Algebra z geometrią

Wyznacznik macierzy

3.01.2011

Algebra z geometrią

Wyznacznik macierzy 2

× 2

A

=

"

a

b

c

d

#

A

−

1

=

1

ad

− bc

"

d

−b

−c

a

#

Liczbę ad

− bc nazywamy wyznacznikiem macierzy.

det A

=







a

b

c

d







= ad − bc

Algebra z geometrią

Właściwości wyznacznika

1

Wyznacznik macierzy identycznościowej o wymiarach n

× n

jest równy 1.

2

Wyznacznik zmienia znak po zamianie dwóch wierszy.

3

Wyznacznik jest liniową funkcją każdego wiersza oddzielnie.

4

Jeśli dwa wiersze macierzy A są sobie równe wtedy det A

= 0.

5

Odjęcie wielokrotności jednego wiersza od innego nie zmienia
wartości wyznacznika.

6

Macierz, która posiada wiersz zawierający same zera ma
wyznacznik 0.

7

Jeśli A jest macierzą trójkątną wtedy det A

= a

11

a

22

. . .

a

nn

wyznacznik jest iloczynem elementów diagonalnych.

8

Jeśli macierz A jest osobiliwa wtedy det A

= 0. Jeśli jest

odwracalna wtedy det A

6= 0.

9

Wyznacznikiem macierzy AB jest

|AB| = |A||B|.

10

Macierz A

T

ma taki sam wyznacznik jak A.

Algebra z geometrią

Zadanie 1

Macierz o wymiarach 4

× 4 ma wyznacznik det A =

1
2

. Znajdź

det

(2A), det(−A), det(A

2

) oraz det(A

−

1

).

Algebra z geometrią

Zadanie 2

Zredukuj A do U i znajdź det A - iloczyn elementów osiowych:

A

=






1 1 1
1 2 2
1 2 3






A

=






1 2 3
2 2 3
3 3 3






Algebra z geometrią

Obliczanie wyznacznika na podstawie elementów osiowych

Po eliminacji na przekątnej macierzy górnotrójkątnej U są elementy
osiowe d

1

,

d

2

, . . . ,

d

n

. Jeśli w trakcie eliminacji nie były

wykonywane zamiany wierszy to wyznacznik można wyliczyć
wymnażając te elementy:

det A

= (det L)(det U) = (1)(d

1

d

2

. . .

d

n

)

Macierz permutacji ma wyznacznik 1 lub

−1 więc:

(det P)(det A) = (det L)(det U)

daje:

det A

= ±(d

1

d

2

. . .

d

n

)

Algebra z geometrią

Przykład












2

−1

−1

2

−1

−1

2

. ..

. .. ... −1

−1

2












=











1

−

1
2

1

−

2
3

1

. ..

. ..

−

n−1

n

1





















2

−1

3
2

−1

4
3

−1

. ..

. ..

n+1

n











Pierwsze k elementów osiowych pochodzi z macierzy A

k

o

wymiarach k

× k, która stanowi lewy górny narożnik oryginalnej

macierzy A. Wyznacznikiem tej podmacierzy narożnikowej jest
d

1

d

2

. . .

d

k

.

Algebra z geometrią

Obliczanie elementów osiowych z wyznaczników

k-ty element osiowy jest równy:

d

k

=

d

1

d

2

. . .

d

k

d

1

d

2

. . .

d

k−1

=

det A

k

det A

k−1

Jeśli wszystkie podmacierze A

k

mają wyznacznik det A

k

6= 0 wtedy

nie są konieczne zamiany wierszy podczas eliminacji.

Algebra z geometrią

Wzór na wyznacznik







a

b

c

d







=







a

0

c

d







+







0

b

c

d







=







a

0

c

0







+







a

0

0 d







+







0 b

c

0







+







0

b

0 d







Po usunięciu zerowych wyznaczników:







a

0

0 d







+







0 b

c

0







= ad







1 0
0 1







+ bc







0 1
1 0







= ad − bc

Algebra z geometrią

Wzór na wyznacznik

W przypadku obliczania wyznacznika macierzy o wymiarach 3

× 3

uzyskuje sie 3

3

= 27 składników, z czego niezerowe są tylko te, w

których niezerowe elementy leżą w różnych kolumnach. To daje
3

! = 6 składników. Ogólny wzór:

det A

=

X

(det P)a

1

α

a

2

β

, . . . ,

a

3

ω

Suma po wszystkich n

! permutacjach P = (α, β, . . . , ω).

Algebra z geometrią

Zadanie

Oblicz wyznaczniki następujących macierzy:

A

=






1 2 3
3 1 2
3 2 1






B

=






1 2 3
4 4 4
5 6 7






A

=






1 1 1
1 1 0
1 0 0






Czy wiersze tych macierzy są niezależne?

Algebra z geometrią

Wyznacznik z wykorzystaniem minorów macierzy

det A

= a

11

(a

22

a

33

−a23a

32

)+a

12

(a

23

a

31

−a

21

a

33

)+a

13

(a

21

a

32

−a

22

a

31

)

det A

= a

i 1

C

i 1

+ a

i 2

C

i 2

+ . . . + a

in

C

in

C

ij

= (−1)

i +j

det M

ij

Algebra z geometrią

Zadanie

Znajdź wszystkie współczynniki C

ij

= (−1)

i +j

det M

ij

i umieść je w

macierzach C i D. Oblicz AC oraz B

−

1

.

A

=

"

a

b

c

d

#

A

=






1 2 3
4 5 6
7 0 0






Algebra z geometrią

Wzór Cramera






A











x

1

0 0

x

2

1 0

x

3

0 1






=






b

1

a

12

a

13

b

2

a

22

a

23

b

3

a

32

a

33






= B

1

Stosując właściwość mnożenia wyznaczników:

(det A)(x

1

) = det B

1

x

1

=

det B

1

det A

Wzór Cramera: Jeśli det A

6= 0, Ax = b może być rozwiązane z

wykorzystaniem wyznaczników:

x

1

=

det B

1

det A

x

2

=

det B

2

det A

. . .

x

n

=

det B

n

det A

Gdzie macierz B

j

jest otrzymywana przez zastąpienie j-tej kolumny

macierzy A przez wektor b.

Algebra z geometrią

Zadanie

Rozwiąż układy równań z wykorzystaniem wzoru Cramera:

2x

1

+ 5x

2

= 1

x

1

+ 4x

2

= 2

2x

1

+

x

2

= 1

x

1

+ 2x

2

+

x

3

= 0

x

2

+ 2x

3

= 0

Algebra z geometrią

Pole trójkąta a wyznacznik

Trójkąt o wierzchołkach

(x

1

,

y

1

), (x

2

,

y

2

) i (x

3

,

y

3

) ma pole równe

połowie wartości wyznacznika:

1
2









x

1

y

1

1

x

2

y

2

1

x

3

y

3

1









Jeśli

(x

3

,

y

3

) = (0, 0) wtedy pole jest równe:

1
2







x

1

y

1

x

2

y

2







Pole równoległoboku ma takie same właściwości jak wyznacznik
macierzy.
Wartość bezwzględna wyznacznika macierzy jest równa objętości
równoległościanu “rozpiętego” na wektorach tworzących macierz.

Algebra z geometrią

Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym u i v nazywamy wektor:

u

×v =









i

j

k

u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3









= (u

2

v

3

−u

3

v

2

)i+(u

3

v

1

−u

1

v

3

)j+(u

1

v

2

−u

2

v

1

)k

Ten wektor jest prostopadły do u i do v . Iloczyn wektorowy v

× u

to

−(u × v ).

Algebra z geometrią