1

Funkcja wykładnicza

Definicja

Niech

a

będzie daną liczbą rzeczywistą taką, że

a > 0

i

a 6= 1

. Funkcję postaci

y = a

x nazywamy funkcją wykładniczą.

Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych

(

x ∈ R

), przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych dodatnich

(

y ∈ R

+ ).

2

Spośród nieskończenie wielu funkcji wykładniczych najważniejszą

rolę odgrywają dwie:

y = 10

x i

y = e

x, gdzie liczba

e = 2, 7182818284590452353602874713526624977572470936999 . . .

jest niewymierna (

e ≈ 2, 72

). Liczba

e

nosi nazwę liczby Eulera

(Nepera).

Własności funkcji wykladniczej

• Funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową. Oznacza to,

że dla

a > 0

i

a 6= 1

a

x

1

= a

x

2

⇐⇒

x

1

= x

2

.

• Dla

a > 1

funkcja wykładnicza

y = a

x jest funkcją rosnącą, bo

3

dla dowolnych

x

1

, x

2

∈ R

x

1

< x

2

=⇒

a

x

1

< a

x

2

.

• Dla

0 < a < 1

funkcja wykładnicza

y = a

x

jest funkcją

malejącą, bo dla dowolnych

x

1

, x

2

∈ R

x

1

< x

2

=⇒

a

x

1

> a

x

2

.

Przykład

Dla jakich wartości zmiennej

x

funkcje

f

i

g

mają

równe wartości:

a)

f (x) = 2

5
4

−4x

,

g(x) =








1

2








3x

2

b)

f (x) = 0, 75

x−

1
3

,

g(x) =








4

3








6x

2

4

Przykład

Dla jakich wartości zmiennej

x

funkcja

f (x) = 5

2x+1

− 5

x

przyjmuje wartości dodatnie?

Przykład

Dane są funkcje

f (x) = 4

x+1

− 7 · 3

x

i

g(x) =

3

x+2

− 5 · 4

x. Rozwiązać nierówność

f (x) ¬ g(x)

.

5

Logarytm

Definicja

Logarytmem liczby rzeczywistej

x > 0

przy podstawie

a

(

a > 0

i

a 6= 1

) nazywamy wykładnik potęgi

y

, do której

należy podnieść liczbę

a

, żeby otrzymać

x

, tj.

log

a

x = y

⇐⇒

a

y

= x.

Na przykład:

log

2

8 = 3

, bo

2

3

= 8

.

Logarytm

log

10

x

nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy

krótko

log x

.

Logarytm

log

e

x

nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy

krótko

ln x

.

6

Własności logarytmu

•

log

a

1 = 0

•

log

a

a = 1

•

log

a

a

y

= y

•

a

log

a

x

= x

,

gdzie

a > 0

i

a 6= 1

oraz

x > 0

i

y ∈ R

.

Twierdzenie (Własności działań na logarytmach)

Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich

x

,

y

,

a

,

b

(

a 6= 1

,

b 6= 1

) i

p ∈ R

zachodzą wzory:

•

log

a

(x · y) = log

a

x + log

a

y

•

log

a

x

y

= log

a

x − log

a

y

•

log

a

x

p

= p · log

a

x

•

log

a

x =

log

b

x

log

b

a

,

w szczególności

log

a

b =

1

log

b

a

.

7

Przykład

Obliczyć:

a)

log

√

2

0, 25

b)

1000

1
3

−log

3

√

3

c)

log

1
9

3

3

√

3

d)

9

2 log

3

2+4 log

81

2

Przykład

Obliczyć

log

35

28

, jeżeli wiadomo, że

log

14

2 = a

i

log

14

5 = b

.

8

Funkcja logarytmiczna

Definicja

Niech

a

będzie daną liczbą rzeczywistą taką, że

a > 0

i

a 6= 1

. Funkcję postaci

y = log

a

x

nazywamy funkcją

logarytmiczną.

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych doda-

tnich (

x ∈ R

+), przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych (

y ∈ R

).

9

Własności funkcji logarytmicznej

• Funkcja logarytmiczna jest funkcją różnowartościową. Oznacza to,

że dla dowolnych

x

1

> 0

i

x

2

> 0

zachodzi:

log

a

x

1

= log

a

x

2

⇐⇒

x

1

= x

2

.

• Dla

a > 1

funkcja logarytmiczna

y = log

a

x

jest funkcją

rosnącą, bo dla dowolnych

x

1

, x

2

0 < x

1

< x

2

=⇒

log

a

x

1

< log

a

x

2

.

• Dla

0 < a < 1

funkcja logarytmiczna

y = log

a

x

jest funkcją

malejącą, bo dla dowolnych

x

1

, x

2

0 < x

1

< x

2

=⇒

log

a

x

1

> log

a

x

2

.

10

• Funkcja logarytmiczna

y = log

a

x

jest funkcją odwrotną do

funkcji wykładniczej

y = a

x.

Przykład

Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a)

f (x) = log

7

"

log

0,5

(x

2

− 7x + 12) + 1

#

b)

f (x) = log

3

"

log

0,5

(x + 2) + 2

#

Przykład

Wykazać, że wykresy funkcji

y = ln x

i

y = ln

2

x

przecinają się w dwóch punktach. Znaleźć te punkty.

Przykład

Dane są funkcje

f (x)

=

log

6

x − 3

x

i

g(x) = log

6








5

2x

+ 1








. Dla jakich wartości

x

zachodzi nierówność

f (x) < g(x)

?

11

Przykład

Rozwiązać równanie:

x

√

x

=

√

x

x

Przykład

Rozwiązać nierówność:

log

(2x+3)

x

2

< 1