Środek ciężkości

Zagadnienie wyznaczania środków ciężkości brył,
figur płaskich i linii wiąże się ścisłe z zagadnieniem
wyznaczania środka sił równoległych, gdyż
najczęściej spotykanym przykładem sił równoległych
są siły ciężkości (tj. siły przyciągania cząstek ciała
materialnego przez kulę ziemską), skierowane prosto
do środka ziemi. Siły te możemy traktować jako
równoległe, gdyż wymiary ciał rozpatrywanych w
zastosowaniach technicznych są bardzo małe w
porównaniu z promieniem kuli ziemskiej. Siły
ciężkości są szczególnym przypadkiem sił
objętościowych, a więc działają na każdy element
objętości danego ciała

Środek sił równoległych –metoda wykreślna

A B C- punkt zaczepienia sił

Wielobokiem sznurowym wyznaczamy
linię działania siły wypadkowej

Środek sił równoległych

Obracamy wszystkie
siły o dowolny kąt
np.90

0

Wielobokiem sznurowym wyznaczamy
linię działania siły wypadkowej

Cs –środek sił równoległych

Środek sił równoległych zależy od wartości i i
punktów zaczepienia tych sił

Środek sił równoległych –metoda analityczna

- wypadkowa sił

Moment wypadkowej

Odcięta środka sił równoległych

Obracamy wszystkie siły o dowolny
kąt np.90

0

rzędna środka sił równoległych

Wyznaczanie położenia środka ciężkości

Ciężar ciała

Elementarne siły ciężkości

Jeżeli środek ciężkości leży poniżej
punktu podparcia – ciało jest w
równowadze stałej. Przy wychyleniu
siła G powoduje powrót do
pierwotnego położenia.

Jeżeli środek ciężkości leży powyżej
punktu podparcia – ciało jest w
równowadze chwiejnej. Nieznaczne
odchylenie powoduje pojawienie się
pary sił wychylającej ciało od
położenia równowagi.

Jeżeli środek ciężkości pokrywa się z
punktem podparcia – ciało jest w
równowadze obojetnej. Ciało będzie
w równowadze przy dowolnym
wychyleniu.

TWIERDZENIA DOTYCZĄCE ŚRODKA MASY:

1)środek masy układu płaskiego leży w płaszczyźnie tego
układu

2)środek masy linii prostej leży na tej linii

3)środek masy dwóch punktów materialnych leży na prostej
łączącej te punkty i dzieli ją na odcinki o długościach odwrotnie
proporcjonalnych do ich mas.

4)Środek masy układu mającego środek symetrii leży w tym
środku. Jeżeli układ ma 2 lub więcej osi symetrii to środek leży
w punkcie przecięcia się tych osi

5)Rzut środka ciężkości figury płaskiej na dowolną płaszczyznę
jest środkiem ciężkości rzutu tej figury na dowolną płaszczyznę.

6)Moment

statyczny

względem

osi

lub

płaszczyzny

przechodzącej przez środek ciężkości jest zawsze równy 0.

7)Moment statyczny nie zmieni się jeżeli zamiast części układu
wprowadzimy punkt materialny o masie równej masie danej
części leżący w środku ciężkości tej części masy.

2.

Środek ciężkości linii

.

l

1

l

2

l

3

y

x

x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

Współrzędne środka ciężkości linii.

3

2

1

3

3

2

2

1

1

3

2

1

3

3

2

2

1

1

l

l

l

y

l

y

l

y

l

y

l

l

l

x

l

x

l

x

l

x

o

o

































3.

Środek ciężkości figur płaskich

S

1

S

2

x

1

x

2

y

2

y

1

y

x

Współrzędne środka ciężkości pola

przekroju.

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

S

S

y

S

y

S

y

S

S

x

S

x

S

x

o

o





















Przykład:

1

1

0













n

i

i

n

i

i

i

l

x

l

x

1

1

0













n

i

i

n

i

i

i

l

y

l

y

Współrzędne środka ciężkości linii

Moment statyczny linii.

Momentem statycznym linii względem
dowolnej osi nazywamy iloczyn długości
tej linii i współrzędnej środka ciężkości
tej linii względem tej samej osi.

l

y

y

l

l

x

x

l

n

i

i

i

n

i

i

i





















0

1

0

1

1

1

0













n

i

i

n

i

i

i

S

x

S

x

1

1

0













n

i

i

n

i

i

i

S

y

S

y

Współrzędne środka ciężkości figur
płaskich

Momentem statycznym figury płaskiej
względem dowolnej osi nazywamy iloczyn
pola tej figury i współrzędnej środka
ciężkości tej figury względem tej samej osi.

S

y

y

S

S

x

x

S

n

i

i

i

n

i

i

i





















0

1

0

1

Moment statyczny figur płaskich

Metoda wykreślna wyznaczania środka ciężkości:

Przykład 1
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej
przedstawionej na rysunku

Obliczenia współrzędnych
środka ciężkości rozpatrywanej
figury płaskiej przeprowadza
się przy zastosowaniu metody
dzielenia. Pola powierzchni i
współrzędne środków ciężkości
poszczególnych elementów
składowych tej figury płaskiej
są równe

Stąd:

Przykład 2
Znaleźć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku

Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury
płaskiej wyznacza się przy zastosowaniu metody
mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne
środków ciężkości prostokąta 2r r, połowy koła o

promieniu r i koła o promieniu 

r

/

4

wynoszą

Stąd: