Elektrotechnika

Obwody elektryczne prądu stałego

2

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

2

Elementy obwodu elektrycznego

Definicja: Obwód elektryczny tworz

ą

elementy elektryczne

poł

ą

czone w taki sposób, by istniała droga, po której mo

ż

ne płyn

ąć

pr

ą

d elektryczny.

Odwzorowaniem graficznym obwodu jest schemat elektryczny,

w którym podano sposób ł

ą

czenia elementów.

3

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Oznaczenia elementów obwodu elektrycznego

rezystor

R

1

, R

2

, …

cewka indukcyjna

L

1

, L

2

, …

kondensator

C

1

, C

2

, …

potencjometr, rezystor o nastawnej rezystancji

ź

ródło napi

ę

cia

ź

ródło napi

ę

cia – ogniwo lub akumulator

w

ę

zeł

4

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Oznaczenia elementów obwodu elektrycznego

4

generator, pr

ą

dnica elektryczna

ź

ródło pr

ą

dowe

uziemienie

masa urz

ą

dzenia

amperomierz

woltomierz

watomierz

5

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przykład prostego obwodu elektrycznego

5

Obwód nierozgał

ę

ziony - we wszystkich elementach obwodu płynie

ten sam pr

ą

d elektryczny.

6

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Podstawowe definicje – gałąź i węzeł

6

Gał

ąź

obwodu elektrycznego tworzona jest przez kilka poł

ą

czonych

szeregowo elementów tak,

ż

e na zewn

ą

trz wyprowadzone s

ą

dwie

ko

ń

cówki – przez wszystkie elementy płynie ten sam pr

ą

d.

W

ę

złem nazywamy punkt obwodu elektrycznego, w którym styka si

ę

kilka gał

ę

zi (przynajmniej dwie).

7

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Sposób podłączania mierników

7

Pomiar nat

ęż

enia pr

ą

du elektrycznego

Pomiar napi

ę

cia elektrycznego

Pomiar mocy

8

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Połączenie szeregowe i równoległe gałęzi

8

Poł

ą

czenie szeregowe rezystorów.

Poł

ą

czenie równoległe rezystorów.

9

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Podstawowe definicje – obwód rozgałęziony, oczko

9

Obwód składaj

ą

cy si

ę

z co najmniej trzech gał

ę

zi nazywamy obwodem

rozgał

ę

zionym.

Oczkiem obwodu elektrycznego nazywamy zbiór poł

ą

czonych ze sob

ą

gał

ę

zi,

tworz

ą

cych drog

ę

zamkni

ę

t

ą

dla przepływu pr

ą

du.

10

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Strzałkowanie prądów i napięć

10

Strzałkowanie pr

ą

dów:

Strzałkowanie napi

ęć

:

B

A

AB

V

V

U

−

=

11

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przykład strzałkowania obwodu elektrycznego

11

12

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Prawo Ohma (przypomnienie)

12

dla pr

ą

dów stałych,

R

I

U

R

U

I

⋅

=

=

,

R

i

u

R

u

i

⋅

=

=

,

dla pr

ą

dów zmiennych

[ ]

A

V

R

=

Ω

=

jednostka rezystancji.

13

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Obwody liniowe – zasada super pozycji

13

Rezystor spełniaj

ą

cy prawo Ohma nazywamy rezystorem liniowym.

Je

ś

li wszystkie elementy w obwodzie elektrycznym s

ą

liniowe, to obwód

nazywamy obwodem liniowym.

Obwody liniowe spełniaj

ą

zasad

ę

super pozycji.

14

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Obwody liniowe – zasada super pozycji

Elementy

ź

ródłowe (napi

ę

ciowe, pr

ą

dowe), to wymuszenia.

Rozkład pr

ą

dów pod wpływem wymusze

ń

nazywamy odpowiedzi

ą

.

Zasada superpozycji: odpowied

ź

obwodu elektrycznego na

jednoczesne działanie kilku wymusze

ń

jest równe sumie odpowiedzi

na ka

ż

de wymuszenie z osobna.

Mówimy,

ż

e obwód jest liniowy je

ś

li spełnia zasad

ę

superpozycji.

15

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Pierwsze prawo Kirchhoffa

15

Suma pr

ą

dów wpływaj

ą

cych do w

ę

zła jest równa sumie pr

ą

dów wypływaj

ą

cych

z w

ę

zła.

4

3

2

1

I

I

I

I

+

=

+

Suma algebraiczna pr

ą

dów wpływaj

ą

cych do w

ę

zła jest równa zeru.

∑

=

i

i

I

0

pr

ą

d wpływaj

ą

cy – znak +

pr

ą

d wypływaj

ą

cy – znak -

16

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Uogólnienie prawa Kirchhoffa

16

Suma pr

ą

dów wpływaj

ą

cych do wyodr

ę

bnionej cz

ęś

ci obwodu elektrycznego

jest równa sumie pr

ą

dów wypływaj

ą

cych z tego obwodu.

4

3

2

1

I

I

I

I

+

=

+

∑

=

i

i

I

0

17

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Drugie prawo Kirchhoffa – przykład gałęzi

17

(

) (

)

R

I

E

V

V

V

V

V

V

U

c

b

b

a

c

a

ac

⋅

+

−

=

−

+

−

=

−

=

Napi

ę

cie na gał

ę

zi jest równe sumie napi

ęć

na poszczególnych elementach.

18

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Drugie prawo Kirchhoffa – przykład oczka

18

(

) (

) (

) (

)

0

=

−

+

−

+

−

+

−

=

+

+

+

A

D

D

C

C

B

B

A

DA

CD

BC

AB

V

V

V

V

V

V

V

V

U

U

U

U

Suma algebraiczna spadków napi

ęć

na kolejnych gał

ę

ziach w oczku jest

równa zeru.

19

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Drugie prawo Kirchhoffa – przykład oczka

19

(

) (

) (

) (

)

0

4

4

4

3

3

3

2

2

1

1

1

=

−

−

+

−

+

+

+

−

























DA

CD

BC

AB

U

R

I

E

U

R

I

E

U

R

I

U

R

I

E

Suma algebraiczna spadków napi

ęć

na

poszczególnych elementach oczka jest
równa zeru.

0

=

∑

i

i

U

Znak + stoi przed napi

ę

ciem, które jest

zgodne z przyj

ę

tym obiegiem

(orientacj

ą

) oczka.

20

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Drugie prawo Kirchhoffa – przykład oczka

20

4

4

3

3

2

2

1

1

4

3

2

1

4

3

1

R

I

R

I

R

I

R

I

U

U

U

U

E

E

E

+

+

−

−

=

+

+

−

−

=

−

+

−

Suma algebraiczna spadków napi

ęć

ź

ródłowych jest równa sumie spadków

napi

ęć

na rezystancjach.

∑

∑

=

j

j

j

i

i

R

I

E

Znak +

je

ś

li napi

ę

cie

ź

ródłowe zgodne

z obiegiem oczka.

Znak +

je

ś

li napi

ę

cie na

rezystancji

przeciwne

do obiegu oczka.

21

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Zastosowanie praw Kirchhoffa do rozwiązywania obwodów

nierozgałęzionych

21

(

)

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

1

R

R

R

R

I

IR

IR

IR

IR

E

E

E

+

+

+

=

+

+

+

=

+

−

4

3

2

1

4

3

1

R

R

R

R

E

E

E

I

+

+

+

+

−

=

22

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Zastosowanie praw Kirchhoffa do rozwiązywania obwodów

nierozgałęzionych

22

4

3

2

1

4

3

1

R

R

R

R

E

E

E

I

+

+

+

+

−

=

Uogólnione prawo Ohma dla obwodów
nierozgał

ę

zionych:

Pr

ą

d płyn

ą

cy w obwodzie jest równy

ilorazowi sumy algebraicznej napi

ęć

ź

ródłowych przez sum

ę

rezystancji w

obwodzie.

