Metoda skrócona (niewprost)

1

Dowodzenie niewprost to następujący schemat:

2

Dowodzenie niewprost to następujący schemat:

•

chcemy dowieść zdania A

3

Dowodzenie niewprost to następujący schemat:

•

chcemy dowieść zdania A

•

zakładamy na odwrót, że zdanie ¬A jest prawdziwe
(jest to tzw. hipoteza niewprost)

4

Dowodzenie niewprost to następujący schemat:

•

chcemy dowieść zdania A

•

zakładamy na odwrót, że zdanie ¬A jest prawdziwe
(jest to tzw. hipoteza niewprost)

•

dedukujemy ...

5

Dowodzenie niewprost to następujący schemat:

•

chcemy dowieść zdania A

•

zakładamy na odwrót, że zdanie ¬A jest prawdziwe
(jest to tzw. hipoteza niewprost)

•

dedukujemy ...

•

w wyniku tej dedukcji uzyskujemy jakąś sprzeczność
(np. że 1=2)

6

Dowodzenie niewprost to następujący schemat:

•

chcemy dowieść zdania A

•

zakładamy na odwrót, że zdanie ¬A jest prawdziwe
(jest to tzw. hipoteza niewprost)

•

dedukujemy ...

•

w wyniku tej dedukcji uzyskujemy jakąś sprzeczność
(np. że 1=2)

•

skoro zdanie ¬A doprowadziło do absurdu, nie może
być prawdziwe

7

Dowodzenie niewprost to następujący schemat:

•

chcemy dowieść zdania A

•

zakładamy na odwrót, że zdanie ¬A jest prawdziwe
(jest to tzw. hipoteza niewprost)

•

dedukujemy ...

•

w wyniku tej dedukcji uzyskujemy jakąś sprzeczność
(np. że 1=2)

•

skoro zdanie ¬A doprowadziło do absurdu, nie może
być prawdziwe

•

zatem zdanie ¬A jest fałszywe

8

Dowodzenie niewprost to następujący schemat:

•

chcemy dowieść zdania A

•

zakładamy na odwrót, że zdanie ¬A jest prawdziwe
(jest to tzw. hipoteza niewprost)

•

dedukujemy ...

•

w wyniku tej dedukcji uzyskujemy jakąś sprzeczność
(np. że 1=2)

•

skoro zdanie ¬A doprowadziło do absurdu, nie może
być prawdziwe

•

zatem zdanie ¬A jest fałszywe

•

zatem zdanie A jest prawdziwe

9

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

10

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

11

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

0

12

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1

0

13

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1

0

0

14

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1

1

0

0

15

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1

1

1

0

0

16

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1

1

1

0

1 0

17

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1

1

1

0

1 0 0

18

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1 1

1

1

0

1 0 0

19

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1 1

1

1 0

0

1 0 0

20

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1 1 1

1

1 0

0

1 0 0

21

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1 1 1

1

1 1 0

0

1 0 0

22

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1 1 1

1

1 1 0

0

1 0 0

Czy otrzymaliśmy sprzeczność?

23

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1 1 1

1

1 1 0

0

1 0 0

Czy otrzymaliśmy sprzeczność?

TAK!

24

Przykład 1. Sprawdzimy, czy formuła
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
jest tautologią.

(( p → q ) ∧ ( q → r )) → ( p → r )

1 1 1

1

1 1 0

0

1 0 0

Czy otrzymaliśmy sprzeczność?

TAK!

Zatem nasze zdanie jest tautologią

25

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

26

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

0

27

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

1

0

28

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

1

0

0

29

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

1

0

1

0

30

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

1

0

1

0 0

31

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

1

0

1 0 0 0

32

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

0 1

0

1 0 0 0

33

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

0 1

0

0

1 0 0 0

34

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

0 1 1 0

0

1 0 0 0

35

Przykład 2. Zastosujemy metodę niewprost, do roz-
wiązanego już przykładu.

( k → ¬ m ) → ( ¬ m → k )

0 1 1 0

0

1 0 0 0

Brak sprzeczności, zatem rozważane zdanie nie jest tau-
tologią.

Wartościowanie falsyfikujące to: k = 0, m = 0.

