2

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

2

Wektor poło

ż

enia

ś

rodka masy układu składaj

ą

cego si

ę

z N punktów materialnych opisuje

wyra

ż

enie:

Ś

rodek masy ciała to punkt poruszaj

ą

cy si

ę

tak jak gdyby w nim była skupiona

cała masa ciała, a wszystkie siły zewn

ę

trzne były przyło

ż

one w tym punkcie.

1.

Ś

RODEK MASY

gdzie:

- jest sum

ą

mas wszystkich punktów materialnych, z których składa si

ę

ciało

- wektorem poło

ż

enia i-tego punktu materialnego wzgl

ę

dem

pocz

ą

tku układu współrz

ę

dnych

Podobnie mo

ż

na okre

ś

li

ć

warto

ś

ci poszczególnych współrz

ę

dnych

przestrzennych (x

ś

m

, y

ś

m

, z

ś

m

)

ś

rodka masy z wzorów

3

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

3

Obliczy

ć ś

rodek masy układu trzech mas punktowych m1 =2kg, m2 =1kg i

m3 =0,5kg, rozmieszczonych tak jak pokazano na rysunku

Ś

rodek masy – przykład 1

4

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

4

Znale

źć ś

rodek masy układu trzech cz

ą

stek o masach m1 = 1kg, m2 = 2kg i

m3 = 3kg, umieszczonych w rogach równobocznego trójk

ą

ta o boku 1m.

Ś

rodek masy – przykład 2

m

2

r

3

y

x

m

1

m

3

r

2

Poniewa

ż

wynik nie zale

ż

y od wyboru układu odniesienia to

mo

ż

emy przyj

ąć

układ tak jak na rysunku.

∑

∑

=

i

i

i

i

i

sm

m

m

r

R

r

r

∑

∑

∑

∑

=

=

i

i

i

i

i

sm

i

i

i

i

i

sm

m

m

y

y

m

m

x

x

,

m

x

sm

12

7

6kg

3kg·0,5m

2kg·1m

1kg·0m

m

m

m

)

x

m

x

m

x

(m

3

2

1

3

3

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

+

+

=

m

y

sm

4

3

6kg

m

2

3

3kg·

2kg·0m

1kg·0m

m

m

m

)

y

m

y

m

y

(m

3

2

1

3

3

2

2

1

1

=

+

+

=

+

+

+

+

=

R (x,y)

≈

R(0,58 m; 0,43m)

5

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

5

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci ciała - jest to punkt ciała, wzgl

ę

dem którego suma momentów sił

ci

ęż

ko

ś

ci działaj

ą

cych na poszczególne punkty ciała jest równa zero.

Ciało zawieszone w tym punkcie znajduje si

ę

w stanie równowagi oboj

ę

tnej.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci pełni podobne funkcje w ruchu obrotowym co

ś

rodek masy w

ruchu post

ę

powym i z wyj

ą

tkiem kilku przypadków (np. zbli

ż

ania si

ę

ciała do

czarnej dziury), punkty te si

ę

pokrywaj

ą

, w zwi

ą

zku z czym w mechanice

klasycznej mo

ż

na zamiennie u

ż

ywa

ć

tych okre

ś

le

ń

.

2.

Ś

rodek masy a

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci ciała

6

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

6

Wyznaczy

ć ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci elementu na rysunku

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci ciała – przykład 3

7

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

7

Wyznaczy

ć ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci elementu na rysunku

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci ciała – przykład 3

Rozwi

ą

zanie:

Podział elementu mo

ż

na wykona

ć

wg wielu wariantów –

przedstawimy 3 wybrane. Jako jednostk

ę

mo

ż

na wybra

ć

dowoln

ą

jednostk

ę

długo

ś

ci. Przyjmijmy milimetr.

Element jest jednorodny (równomiernie rozło

ż

ona

masa/g

ę

sto

ść

) wi

ę

c zamiast masy poszczególnych

elementów mo

ż

emy przyj

ąć

ich powierzchnie.

Wariant A:

Wariant B:

Wariant C:

8

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

8

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci ciała – przykład 3A

Rozwi

ą

zanie A:

Wariant A:

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

Element mo

ż

na podzieli

ć

na 5 prostok

ą

tów o

wymiarach 10 × 15.
Elementy numerujemy od lewej. Wszystkie pola
s

ą

równe i wynosz

ą

:

9

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

9

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci ciała – przykład 3B

Rozwi

ą

zanie B:

Wariant B:

A

1

A

2

A

3

Element dzielimy na 2 prostok

ą

ty o wymiarach 10 × 30

i 1 prostok

ą

t o wymiarach 10 × 15.

Elementy numerujemy od lewej. Pola wynosz

ą

odpowiednio:

10

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

10

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci ciała – przykład 3C

Rozwi

ą

zanie C:

Wariant C:

Element dzielimy na kwadrat o wymiarach 30 × 30 i
prostok

ą

t o wymiarach 10 × 15.

Pola wynosz

ą

odpowiednio:

A

1

A

2

11

(M2D) MECHANIKA2 - Dynamika

T.

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci i

ś

rodek masy



robert.szczotka(at)gmail.com

Fizyka i astronomia, Liceum 2010/2011

11

Zadania do rozwi

ą

zania

Zadanie 4. Wyznaczy

ć ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci elementu,

przedstawionego na rys. 2 (a = 2 cm, b = 6 cm,
c = 4 cm).

Zadanie 2 . Wyznaczy

ć

poło

ż

enie

ś

rodka masy układu ciał:

a)

Ziemia – Ksi

ęż

yc

b)

Sło

ń

ce – Jowisz

Co mo

ż

esz powiedzie

ć

o poło

ż

eniu

ś

rodka masy w stosunku do promienia Ziemi i Sło

ń

ca?

(dane do zadania wyszukaj w tablicach).

Zadanie 3. Wyznaczy

ć ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci elementu,

przedstawionego w prezentacji (slajd 8)

a)

bez cz

ęś

ci A

5

b)

bez cz

ęś

ci A

5

i A

4