) były tego samego rzędu.
√
√
n + 1
4 n+1
√
√
(a) an = 3 n + 27 ,
(b) an =
,
(c) an =
,
(d) an =
n 2 + 5 −
n 2 + 1 .
n + 6
5 · 3 n − 3 · 2 n 1.10. Naszkicować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki (a) lim f ( x) = 1 ,
lim f ( x) = + ∞,
lim f ( x) = + ∞, f jest funkcją nieparzystą; x→ 0+
x→ 3
x→+ ∞
(b) prosta y = 1 jest asymptotą poziomą w −∞, prosta x = 0 jest asymptotą pionową obustronną, lim g( x) nie istnieje, g jest funkcją parzystą; x→ 2
(c) lim [ h( x) − x + 2] = 0 , lim h( x) = − 2 , lim h( x) = −∞,
lim h( x) = 1,
x→−∞
x→ 1 −
x→ 1+
x→+ ∞
h nie jest ciągła w punkcie x 0 = 0.
1.11. Obliczyć granice funkcji:
√
x 2 − 2 x − 3
x 2 − 2 x − 3
x 2 − 2 x − 3
x − 5 − 2
(a) lim
,
(b)
lim
,
(c) lim
,
(d) lim
,
x→ 3
x 2 − 9
x→− 3+
x 2 − 9
x→+ ∞
x 2 − 9
x→ 9
x − 9
3 x + 2 x
3 x + 2 x
1
√
(e) lim
,
(f) lim
,
(g) lim
,
(h) lim ( x 2 + x + x), x→+ ∞ 4 + 2 · 3 x x→−∞ 4 + 2 · 3 x
x→−∞ 4 x − 3 x
x→−∞
sin2 x
sin x
3 sin 3 x − 5 sin 5 x
tg4 x
(i) lim √
,
(j) lim
,
(k) lim
,
(l) lim √
.
x→+ ∞
x + π
x→π x − π
x→ 0
x
x→ 0
1 + 3 x − 1
1.12. Zbadać, czy istnieją granice: sin( πx)
x+2
1
1
(a) lim
,
(b) lim e x− 2 ,
(c) lim arctg ,
(d) lim
.
x→ 0
|x|
x→ 2
x→ 0
x
x→e 1 − ln x
1.13. Wyznaczyć asymptoty funkcji:
x
x 2 + 1
x 3 − 1
√
(a) f ( x) =
,
(b) f ( x) =
,
(c) f ( x) =
,
(d) f ( x) =
x 2 − 4 x,
x 2 − 1
x 2 − 1
x 2 − 1
√
√
x 2 − 4
ln x
3 x
sin
x
(e) f ( x) =
,
(f) f ( x) =
,
(g) f ( x) =
,
(h) f ( x) = x +
.
x
2 + ln x
3 x − 2
x
1.14. Czy można dobrać parametry a, b ∈ R tak, aby funkcja f była ciągła na R? Obliczyć odpowiednie granice i narysować wykres funkcji f .
x + 2
dla x < 1
ax + b dla |x| < 1
(a) f ( x) =
b
dla x = 1 ,
(b) f ( x) =
,
arctg x dla |x| 1
x 2 + ax + 1 dla x > 1
1.15. Korzystając z twierdzenia Darboux uzasadnić, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie na wskazanym przedziale. Przedstawić graficzną interpretację równania.
2
(a) 4 x =
,
(0 , 5 , 1);
(b) ln x = 1 − 2 x,
(0 , 5 , 1);
x
√
(c) 3 x = −x 3 ,
( − 1 , − 0 , 5);
(d) 2 x = 4 −
x,
(1 , 2).
Podobne zadania (także rozwiązane) można znaleźć w skryptach: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008,
M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2009.
Jolanta Sulkowska