36

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

37

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

38

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

0

39

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

0

0

40

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

0

0

0

0

1

41

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

0

0

0

0

0

1

42

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

0

0

0

0

0

0

1

43

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

0

0

0

0 0

0

0

1

44

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

0

0

0 1 0 0

0

0

1

45

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

0

0

0 1 0 0 1

0

0

1

46

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0

0

0 1 0 0 1

0

0

1

47

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

0

1

48

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

0

1

W pierwszym przypadku: sprzeczność

49

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1

0

1

W pierwszym przypadku: sprzeczność

50

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1 1

0

1

W pierwszym przypadku: sprzeczność

51

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1 1 1

0

1

W pierwszym przypadku: sprzeczność

52

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1 1 1

0

1 1

W pierwszym przypadku: sprzeczność

53

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1 1 1

0

1 1

1

W pierwszym przypadku: sprzeczność

54

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1 1 1

0

0 1 1

1

W pierwszym przypadku: sprzeczność

55

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1 1 1

0

0 1 1 0 1

W pierwszym przypadku: sprzeczność

56

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1 1 1

0

0

1

1 0

1

W pierwszym przypadku: sprzeczność
W drugim przypadku: sprzeczność

57

Przykład 3. Czy formuła ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) jest
tautologią?

¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q )

1

1 0 1

0

0 1 0 0 1

0

1 1 1

0

0

1

1 0

1

W pierwszym przypadku: sprzeczność
W drugim przypadku: sprzeczność

Zatem zdanie jest tautologią

58

Stanosz 23, 24, 25, 39

59

Najważniejsze tautologie

60

Najważniejsze tautologie
1. Prawo tożsamości

p → p

61

Najważniejsze tautologie
1. Prawo tożsamości

p → p

2. Prawo sprzeczności

¬(p ∧ ¬p)

62

Najważniejsze tautologie
1. Prawo tożsamości

p → p

2. Prawo sprzeczności

¬(p ∧ ¬p)

3. Prawo wyłączonego środka

p ∨ ¬p

63

Najważniejsze tautologie
1. Prawo tożsamości

p → p

2. Prawo sprzeczności

¬(p ∧ ¬p)

3. Prawo wyłączonego środka

p ∨ ¬p

4. Prawo podwójnego przeczenia

p ↔ ¬¬p

64

5. Prawa przemienności

(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ↔ (q ∨ p)

65

5. Prawa przemienności

(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ↔ (q ∨ p)

6. Prawa łączności

(p ∧ (q ∧ r)) ↔ ((p ∧ q) ∧ r)

(p ∨ (q ∨ r)) ↔ ((p ∨ q) ∨ r)

66

5. Prawa przemienności

(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ↔ (q ∨ p)

6. Prawa łączności

(p ∧ (q ∧ r)) ↔ ((p ∧ q) ∧ r)

(p ∨ (q ∨ r)) ↔ ((p ∨ q) ∨ r)

7. Prawa rozdzielności

(p ∧ (q ∨ r)) ↔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

(p ∨ (q ∧ r)) ↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

67

8. Prawa sylogizmu

((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)

(p → q) → ((q → r) → (p → r))

68

8. Prawa sylogizmu

((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)

(p → q) → ((q → r) → (p → r))

9. Prawa de Morgana (prawa negowania)

¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)
¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)

¬(p → q) ↔ (p ∧ ¬q)

69

10. Prawo kontrapozycji

(p → q) ↔ (¬q → ¬p)

70

10. Prawo kontrapozycji

(p → q) ↔ (¬q → ¬p)

11. Prawa redukcji do absurdu

(p → ¬p) → ¬p

((p → q) ∧ (p → ¬q)) → ¬p

71

10. Prawo kontrapozycji

(p → q) ↔ (¬q → ¬p)

11. Prawa redukcji do absurdu

(p → ¬p) → ¬p

((p → q) ∧ (p → ¬q)) → ¬p

12. Prawo komutacji

(p → (q → r)) ↔ (q → (p → r))

72

10. Prawo kontrapozycji

(p → q) ↔ (¬q → ¬p)

11. Prawa redukcji do absurdu

(p → ¬p) → ¬p

((p → q) ∧ (p → ¬q)) → ¬p

12. Prawo komutacji

(p → (q → r)) ↔ (q → (p → r))

WIĘCEJ — patrz Stanosz [Wprowadzenie, s. 42]

73

Rozumowania

74

Definicja. Rozumowaniem będziemy nazywać na-
stępującą parę:

(X, β)

75

Definicja. Rozumowaniem będziemy nazywać na-
stępującą parę:

(X, β)

gdzie X to dowolny zbiór zdań — zwanych przesłan-
kami rozumowania — zaś β to dowolne zdanie —
zwane wnioskiem rozumowania.

76

Definicja. Rozumowaniem będziemy nazywać na-
stępującą parę:

(X, β)

gdzie X to dowolny zbiór zdań — zwanych przesłan-
kami rozumowania — zaś β to dowolne zdanie —
zwane wnioskiem rozumowania. Napis

X

β

oznacza, że mamy do czynienia z rozumowaniem o prze-
słankach ze zbioru X i wniosku β.

77

Jeśli X składa się ze zdań α

1

, . . . α

n

to piszemy:

78

Jeśli X składa się ze zdań α

1

, . . . α

n

to piszemy:

α

1

, . . . , α

n

β

79

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

80

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie

81

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie
Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni to traci humor

82

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie
Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni to traci humor
Jan nie traci humoru

83

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie
Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni to traci humor
Jan nie traci humoru
Jan uczy się pilnie

84

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie
Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni to traci humor
Jan nie traci humoru
Jan uczy się pilnie

Po sformalizowaniu dostajemy:

85

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie
Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni to traci humor
Jan nie traci humoru
Jan uczy się pilnie

Po sformalizowaniu dostajemy:

u → d,

86

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie
Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni to traci humor
Jan nie traci humoru
Jan uczy się pilnie

Po sformalizowaniu dostajemy:

u → d,

¬ d → t,

87

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie
Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni to traci humor
Jan nie traci humoru
Jan uczy się pilnie

Po sformalizowaniu dostajemy:

u → d,

¬ d → t,

¬ t

88

Przykład 1. Rozważmy rozumowanie następujące:

Jeżeli Jan uczy się pilnie to otrzymuje dobre stopnie
Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni to traci humor
Jan nie traci humoru
Jan uczy się pilnie

Po sformalizowaniu dostajemy:

u → d,

¬ d → t,

¬ t

u

89

W centrum zainteresowania logiki leży zagadnienie po-
prawności rozumowań.

90

W centrum zainteresowania logiki leży zagadnienie po-
prawności rozumowań.

Definicja. Rozumowanie

X

β

nazywamy poprawnym

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wartościowania,
przy którym przesłanki (elementy zbioru X) są prawdzi-
we, wniosek (tj. zdanie β) też jest fałszywy.

91

W centrum zainteresowania logiki leży zagadnienie po-
prawności rozumowań.

Definicja. Rozumowanie

X

β

nazywamy poprawnym

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wartościowania,
przy którym przesłanki (elementy zbioru X) są prawdzi-
we, wniosek (tj. zdanie β) też jest fałszywy.

Innymi słowy, rozumowanie jest niepoprawne, o ile ist-
nieje wartościowanie, przy którym przesłanki są prawdzi-
we, a wniosek jest fałszywy.

92

Niezbyt ściśle:

93

Niezbyt ściśle:

rozumowanie jest poprawne, gdy uznanie przesłanek zmu-
sza mnie do uznania wniosku

94

Niezbyt ściśle:

rozumowanie jest poprawne, gdy uznanie przesłanek zmu-
sza mnie do uznania wniosku

jeszcze inaczej:

95

Niezbyt ściśle:

rozumowanie jest poprawne, gdy uznanie przesłanek zmu-
sza mnie do uznania wniosku

jeszcze inaczej:

nie da się uznać przesłanek i odrzucić wniosku, nie po-
padając w sprzeczność.

96

Przykład 2. Rozważmy rozumawanie następujące:

97

Przykład 2. Rozważmy rozumawanie następujące:

Jeżeli Jan pije to śpi
Jeżeli Jan śpi to nie grzeszy
Jeśli Jan nie grzeszy to pójdzie do nieba
Jeśli Jan pije to pójdzie do nieba

98

Przykład 2. Rozważmy rozumawanie następujące:

Jeżeli Jan pije to śpi
Jeżeli Jan śpi to nie grzeszy
Jeśli Jan nie grzeszy to pójdzie do nieba
Jeśli Jan pije to pójdzie do nieba

Po sformalizowaniu dostajemy:

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

p → i

99

Jak rozstrzygnąć czy to rozumowanie jest poprawne?

100

Jak rozstrzygnąć czy to rozumowanie jest poprawne?

