dr Krzysztof Kisiel

Całka oznaczona

Definicja 1. Podział odcinka
Podziałem

P

odcinka

[a, b]

na

n

cz˛e´sci, gdzie

n ∈ N

, nazywamy zbiór odcin-

ków

[x

0

, x

1

], [x

1

, x

2

], ... [x

n−1

, x

n

],

takich, ˙ze

a = x

0

< x

1

< ... < x

n

= b

. Dla

1 ≤ k ≤ n

długo´s´c

k

-tego odcinka

[x

k−1

, x

k

]

podziału, tj. liczb˛e

x

k

− x

k−1

, oznaczamy przez

∆x

k

.

Najwi˛eksz ˛

a z liczb

∆x

k

nazywamy ´srednic ˛

a podziału i oznaczamy przez

δ(P )

.

Dla podziału

P

okre´slamy te˙z zbiór punktów po´srednich

Θ = {x

∗
1

, x

∗
2

, ..., x

∗
n

}

,

gdzie

x

∗
k

∈ [x

k−1

, x

k

]

dla

1 ≤ k ≤ n

.

Definicja 2. suma całkowa
Niech funkcja

f

b˛edzie ograniczona na przedziale

[a, b]

oraz niech

P

b˛edzie

podziałem tego przedziału, a

Θ

zbiorem punktów po´srednich. Sum ˛

a całkow ˛

a

funkcji

f

odpowiadaj ˛

ac ˛

a podziałowi

P

oraz punktom po´srednim

Θ

nazywamy

liczb˛e

σ = Σ

n
k=1

f (x

∗
k

)∆x

k

.

Definicja 3. całka oznaczona Riemanna
Niech funkcja

f

b˛edzie ograniczona na przedziale

[a, b]

. Całk ˛

a oznaczon ˛

a Rie-

manna z funkcji

f

na przedziale

[a, b]

oznaczamy symbolem

Z

b

a

f (x)dx

i definiujemy j ˛

a nast˛epuj ˛

aco:

Z

b

a

f (x)dx = lim

δ(P )→0

Σ

n
k=1

f (x

∗
k

)∆x

k

,

o ile powy˙zsza granica istnieje i nie zale˙zy od sposobu podziałów

P

przedzia-

łu

[a, b]

ani od sposobu wyboru punktów po´srednich

x

∗
k

, gdzie

1 ≤ k ≤ n

.

Ponadto przyjmujemy

Z

a

a

f (x)dx = 0

oraz

Z

b

a

f (x)dx = −

Z

a

b

f (x)dx dla a < b

Funkcj˛e, dla której istnieje całka oznaczona w sensie Riemanna na

[a, b]

, nazy-

wamy całkowaln ˛

a na

[a, b]

.

warunek wystarczaj ˛

acy całkowalno´sci funkcji

Twierdzenie 4. Je˙zeli funkcja

f

jest ograniczona na przedziale

[a, b]

i ma na

tym przedziale sko´nczon ˛

a liczb˛e punktów nieci ˛

agło´sci I rodzaju, to jest na tym

przedziale całkowalna.

Newtona - Leibniza, I główne twierdzenie rachunku całkowego

Twierdzenie 5. Je˙zeli funkcja

f

jest ci ˛

agła na przedziale

[a, b]

, to

Z

b

a

f (x)dx = F (b) − F (a),

gdzie

F

oznacza dowoln ˛

a funkcj˛e pierwotn ˛

a funkcji

f

na tym przedziale.

Uwaga 6. Zamist

F (b) − F (a)

b˛edziemy pisa´c

F (x) |

b
a

.

Twierdzenie 7. o całkowaniu przez podstawienie
Je˙zeli

1.

funkcja

g : [α, β] −→

na

[a, b]

ma ci ˛

agł ˛

a pochodn ˛

a na przedziale

[α, β]

,

2. g(α) = a

,

g(β) = b

,

3.

funkcja

f

jest ci ˛

agła na przedziale

[a, b]

.