23

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Zastosowanie praw Kirchhoffa do rozwiązywania obwodów

rozgałęzionych

23

Liczba gał

ę

zi g

-

nale

ż

y wyznaczy

ć

g

pr

ą

dów, zatem potrzeba

g równa

ń

.

Liczba w

ę

złów w -

wykorzystuj

ą

c pierwsze prawo Kirchhoffa mo

ż

na

sformułowa

ć

dokładnie w-1 niezale

ż

nych równa

ń

.

Pozostałe g-(w-1) równa

ń

znajdujemy z drugiego prawa Kirchhoffa.

24

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Zastosowanie praw Kirchhoffa do rozwiązywania obwodów

rozgałęzionych

24

Oczka niezale

ż

ne

Oczka zale

ż

ne

Zbiór oczek jest niezale

ż

ny, je

ś

li w ka

ż

dym oczku istnieje

chocia

ż

jedna gał

ąź

nienale

żą

ca do innego oczka.

25

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Zastosowanie praw Kirchhoffa - przykład

26

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Zastosowanie praw Kirchhoffa - przykład

26

6

4

1

A)

I

I

I

+

=

I prawo Kirchhoffa:

2

5

4

B)

I

I

I

=

+

5

6

3

C)

I

I

I

=

+

2

2

4

4

1

1

1

1)

R

I

R

I

R

I

E

+

+

=

II prawo Kirchhoffa:

5

5

3

3

2

2

3

2)

R

I

R

I

R

I

E

−

−

−

=

−

6

6

5

5

4

4

0

3)

R

I

R

I

R

I

+

+

−

=

27

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Zastosowanie praw Kirchhoffa - przykład

27

Zapis równa

ń

w postaci macierzowej:

0

3)

2)

1)

0

C)

0

B)

0

A)

6

6

5

5

4

4

3

5

5

3

3

2

2

1

4

4

2

2

1

1

6

5

3

5

4

2

6

4

1

=

+

+

−

−

=

−

−

−

=

+

+

=

+

−

=

+

+

−

=

−

−

R

I

R

I

R

I

E

R

I

R

I

R

I

E

R

I

R

I

R

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I















b

x

A









































−

=

















































































−

−

−

−

−

−

−

−

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

3)

2)

1)

C)

B)

A)

3

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

5

3

2

4

2

1

E

E

I

I

I

I

I

I

R

R

R

R

R

R

R

R

R

b

A

x

b

x

A

1

−

=

=

,

28

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Szeregowe połączenie oporników

28

(

)







z

R

R

R

R

R

I

R

I

R

I

R

I

R

I

U

U

U

U

U

N

N

N

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

...

...

...

3

2

1

3

2

1

3

2

1

Rezystancja zast

ę

pcza:

Konduktancja zast

ę

pcza:

∑

=

i

i

Z

R

R

∑

=

i

i

Z

G

G

1

1

29

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Równoległe połączenie oporników

29







z

R

R

R

R

R

U

R

U

R

U

R

U

R

U

I

I

I

I

I

R

I

R

I

R

I

R

I

U

N

N

N

N

N

1

1

...

1

1

1

...

...

...

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

3

2

2

1

1













+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

=

=

=

=

=

Rezystancja zast

ę

pcza:

Konduktancja zast

ę

pcza:

∑

=

i

i

Z

G

G

∑

=

i

i

Z

R

R

1

1

30

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Układy kilku oporników

30

Równoległe poł

ą

czenie dwóch oporników:

2

1

2

1

R

R

R

R

R

Z

+

=

Równoległe poł

ą

czenie trzech oporników:

1

3

3

2

2

1

2

2

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Z

+

+

=

31

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Układy kilku oporników

31

Poł

ą

czenie mieszane - przykład:

3

2

3

2

R

R

R

R

+

4

3

2

3

2

R

R

R

R

R

+

+

4

3

2

3

2

1

4

3

2

3

2

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Z

+

+

+













+

+

=

32

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

32

2

1

1

R

R

U

I

+

=

1

2

1

2

2

2

U

R

R

R

R

I

U

+

=

=

Dzielnik napi

ę

cia bez obci

ąż

enia:

33

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

33

0

2

0

2

1

1

R

R

R

R

R

U

I

+

+

=

(

)

1

0

2

0

2

1

0

2

1

0

2

0

2

1

0

2

0

2

0

2

0

2

2

U

R

R

R

R

R

R

R

U

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

I

U

+

+

=

+

+

+

=

+

=

Dzielnik napi

ę

cia z obci

ąż

eniem:

34

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

34

Zastosowanie dzielnika napi

ę

cia do poszerzenia zakresu woltomierza:

∞

→

V

R

Zakres woltomierza w układzie
z dzielnikiem:

2

2

1

max

max

ˆ

R

R

R

U

U

+

=

35

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

35

Zastosowanie potencjometru do pomiaru poło

ż

enia liniowego lub

k

ą

towego:

x – przesuni

ę

cie

ś

lizgacza

l – długo

ść ś

cie

ż

ki oporowej

36

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

36

Zastosowanie potencjometru do pomiaru poło

ż

enia liniowego lub

k

ą

towego (1):

β

=

=

R

l

x

R

R

2

( )

β

−

=

−

=

1

1

R

l

x

l

R

R

37

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

37

(

)(

)

1

2

1

U

R

R

R

R

R

R

R

U

o

o

o

β

β

β

β

+

+

−

=

Zastosowanie potencjometru do pomiaru
poło

ż

enia liniowego lub k

ą

towego (2).

licznik i mianownik
dzielimy przez

o

R

R

(

)

1

2

1

1

U

R

R

U

o

β

β

β

β

+













+

−

=

(

)

1

2

1

1

U

R

R

U

o

β

β

β

−

+

=

(

)

1

0

2

0

2

1

0

2

2

U

R

R

R

R

R

R

R

U

+

+

=

38

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

38

Zastosowanie potencjometru do pomiaru poło

ż

enia liniowego lub

k

ą

towego (3).

( )

o

R

R

U

U

β

β

−

+

β

=

1

1

1

2

∞

→

β

=

o

R

U

U

dla

1

2

39

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

39

Zastosowanie potencjometru do pomiaru poło

ż

enia liniowego lub

k

ą

towego (4).

Bł

ą

d wzgl

ę

dny liniowo

ś

ci czujnika













=

ε

o

R

R

(

)

(

)

(

)

ε

β

β

ε

β

β

ε

β

β

β

β

β

δ

−

+

−

=

−

+

−

=

−

=

1

1

1

1

1

2

1

2

U

U

W

Przy du

ż

ej warto

ś

ci rezystancji obci

ąż

enia

(

)

0

,

≈

<<

ε

o

R

R

(

)

ε

β

β

δ

2

1

−

=

W

40

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik napięcia

40

Zastosowanie potencjometru do pomiaru poło

ż

enia liniowego lub

k

ą

towego (5).

Maksimum bł

ę

du wyznaczamy z warunku ekstremum:

(

)

0

3

2

3

=

−

=

β

β

ε

β

δ

d

d

W

3

2

=

β

Wykres bł

ę

du wzgl

ę

dnego:

41

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik prądu

41

2

1

2

1

2

R

R

R

R

I

R

I

U

+

=

=

2

1

2

1

1

R

R

R

I

R

U

I

+

=

=

42

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dzielnik prądu

42

Zastosowanie

dzielnika

pr

ą

du: powi

ę

kszenie zakresu amperomierza.

max

I

- zakres amperomierza

I

R

R

R

I

b

A

b

A

+

=

max

max

ˆ

I

R

R

R

I

b

b

A

+

=

- zakres amperomierza z bocznikiem

43

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Źródło napięcia

Ź

ródło idealne

Ź

ródło nieidealne (rzeczywiste)