•

gdyby było poprawne, to przypuszczenie, że przesłan-
ki są prawdziwe a wniosek fałszywy, doprowadziłoby
do sprzeczności

101

Jak rozstrzygnąć czy to rozumowanie jest poprawne?

•

gdyby było poprawne, to przypuszczenie, że przesłan-
ki są prawdziwe a wniosek fałszywy, doprowadziłoby
do sprzeczności

•

gdyby było niepoprawne, to przypuszczenie, że prze-
słanki są prawdziwe a wniosek fałszywy, nie dopro-
wadziłoby do sprzeczności (skonstruowalibyśmy war-
tościowanie, które potwierdza przesłanki, a obala wnio-
sek)

102

Jak rozstrzygnąć czy to rozumowanie jest poprawne?

•

gdyby było poprawne, to przypuszczenie, że przesłan-
ki są prawdziwe a wniosek fałszywy, doprowadziłoby
do sprzeczności

•

gdyby było niepoprawne, to przypuszczenie, że prze-
słanki są prawdziwe a wniosek fałszywy, nie dopro-
wadziłoby do sprzeczności (skonstruowalibyśmy war-
tościowanie, które potwierdza przesłanki, a obala wnio-
sek)

Zatem:

103

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

p → i

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

104

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1

1

1

p → i

0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

105

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1

1

1

p → i

0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

106

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1

1

1

p → i
1 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

107

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1

1

1

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

108

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1

1

1

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

109

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1

1

1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

110

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1

1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

111

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1 1

1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

112

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1 1 1

1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

113

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1 1 1 0

1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

114

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1 1 1 0

0 1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

115

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1 1 1 0

1 0 1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

116

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1 1 1 0

1 0 1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

•

szukamy sprzeczności

117

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1 1 1 0

1

0

1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

•

szukamy sprzeczności

•

JEST!

118

p → s,

s → ¬ g,

¬ g → i

1 1 1

1 1 1 0

1

0

1 0

p → i
1 0 0

•

zakładamy, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek
fałszywy

•

dedukujemy...

•

szukamy sprzeczności

•

JEST!

•

zatem: rozumowanie jest poprawne

119

Powrót do Przykładu 1.

120

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

u

121

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

1

1

1

u

0

122

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1

1

1

u

0

123

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1

1

1 0

u

0

124

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1

1 0

1 0

u

0

125

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1

0

1 0

1 0

u

0

126

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1

0 1 1 0

1 0

u

0

127

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1 1

0 1 1 0

1 0

u

0

128

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1 1

0 1 1 0

1 0

u

0

Czy jest gdzieś sprzeczność?

129

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1 1

0 1 1 0

1 0

u

0

Czy jest gdzieś sprzeczność? NIE!

130

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1 1

0 1 1 0

1 0

u

0

Czy jest gdzieś sprzeczność? NIE!
Zatem wartościowanie:

u = 0,

d = 1,

t = 0

obala to rozumowanie.

131

Powrót do Przykładu 1.

u → d,

¬ d → t,

¬ t

0 1 1

0 1 1 0

1 0

u

0

Czy jest gdzieś sprzeczność? NIE!
Zatem wartościowanie:

u = 0,

d = 1,

t = 0

obala to rozumowanie:
ROZUMOWANIE NIE JEST POPRAWNE

132

Przykład 3.

133

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

134

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy

135

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

d

136

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1

1

1

d

0

137

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1

1 0

1

d

0

138

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1

1 0

1 0

d

0

139

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1

0 1 0

1 0

d

0

140

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

0 1

0 1 0

1 0

d

0

141

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1 0 1

0 1 0

1 0

d

0

142

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1 0 1 1

0 1 0

1 0

d

0

143

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1 0 1 1 0

0 1 0

1 0

d

0

144

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1 0 1 1 0

0 1 0

0 1 0

d

0

145

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1 0 1 1 0

0 1 0

1 0 1 0

d

0

146

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1 0 1 1 0

0 1 0

1 0 1 0

d

0

Szukamy sprzeczności...

147

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1 0 1 1 0

0 1 0

1

0

1 0

d

0

Szukamy sprzeczności... JEST!

148

Przykład 3.

Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.
Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii,

to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Jeśli Jan nie wygra, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów

Formalizujemy i obliczamy...

