Zasada minimum energii Menabrea-Castigliano

Siły czynne (P

i

) powodują powstanie w podporach reakcji. Jeżeli podparcie jest niepodatne to

odpowiadające reakcji przemieszczenie wynosi zero. korzystając z twierdzenia Castigliano:

0







i

R

V

Zależność ta wyraża twierdzenie Menabrea-Castigliano.

W układzie liniowosprężystym, sztywnie podpartym, pochodna cząstkowa energii sprężystej
całego układu względem wielkości podporowej - statycznie niewyznaczalnej jest równa zeru.

Układy wewnętrznie statycznie niewyznaczalne

Układem takim jest np. rama zamknięta
lub kratownica z prętem nadliczbowym
W celu wyznaczenia sił wewnętrznych
należy dokonać przecięcia układu.

Energia całkowita całego układu V = V

1

+ V

2

Przemieszczenie punktu przyłożenia siły
wewnętrznej P

W

części pierwszej zgodnie z

twierdzeniem Castigliano:

i

W

u

P

V







1

i podobnie

2

2

u

P

V

W







Z warunku nierozdzielczości przemieszczeń:

0

0

2

1

2

1



























W

W

W

W

P

V

P

V

P

V

P

V

i

u

u

Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem statycznie
niewyznaczalnej wielkości wewnętrznej jest równe zeru.

Podparcie sprężyste

Jeżeli jedna z podpór układu liniowo-sprężystego

dostarczająca wielkości statycznie niewyznaczalnej

jest podatna (sprężyście).

Przemieszczenie sprężyny przy obciążeniu jej siłą R wynosi cR.

0

2

1

2

1



























A

A

A

B

A

R

V

R

V

R

V

V

V

V

R

R

R

czyli

A

A

A

A

cR

R

V

cR

u

R

V

ale

R

V

R

V































2

1

2

2

2

2

1

P

P

P

V

2

V

1

u

1

u

2

P

W

P

W

1

2

1

V

1

V

s

R

2

A

V

B

Zastosowanie tw. Menabre’a prześledźmy na przykładach:

1)

H

– reakcja hiperstatyczna

x

H

x

M

M

x

H

x

M













)

(

)

(











l

xdx

M

Hx

EJ

0

0

1

l

M

H

Ml

Hl

2

3

0

2

3

2

3











2) K

ratownica wewnętrznie niewyznaczalna

Reakcje



X = A

h

– D

h

= 0



A

h

= D

h



Y = D

V

– P = 0



D

V

= P



M

D

= A

h

a

– Pa=0



A

h

= P

w

– 3 = p



2 · 4 – 3 = 6



5 ≠ 6

Kratownica jest jednokrotnie wewnętrznie niewyzn.

Przyjmujemy S

5

jako wielkość hiperstatyczną,

wyznaczamy siły w prętach jako funkcje P i S

5

.

2

0

2

1

5

3

3

5

S

S

S

S

X

C













2

0

2

1

5

2

2

5

S

S

S

S

Y















P

S

S

P

S

S

X

A

















2

0

2

1

5

1

1

5

2

0

2

1

5

4

4

5

S

S

S

S

Y















1

6

1

6

2

0

2

1

S

S

S

S

X

B















Energia sprężysta kratownicy

i

n

i

i

i

i

n

i

l

S

EF

EF

l

S

V













1

2

2

1

2

1

2

1

Wg twierdzenia Menabrea

0

1

0

5

6

1

5



















S

S

S

l

EF

S

V

i

i

i

i

Suma wyrazów ostatniej kolumny:





4

2

2

3

0

2

1

2

2

2

2

5

5

5

6

1



















































P

S

P

S

a

S

S

S

l

i

i

i

i

Pręt 5 jest ściskany

i

l

i

S

i



S

i

/



S

5

l

i

S

i



S

i

/



S

5

1

a

-S

5

/



2 -P

-1/



2

a(S

5

/2 + P/



2)