Charakterystyki

ź

ródeł napi

ę

cia

U

I

E

U

I

E

E

U

=

w

R

I

E

U

⋅

−

=

44

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Źródło napięcia

Charakterystyka

ź

ródła nieidealnego:

U

I

E

stan jałowy

E

U

I

=

=

,

0

w

R

E

I

U

=

=

,

0

stan zwarcia

45

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Źródło prądu

Ź

ródło idealne

Ź

ródło nieidealne (rzeczywiste)

Charakterystyki

ź

ródeł napi

ę

cia

U

I

źr

I

I

=

w

źr

R

U

I

I

−

=

źr

I

U

I

źr

I

46

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Źródło napięcia

Charakterystyka

ź

ródła nieidealnego

U

I

źr

I

stan jałowy

źr

I

I

U

=

=

,

0

w

źr

R

I

U

I

=

=

,

0

stan zwarcia

47

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Równoważna zamiana źródeł

w

źr

R

I

E

=

w

źr

R

E

I

=

48

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Szeregowe łączenie źródeł napięcia

3

2

1

E

E

E

E

+

+

=

3

2

1

w

w

w

w

R

R

R

R

+

+

=

∑

=

i

i

E

E

∑

=

i

i

w

w

R

R

49

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Równoległe połączenie źródeł prądowych

∑

=

+

+

=

i

i

źr

źr

źr

źr

źr

źr

I

I

I

I

I

I

3

2

1

∑

=

+

+

=

i

i

w

w

w

w

w

w

R

R

R

R

R

R

1

1

1

1

1

1

3

2

1

∑

=

+

+

=

i

i

w

w

w

w

w

w

G

G

G

G

G

G

3

2

1

50

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Równoległe połączenie źródeł napięciowych

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

⋅

=

=

i

i

w

i

i

w

i

i

i

w

i

i

w

i

i

i

w

i

i

źr

w

źr

G

G

E

R

R

E

R

I

R

I

E

1

1

1

∑

=

i

i

w

w

R

R

1

1

∑

=

i

i

w

w

G

G

51

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Szeregowe połączenie źródeł prądu

∑

∑

∑

∑

=

=

=

i

i

w

i

i

w

i

i

i

w

i

i

w

źr

R

R

I

R

E

R

E

I

∑

=

i

i

w

w

R

R

52

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przykład zastosowania

1

3

3

2

2

1

2

1

3

3

1

1

3

3

2

2

1

3

2

1

3

1

1

3

3

1

3

2

1

3

3

1

1

2

1

)

(

)

(

1

1

1

)

(

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

E

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

E

R

R

R

R

E

R

E

R

I

I

U

z

źr

źr

AB

+

+

+

=

+

+

⋅

+

=

+

+

+

=

+

=

z

R

Wyznaczy

ć

napi

ę

cie

AB

U

53

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda superpozycji

•

Znajdujemy odpowied

ź

obwodu na ka

ż

de z wymusze

ń

osobno, pomijaj

ą

c

inne wymuszenia

•

Sumujemy odpowiedzi na wszystkie wymuszenia w obwodzie

54

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda superpozycji - przykład zastosowania

Wyznaczy

ć

napi

ę

cie

AB

U

55

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda superpozycji - przykład zastosowania

Pierwszy przypadek

0

2

=

E

z

R

1

1

3

3

2

2

1

3

2

1

3

2

3

2

1

3

2

3

2

1

1

)

1

(

E

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

R

R

U

z

z

AB

+

+

=

+

+

+

=

+

=

56

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda superpozycji - przykład zastosowania

Drugi przypadek

0

1

=

E

3

1

3

3

2

2

1

2

1

)

2

(

E

R

R

R

R

R

R

R

R

U

AB

+

+

=

57

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda superpozycji - przykład zastosowania

Suma odpowiedzi

3

1

3

3

2

2

1

2

1

)

