Maszynoznawstwo środa 7³⁰-9⁰⁰ TP

Grupa:

1. Sylwia Gaik

2. Adrianna Nagórny

3. Nikola Atamańczuk

4. Paulina Ilnicka

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI – FIGURY PŁASKIE

Środek ciężkości – wiadomości ogólne:

Środek ciężkości jest to punkt, w którym jest zaczepiona siła przedstawiająca ciężar danego ciała, i pokrywa się on ze środkiem sił równoległych, które reprezentują elementarne siły ciężkości, tj. siły przyciągania cząstek ciała materialnego przez kulę ziemską, skierowane pionowo do środka ziemi.

Współrzędne  x_c, y_c i z_c środka ciężkości C dowolnego ciała jednorodnego wyznaczamy ze wzorów 

                  
gdzie ρ - gęstość ciała, m - masa danego ciała jednorodnego. 
Z wzorów tych wynika, że współrzędne środka ciężkości C zależą od kształtu ciała oraz rozkładu masy.

Twierdzenia przydatne do wyznaczania środków ciężkości ciał materialnych jednorodnych

• Jeżeli bryła ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie.

• Gdy bryła ma dwie płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży na linii ich przecięcia.

• Gdy bryła ma trzy płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży w punkcie przecięcia się tych płaszczyzn.

• Moment statyczny dowolnej figury względem płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości tej figury jest równy zeru.

Metody stosowane do wyznaczenia położenia środka ciał jednorodnych

• analityczna - polegająca na zastosowaniu odpowiednich wzorów,

• momentów statycznych, w której korzysta się z twierdzenia, że moment statyczny ciała względem płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości tego ciała jest równy zeru. Wzory do obliczenia współrzędnych środka ciężkości danego ciała
  
                  

gdzie S_yz, S_xz i S_xy to momenty statyczne z odpowiednim indeksem, określającym płaszczyznę, względem której oblicza się te momenty.

• dzielenia, która sprowadza się do następujących etapów:

  • podziału bryły na proste elementy bryłowe, których położenia środków ciężkości są znane,

  • obliczenia momentów statycznych bryły względem płaszczyzn przyjętego układu współrzędnych (sumując iloczyny objętości brył prostych i współrzędnych środków ciężkości)

  • obliczenia z wcześniejszych wzorów współrzędnych środka ciężkości bryły (dzieląc momenty statyczne bryły przez całkowitą objętość bryły).

metoda ta stosowana jest również do obliczania współrzędnych środków ciężkości figur płaskich, powierzchni i linii.

• uzupełniania (ujemnych mas), która polega na tym, że bryłę (figurę płaską, powierzchnię, linię) uzupełnia się inną bryłą tak dobraną, aby uzyskać bryłę (figurę płaską, powierzchnię, linię) o możliwie prostej postaci. Wyznaczenie środka ciężkości sprowadza się wówczas do metody momentów statycznych, odejmując od momentu statycznego otrzymanej bryły (figury płaskiej, powierzchni, linii) moment statyczny bryły (figury płaskiej, powierzchni, linii) uzupełniającej.

Środek ciężkości figur płaskich:

Przyjmuje się, że grubość figury płaskiej jest stała i znikomo mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami oraz ciężar na jednostkę pola powierzchni figury płaskiej jest stały. Położenie środka ciężkości figury płaskiej zależy zatem tylko od kształtu geometrycznego tej figury.

Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej wyznaczamy ze wzorów:

                  
gdzie A -pole powierzchni figury płaskiej w m².

Przy wykorzystaniu definicji momentów statycznych figur płaskich współrzędne środka ciężkości figury płaskiej obliczymy ze wzorów:

                  
gdzie S_y-moment statyczny względem osi y,  S_x-moment statyczny względem osi x, A – pole powierzchni figury płaskiej w m².

Przydatne twierdzenia do obliczania współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej

• gdy figura płaska ma oś symetrii, to środek ciężkości leży na tej osi,

• jeżeli figura płaska ma dwie osie symetrii, to środek ciężkości leży w punkcie przecięcia tych osi.