2

a

-S

5

/



2

-1/



2

aS

5

/2

3

a

-S

5

/



2

-1/



2

aS

5

/2

4

a

-S

5

/



2

-1/



2

aS

5

/2

5

a



2

S

5

1

aS

5



2

6

a



2

S

5

+P



2

1

a(S

5



2 + 2P)

H

M

l

a

a

1

2

5

6

4

3

D

h

D

v

A

h

A

D

P

B

C

P

P

P

S

4

D

P

B

S

5

S

3

S

2

S

6

S

2

S

1

S

1

S

5

S

6

S

3

S

4

A

C

Przykład Określić przemieszczenie pionowe i kąt obrotu swobodnego końca belki

a) metodą Castigliano, b) metoda Mohra, c) sposobem Wereszczagina.

A. Metoda Castigliano.

Przykładamy siłę P

y

= 0

x

P

M

x

P

M

M

x

P

M

y

II

y

I

y

I























0

1

1

0

0

0

























M

M

M

M

Px

M

a

P

M

II

I

y

II









































a

h

y

II

II

y

I

I

y

Ay

dx

P

M

M

dx

P

M

M

EJ

P

V

f

0

0

1





 





 





















































2

2

1

1

0

2

0

0

0

0

0

ah

P

ah

M

a

M

EJ

dx

a

Px

M

a

P

dx

x

M

x

P

EJ

a

h

y

y

























































2

1

...

..........

1

1

2

0

0

0

0

0

h

P

h

a

M

EJ

EJ

dx

M

M

M

dx

M

M

M

EJ

a

h

II

II

I

I

A



B. Metoda Maxwella-Mohra

M

I

= - M

0

M

II

= - M

0

– Px

M’

I

= - x

M’

II

= - 1a= - a





































































2

2

1

)

)(

(

)

)(

(

1

1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

'

'

ah

P

ah

M

a

M

EJ

dx

a

Px

M

x

M

EJ

dx

M

M

dx

M

M

EJ

f

a

h

a

h

II

II

I

I

Ay

M’

I

= - 1

M’

II

= - 1







































































2

)

(

1

)

1

)(

(

)

1

)(

(

1

1

2

0

0

0

0

0

0

0

'

'

h

P

h

a

M

EJ

dx

Px

M

M

EJ

dx

M

M

dx

M

M

EJ

a

h

a

h

II

II

I

I

A



C.

Całkując wykreślnie

EJ

f

Ay

1



EJ

A

1





h

I

P

II

P

y

M

0

a

h

I

P

II

M

0

a

h

I

II

1

a

h

I

II

1

a

h

P

M

0

a

a

h

M

0

M

0

+Ph

h

P

M

0

a

h

1

a

h

1

a

a

1

Przykład Wykorzystując zasadę minimum energii Menabrea-Castigliano wyznaczyć reakcje.

1. Reakcje:

R

A

, R

B

, M

A

2. Warunki równowagi:

- R

A

+ ql - R

B

= 0

M

A

– R

A

l + ½ql

2

=0

3. Układ jest 1-krotnie statycznie niewyznaczalny

przyjmujemy M

A

jako reakcję hiperstatyczną

4. Moment gnący M

g

= - M

A

+ R

A

x -

½qx

2

(

funkcją tylko sił czynnych i hiperstatycznych)

2

2

2

2

x

q

x

l

q

l

x

M

M

M

l

q

l

M

R

A

A

g

A

A















5.

1

0

1

0























l

x

M

M

dx

M

M

M

EJ

M

V

A

g

A

g

l

g

A

2

0

2

8

1

0

1

2

2

ql

M

dx

l

x

x

q

x

l

q

l

x

M

M

A

l

A

A

















 























Z drug

iej strony pisząc M

g

= R

B

x -

½qx

2

, i przyjmując R

B

za reakcję hiperstatyczną mamy:

 

































l

B

l

B

B

g

l

g

B

B

g

dx

x

q

x

R

EJ

dx

x

x

q

x

R

EJ

dx

R

M

M

EJ

R

V

x

R

M

0

3

2

0

2

0

0

)

2

(

1

)