¬ g → ¬ w,

g → d,

¬ w → d

1 0 1 1 0

0 1 0

1

0

1 0

d

0

Szukamy sprzeczności... JEST! rozumowanie OK

149

Ćwiczenie 1. Czy rozumowanie jest poprawne:

Jeśli Jan ożeni się z Marią to Piotr go znienawidzi.
Jeśli Piotr ożeni się z Marią to Jan go znienawidzi.
Piotr znienawidzi Jana lub Jan znienawidzi Piotra.

150

Ćwiczenie 2. Czy rozumowanie jest poprawne:

Jeśli Jan ożeni się z Marią to Piotr go znienawidzi.
Jeśli Piotr umrze to Jan ożeni się z Marią.
Jeśli Piotr umrze to znienawidzi Jana.

151

Stanosz 44, 45

152

Sprzeczność

153

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek.

154

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

155

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

Jan wierzy w Boga
Jan nie wierzy w Boga
Jan jest najlepszym wykładowcą na GWSP

156

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

Jan wierzy w Boga
Jan nie wierzy w Boga
Jan jest najlepszym wykładowcą na GWSP

Formalizujemy

157

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

Jan wierzy w Boga
Jan nie wierzy w Boga
Jan jest najlepszym wykładowcą na GWSP

Formalizujemy

w,

¬ w

n

158

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

Jan wierzy w Boga
Jan nie wierzy w Boga
Jan jest najlepszym wykładowcą na GWSP

Formalizujemy i obliczamy:

w,

¬ w

n

159

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

Jan wierzy w Boga
Jan nie wierzy w Boga
Jan jest najlepszym wykładowcą na GWSP

Formalizujemy i obliczamy:

w,

¬ w

1

1

n

0

160

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

Jan wierzy w Boga
Jan nie wierzy w Boga
Jan jest najlepszym wykładowcą na GWSP

Formalizujemy i obliczamy:

w,

¬ w

1

1 0

n

0

161

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, rozumowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

Jan wierzy w Boga
Jan nie wierzy w Boga
Jan jest najlepszym wykładowcą na GWSP

Formalizujemy i obliczamy:

w,

¬ w

1

1

0

n

0

Sprzeczność!

162

Gdy zbiór przesłanek jest sprzeczny, wnioskowanie jest
bezwartościowe: każde zdanie wynika ze sprzecznego
zbioru przesłanek. Istotnie, rozważmy rozumowanie:

Jan wierzy w Boga
Jan nie wierzy w Boga
Jan jest najlepszym wykładowcą na GWSP

Formalizujemy i obliczamy:

w,

¬ w

1

1

0

n

0

Sprzeczność! Zatem rozumowanie jest poprawne!

163

Co to znaczy, że zbiór formuł jest sprzeczny?

164

Definicja.

165

Definicja. Zbiór formuł X nazywamy niesprzecznym,
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wartościowanie, przy
którym wszystkie formuły z X są prawdziwe.

166

Definicja. Zbiór formuł X nazywamy niesprzecznym,
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wartościowanie, przy
którym wszystkie formuły z X są prawdziwe.

Natomiast:

167

Definicja. Zbiór formuł X nazywamy niesprzecznym,
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wartościowanie, przy
którym wszystkie formuły z X są prawdziwe.

Natomiast:

zbiór X jest sprzeczny, gdy nie istnieje takie warto-
ściowanie.

168

Przykład 1. Zbiór formuł:

{p → q, p → ¬q}

jest niesprzeczny.

169

Przykład 1. Zbiór formuł:

{p → q, p → ¬q}

jest niesprzeczny.

Istotnie, wartościowanie (np.) p = 0, q = 0 potwierdza
obydwa zdania:

170

Przykład 1. Zbiór formuł:

{p → q, p → ¬q}

jest niesprzeczny.

Istotnie, wartościowanie (np.) p = 0, q = 0 potwierdza
obydwa zdania:

p → q,

p → ¬ q

0

0

0

0

171

Przykład 1. Zbiór formuł:

{p → q, p → ¬q}

jest niesprzeczny.

Istotnie, wartościowanie (np.) p = 0, q = 0 potwierdza
obydwa zdania:

p → q,

p → ¬ q

0 1 0

0

0

172

Przykład 1. Zbiór formuł:

{p → q, p → ¬q}

jest niesprzeczny.

Istotnie, wartościowanie (np.) p = 0, q = 0 potwierdza
obydwa zdania:

p → q,

p → ¬ q

0 1 0

0

1 0

173

Przykład 1. Zbiór formuł:

{p → q, p → ¬q}

jest niesprzeczny.

