Ć

wiczenie 3: Całkowanie numeryczne

1

Metody numeryczne - laboratorium

Ć

wiczenie 3: Całkowanie numeryczne

Wprowadzenie

Zagadnienie: wyznaczyć numerycznie przybliżoną wartość następującej całki oznaczonej:

∫

b

a

dx

x

f

)

(

,

gdzie

)

(x

f

- funkcja podcałkowa,

]

,

[ b

a

- przedział całkowania.

W praktyce wartość szukanej całki przybliża się przy użyciu następującego wyrażenia:

∫

∑

=

+

≈

b

a

n

i

n

i

i

f

R

f

A

dx

x

f

0

)

(

)

(

.

W zależności tej branych jest pod uwagę n+1 punktów z przedziału całkowania, dla których oblicza się

wartość całkowanej funkcji ze współczynnikami

i

A

. Różnica pomiędzy wartością rzeczywistą, a

przybliżoną jest określona przez

n

R

- błąd oszacowania, który może zależeć od wartości pochodnych

funkcji

f

, liczby punktów i szerokości przedziału.

Najczęściej korzysta się ze wzorów Newtona-Cotesa (zwanych kwadraturami Newtona), w których

zakłada się równomierne rozmieszczenie w odstępach h wszystkich uwzględnianych węzłów. Postać

ogólna całki określona jest jako:

∫

∑

=

+

−

=

b

a

n

i

i

i

f

R

x

f

H

a

b

dx

x

f

0

),

(

)

(

)

(

)

(

gdzie

(

)

∫

−

+

−

−

=

n

n

i

n

i

dq

q

q

i

n

ni

H

0

1

1

!

!

)

1

(

.

Wzór trapezów stopnia pierwszego:

(

)

∫

+

≈

1

0

)

(

)

(

2

)

(

1

0

x

x

x

f

x

f

h

dx

x

f

Wzór parabol (Simpsona) dla trzech węzłów:

(

)

∫

+

+

≈

1

0

)

(

)

(

4

)

(

3

)

(

2

1

0

x

x

x

f

x

f

x

f

h

dx

x

f

Ogólna postać wzoru prostokątów dla n+1 węzłów:

∫

∑

=

≈

n

x

x

n

i

i

x

f

h

dx

x

f

0

1

)

(

)

(

Ogólna postać wzoru trapezów dla n+1 węzłów:

(

)

(

)













+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

≈

∑

∫

∑

−

=

−

−

−

=

+

n

n

i

i

x

x

n

n

n

n

i

i

i

f

f

f

h

f

f

f

f

f

f

f

f

h

x

f

x

f

h

dx

x

f

n

1

1

0

1

1

2

2

1

1

0

1

0

1

2

2

...

2

)

(

)

(

2

)

(

0

Ć

wiczenie 3: Całkowanie numeryczne

2

Ogólna postać wzoru Simpsona:













+

+

+

≈

∑

∑

∫

=

=

−

n

n

i

i

n

i

i

x

x

f

f

f

f

h

dx

x

f

n

2

/

1

2

2

/

1

1

2

0

2

4

3

)

(

0

Zadanie 1 – obowiązkowe

Przygotuj program, który będzie wyznaczał całki oznaczone funkcji przy użyciu następujących metod:

•

metoda prostokątów

•

metoda trapezów

•

metoda parabol

Zbadaj działanie algorytmów całkowania do wyznaczenia całki oznaczonej na przedziale [-1, 1] dla

przynajmniej dwóch z następujących funkcji:

a)

2

3

3

4

)

(

x

x

x

f

+

=

b)

)

sin(

3

)

(

2

x

x

f

=

c)

)

exp(

2

)

(

x

x

f

−

=

Uwzględniając różne parametry algorytmów, porównaj otrzymane wyniki ze sobą. Tam, gdzie jest to

możliwe porównaj wyniki z wartością wyznaczoną analitycznie.

Zadanie 2 – dodatkowe

Wyznacz wartość wybranej przez siebie funkcji testowej przy użyciu metody Monte-Carlo. Oblicz

wartości całki oznaczonej uwzględniając różną liczbę losowanych punktów.