2

(

1

1

ql

R

l

q

l

R

B

B

8

3

0

8

3

4

3









Przykład Reakcje – metodą Maxwella-Mohra – całkowanie graficzne

dx

M

M

dx

M

M

a

a

a

'

2

3

2

2

'

1

2

0

1

0













dx

M

M

dx

M

M

y

a

a

a

"

2

3

2

2

"

1

2

0

1

0











A

1

= -

½·3Ra·3a x

1

= 2a



’

1

= 1



”

1

= -2a

A

2

= M·3a

x

2

= 1½a



’

2

= 1



”

2

= -

1½ a

A

3

= K·a

x

3

= 2½a



’

3

= 1



”

3

= -

2½

a

-9/2 Ra

2

+ 2Ma + Ka = 0

/ ·4

-9/2 Ra

2

(-2a)-3Ma3/2 a

– Ka5/2a = 0

/ ·2/a

- 18Ra

2

+ 12Ma + 4Ka = 0

18Ra

2

– 9Ma – 5Ka = 0

3Ma

– Ka = 0

-9/2Ra

2

- 3

⅓K + Ka = 0

M = ⅓K

R = 4/9 K/a

R

B

M

A

l

R

A

q

2a

2a

a

a

R

M

K

K

1

1

3a

′

″

K

M

3Ra

M

g

Równania kanoniczne metody sił.
Stosujemy je najczęściej dla układów wielokrotnie statycznie niewyznaczalnych.
Omówimy ją tu na przykładzie tzw. belki ciągłej.

Belka pierwotna

stan „0”

Belka wtórna

stan „1”

stan „2”

Dla określenia reakcji X

1

, X

2

, X

3

rozpatrujemy

ugięcia belki równoważnej



1

,



2

,



3

w punktach

działania sił X. Ugięcia te są funkcjami znanych

obciążeń (P

1

i P

2

)

i nie znanych sił X i muszą być

równe zero.

stan „3”

Rozdzielamy belkę równoważną na stany

składowe

„0” „1” „2” i „3”.

Przy jednoczesnym działaniu wszystkich obciążeń przemieszczenie np.



1

wyniesie:



1

=



11

X

1

+



12

X

2

+



13

X

3

+



10

= 0

otrzymamy więc układ równań:



11

X

1

+



12

X

2

+



13

X

3

+



10

= 0



21

X

1

+



22

X

2

+



23

X

3

+



20

= 0



31

X

1

+



32

X

2

+



33

X

3

+



30

= 0

jest to układ równań kanonicznych metody sił

Przemieszczenia jednostkowe (liczby wpływowe)



ij

( uogólnione przemieszczenie dla

uogólnionej siły X

i

wywołane przez jednostkową siłę X

j

=1),

w ogólnym przypadku wyznaczamy

ze wzoru:

ji

ij

i

j

i

j

z

gi

gj

ij

dx

GA

t

t

dx

EA

n

n

dx

EJ

m

m



































dx

GA

t

T

dx

EA

n

N

dx

EJ

m

M

i

i

z

gi

g

i

0

0

0

0





Najczęściej wyznaczamy je sposobem graficznym (Wereszczagina). Zwykle przy zginaniu

zachowujemy tylko pierwszy składnik tych wyrażeń (pomijamy N i T).

B

P

2

P

1

A

1

2

3

B

P

2

P

1

A

1

2

3

X

1

X

2

X

3



1



2



3

B

A



10



20



30

2

P

1

P

2

3

1

B

A

1

2

X

1



11



21



31

3

B

A

X

2



12



22



32

3

1

2

B

A

X

3



13



23



33

3

1

2

Przykład Rozwiązać poniższą ramę metodą sił.