Istotnie, wartościowanie (np.) p = 0, q = 0 potwierdza
obydwa zdania:

p → q,

p → ¬ q

0 1 0

0 1 1 0

174

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

175

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

Istotnie, przypuśćmy, że przy pewnym wartościowaniu
(jeszcze nieznanym) wszystkie zdania są prawdziwe:

176

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

Istotnie, przypuśćmy, że przy pewnym wartościowaniu
(jeszcze nieznanym) wszystkie zdania są prawdziwe:

p,

p → q,

¬ q

1

1

1

177

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

Istotnie, przypuśćmy, że przy pewnym wartościowaniu
(jeszcze nieznanym) wszystkie zdania są prawdziwe:

p,

p → q,

¬ q

1

1 1

1

178

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

Istotnie, przypuśćmy, że przy pewnym wartościowaniu
(jeszcze nieznanym) wszystkie zdania są prawdziwe:

p,

p → q,

¬ q

1

1 1 1

1

179

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

Istotnie, przypuśćmy, że przy pewnym wartościowaniu
(jeszcze nieznanym) wszystkie zdania są prawdziwe:

p,

p → q,

¬ q

1

1 1 1

1 1

180

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

Istotnie, przypuśćmy, że przy pewnym wartościowaniu
(jeszcze nieznanym) wszystkie zdania są prawdziwe:

p,

p → q,

¬ q

1

1 1 1

1 1

Sprzeczność.

181

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

Istotnie, przypuśćmy, że przy pewnym wartościowaniu
(jeszcze nieznanym) wszystkie zdania są prawdziwe:

p,

p → q,

¬ q

1

1 1 1

1 1

Sprzeczność. Zatem nasze przypuszczenie jest niepraw-
dziwe.

182

Przykład 2. Zbiór

{p, p → q, ¬q}

jest sprzeczny.

Istotnie, przypuśćmy, że przy pewnym wartościowaniu
(jeszcze nieznanym) wszystkie zdania są prawdziwe:

p,

p → q,

¬ q

1

1 1 1

1 1

Sprzeczność. Zatem nasze przypuszczenie jest niepraw-
dziwe.
Czyli zbiór formuł jest sprzeczny

183

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

184

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

185

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1

1

1

1

186

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1

1

1

1 1

187

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1

1

1

1 1 1

188

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1

1

1

1 1 1

189

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1

1

1 1

1 1 1

190

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1 1

1

1 1

1 1 1

191

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

192

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

193

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1 1

1 1 1 0

1 1

1 1 1

194

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1 1

1 1 1 0

1 1 0

1 1 1

195

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1 1

1 1 1 0

1 1 0

1 1 1

Czy jest sprzeczność?

196

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1 1

1 1 1 0

1 1 0

1 1 1

Czy jest sprzeczność? JEST!

197

Przykład 3. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

Jeżeli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczy-
nił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestęp-
stwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie
ono wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomicz-
ne, to wiedział, że przestępstwo to zostanie natychmiast wykryte.
Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo i posiada wy-
kształcenie ekonomiczne.

p → k,

k → ¬ w,

e → w,

p ∧ e

1 1 1

1 1 1 0

1 1 0

1 1 1

Czy jest sprzeczność? JEST!
Zatem, zbiór zdań jest sprzeczny

198

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

199

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

200

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

201

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1

202

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1

203

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1

204

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1

205

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1

206

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1

207

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1

1

0

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1

208

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

209

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0,

210

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

0

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0,

211

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

0

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości:

212

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

0

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości: (2a) p = 1

213

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

1

0

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości: (2a) p = 1

214

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

1

0

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości: (2a) p = 1

215

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

1

0

1

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości: (2a) p = 1

216

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości: (2a) p = 1

217

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

1

0

1

0 1

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości: (2a) p = 1

218

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

1

0

1

0 1

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości: (2a) p = 1
brak sprzeczności

219

Przykład 4. Czy poniższy zbiór zdań jest sprzeczny?

r → p,

r → ¬ q,

p → q,

1

1

1

1

1

1 0

1 1 0

0

1

1

0

1

0 1

1

1

1

Mamy kilka możliwości:

(1) gdyby r = 1 sprzeczność

(2) gdyby r = 0, znowu dwie możliwości: (2a) p = 1
brak sprzeczności

Zatem, zbiór zdań nie jest sprzeczny.

220

Stanosz 49, 50

221