Z

β

α

f (g(x))g

0

(x)dx =

Z

b

a

f (t)dt

Twierdzenie 8. o całkowaniu przez cz˛e´sci
Je˙zeli funkcje

f

i

g

maj ˛

a ci ˛

agłe pochodne (s ˛

a klasy

C

1

) na przedziale

[a, b]

,to

Z

b

a

f (x)g

0

(x)dx = [f (x)g(x)]

b
a

−

Z

b

a

f

0

(x)g(x)dx

Twierdzenie 9. o liniowo´sci całki oznaczonej
Niech funkcje

f

i

g

b˛ed ˛

a całkowalne na przedziale

[a, b]

oraz niech

α

,

beta ∈

R

. Wtedy

Z

b

a

αf (x) + βg(x)dx = α

Z

b

a

f (x)dx + β

Z

b

a

g(x)dx

Twierdzenie 10. addytywno´s´c całki wzgl˛edem przedziału całkowania
Je˙zeli funkcja

f

jest całkowalna na przedziale

[a, b]

oraz

c ∈ (a, b)

,to

Z

b

a

f (x)dx =

Z

c

a

f (x)dx +

Z

b

c

g(x)dx.

Twierdzenie 11. Niech

a > 0

. Je˙zeli funkcja

f

jest całkowalna na przedziale

symetrycznym

[−a, a]

oraz jest parzysta,to

Z

a

−a

f (x)dx = 2

Z

a

0

f (x)dx.

Twierdzenie 12. Niech

a > 0

. Je˙zeli funkcja

f

jest całkowalna na przedziale

symetrycznym

[−a, a]

oraz jest nieparzysta,to

Z

a

−a

f (x)dx = 0.

ZASTOSOWANIA W GEOMETRII

Twierdzenie 13. Nech funkcje

f

1

i

f

2

b˛ed ˛

a ci ˛

agłe na przedziale

[a, b]

oraz niech

f

1

(x) ≤ f

2

(x)

dla ka˙zdego

x ∈ [a, b]

. Wtedy pole trapeu krzywoliniowego

| D |

ograniczonego wykresami funkcji

f

1

,

f

2

oraz prostymi

x = a

,

x = b

wyra˙za si˛e wzorem:

| D |=

Z

b

a

[f

2

(x) − f

1

(x)]dx.

Twierdzenie 14. wzór na obj˛eto´s´c bryły
Niech funkcja

f

b˛edzie nieujemn ˛

a funkcj ˛

a ci ˛

agł ˛

a na przedziale

[a, b]

. Ponadto

niech

T

oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji

f

, pro-

stymi

x = a

,

x = b

oraz osi ˛

a OX. Wtedy obj˛eto´s´c bryły

V

powstałej z obrotu

trapezu

T

wokół osi OX wyra˙z si˛e wzorem

| V |= π

Z

b

a

f (x)

2

dx.

Twierdzenie 15. wzór na długo´s´c krzywej
Niech funkcja

f

ma ci ˛

agł ˛

a pochodn ˛

a na przedziale

[a, b]

. Wtedy długo´s´c krzy-

wej

Γ = {(x, f (x)) : x ∈ [a, b]}

wyra˙za si˛e wzorem:

| Γ |=

Z

b

a

p

1 + [f

0

(x)]

2

dx

Twierdzenie 16. wzór na długo´s´c krzywej
Niech funkcja

f

ma ci ˛

agł ˛

a pochodn ˛

a na przedziale

[a, b]

. Wtedy pole powierzch-

ni

Π

powstałej z obrotu wykresu funkcji

f

wokół osi OX wyra˙za si˛e wzorem

| Π |= 2π

Z

b

a

f (x)

p

1 + [f

0

(x)]

2

dx

ZASTOSOWANIA W FIZYCE

Uwaga 17. Niech punkt materialny porusza si˛e po płaszczy´znie lub w przestrze-
ni ze zmienn ˛

a pr˛edko´sci ˛

a

v(t) =| ¯

v(t) |

, gdzie

t ∈ [α, β]

. Wtedy droga przebyta

przez ten punkt w czasie od

α

do

β

wyra˙za si˛e wzorem

| L |= 2π

Z

β

α

v(t)dt

Uwaga 18. Załó˙zmy, ˙ze równolegle do osi OX działa zmienna siła

F (x)

. Praca

wykonana przez t˛e sił˛e od punktu

x = a

do punktu

x = b

wyra˙za si˛e wzorem

W =

Z

b

a

F (x)dx