Równanie kanoniczne



11

X

1

+



10

= 0

EJ

1

11





=

EJ

l

lll

l

l

EJ

3

7

2

3

2

2

1

1

3

2













EJ

1

10





=

EJ

ql

l

ql

EJ

3

4

)

3

4

(

1

3

3











 

Pole

3

3

2

0

3

2

0

2

3

4

6

8

6

2

ql

l

q

x

q

dx

x

q

l

l









ql

l

ql

X

7

4

3

7

3

4

3

4

11

10

1

















Reakcje

A

x

= 4/7 ql

A

y

= 2ql

M

u

= -B

x

l + 2ql

2

= 10/7 ql

2

q

B

x

A

y

M

u

A

x

l

2l

q

2l

l

X

1

q

2ql

2

„0”

l

2l

l

2l

l

X

1

=1

„1”

Przykład Rozwiązać belkę z podwieszeniem gibkim metodą sił.

statycznie wyznaczalny układ zastępczy

Równanie kanoniczne



11

X

1

+



10

= 0

Wyznaczanie współczynników
a) metoda Maxwella-Mohra

b

b

l

l

b

b

b

b

J

E

ql

dx

x

qx

qlx

J

E

dx

MM

J

E

4

0

2

10

24

5

)

2

)(

2

(

2

'

1



















p

p

b

b

p

p

l

b

b

p

p

l

b

b

F

E

l

J

E

l

F

E

l

dx

x

J

E

F

E

l

dx

MM

J

E



















6

)

2

(

2

'

1

2

11



b) metoda Wereszczagina

3

)

2

(

1

3

0

2

10

ql

dx

qx

qlx

F

J

E

y

F

l

b

b

c















l

l

l

l

M

l

x

y

l

ql

ql

F

xdx

qx

qlx

F

Mxdx

x

C

l

l

16

5

)

2

(

8

5

,

8

5

3

1

24

5

)

2

(

1

0

3

4

0

2

0

0























b

b

b

b

b

b

C

J

E

ql

l

ql

J

E

J

E

Fy

4

3

10

24

5

)

16

5

(

3

2

2

























p

p

b

b

C

p

p

b

b

C

F

E

l

J

E

l

l

y

l

F

F

E

l

J

E

y

F













6

3

4

2

3

11

1

2

1

1

1

11





p

p

b

b

b

b

F

E

l

J

E

l

J

E

ql

X









6

24

5

3

4

11

10

1





ql

X

F

E

to

F

gdy

p

p

p

4

5

0

1

1









0

1

0

1









X

F

E

to

F

gdy

p

p

p

q

B

A

E

b

J

b

E

p

F

p

C

D

2l

l

q

X

1

„1”

X

1

=1

X

1

=1

E

p

F

p

l

X

1

=1

l/2

q

„0”

x

0

=5/8l

ql

2

/2

F=ql

3

/3

Przykład Wyznaczyć reakcje metodą sił.

Układ równań kanonicznych



11

X

1

+



12

X

2

+



13

X

3

+



10

= 0



21

X

1

+



22

X

2

+



23

X

3

+



20

= 0



31

X

1

+



32

X

2

+



33

X

3

+



30

= 0

Liczby wpływowe:

2

2

30

2

2

2

32

23

33

3

2

20

2

2

2

31

13

3

3

2

22

3

2

10

3

2

21

12

3

3

11

2

1

1

2

1

2

3

1

1

2

1

3

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

3

4

3

2

2

1

6

1

3

1

2

1

2

1

2

3

5

3

2

2

1

2

Pa

Pa

a

a

a

a

Pa

a

Pa

a

a

a

a

a

a

a

Pa

a

Pa

a

a

a

a

a

a

aa

























































































po wstawieniu:

0

2

1

3

2

3

2

0

2

1

2

3

3

4

0

6

1

2

3

5

3

2

2

1

2

3

3

2

2

3

1

3

3

3

2

2

3

1

3





























Pa

aX

X

a

X

a

Pa

X

a

X

a

X

a

Pa

X

a

X

a

X

a

Rozwiązując w/w układ równań otrzymamy:

P

X

P

X

P

X

7

2

7

3

2

1

3

2

1







a

a

a

X

1

X

2

X

3

=

+

+

+

=

„0

”

P

P

P

X

3

=1

X

2

=1

„2

”

„3

”

Pa

a

+

X

1

=1

„1

”

a

a

1

układ

równoważny