2

(

E

R

R

R

R

R

R

R

R

U

AB

+

+

=

1

1

3

3

2

2

1

3

2

)

1

(

E

R

R

R

R

R

R

R

R

U

AB

+

+

=

1

3

3

2

2

1

2

1

3

3

1

)

(

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

E

U

AB

+

+

+

=

58

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Twierdzenie Thevenina i Nortona

Twierdzenie Thevenina: Ka

ż

dy dwójnik zło

ż

ony ze

ź

ródeł napi

ę

ciowych,

pr

ą

dowych i rezystancji mo

ż

na zamieni

ć

na rzeczywiste (nieidealne)

ź

ródło

napi

ę

ciowe (szeregowe poł

ą

czenie idealnego

ź

ródła napi

ę

cia i rezystancji)

Dwójnik - dowolny fragment obwodu elektrycznego zako

ń

czony

dwoma zaciskami

Twierdzenie Nortona: Ka

ż

dy dwójnik zło

ż

ony ze

ź

ródeł napi

ę

ciowych,

pr

ą

dowych i rezystancji mo

ż

na zamieni

ć

na rzeczywiste (nieidealne)

ź

ródło

pr

ą

dowe (równoległe poł

ą

czenie idealnego

ź

ródła pr

ą

dowego i rezystancji)

59

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Twierdzenie Thevenina i Nortona

Zast

ę

pcze

ź

ródło pr

ą

dowe i

zast

ę

pcza rezystancja

Zast

ę

pcze

ź

ródło napi

ę

ciowe i

zast

ę

pcza rezystancja

60

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Twierdzenie Thevenina i Nortona

Napi

ę

cie E

z

zast

ę

pcze wyznaczamy w stanie

jałowym (przy odł

ą

czonym obci

ąż

eniu R)

Wyznaczamy pr

ą

d zwarcia I

z

przy zwartym

obci

ąż

eniu

Wyznaczamy rezystancj

ę

zast

ę

pcz

ą

obwodu

z

z

z

I

E

R

=

Rezystancj

ę

zast

ę

pcz

ą

dwójnika mo

ż

na równie

ż

wyznaczy

ć

pomijaj

ą

c (rozwieraj

ą

c) wszystkie

ź

ródła

pr

ą

dowe i pomijaj

ą

c (zwieraj

ą

c) wszystkie

ź

ródła

napi

ę

ciowe

z

I

z

E

61

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Twierdzenie Thevenina i Nortona

Stan jałowy

z

z

z

z

z

z

I

E

R

R

I

E

=

=

,

z

E

W stanie zwarcia wyznaczamy
pr

ą

d zast

ę

pczy I

z

z

I

62

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Twierdzenie Thevenina i Nortona

R

I

E

E

R

R

E

I

z

z

z

z

z

R

+

=

+

=

R

U

R

I

R

I

R

U

R

I

E

E

R

R

R

I

I

z

z

z

z

z

z

R

+

=

+

=

Wyznaczenie pr

ą

du w gał

ę

zi

63

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przykład zastosowania - mostek Wheatstone'a

Wyznaczy

ć

pr

ą

d płyn

ą

cy przez

rezystancj

ę

R

64

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przykład zastosowania - mostek Wheatstone'a

Stan jałowy

E

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

R

R

R

R

R

U

)

)(

(

4

3

2

1

4

1

3

2

4

3

4

2

1

2

cd

+

+

−

=













+

−

+

=

Rezystancja zast

ę

pcza (E = 0)

)

)(

(

)

(

)

(

4

3

2

1

2

1

4

3

4

3

2

1

4

3

4

3

2

1

2

1

cd

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

65

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przykład zastosowania - mostek Wheatstone'a

E

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

I

R

)

(

)

(

)

)(

(

2

1

4

3

4

3

2

1

4

3

2

1

4

1

3

2

cd

cd

+

+

+

+

+

+

−

=

+

=

Mówimy,

ż

e mostek jest w równowadze,

je

ś

li napi

ę

cie pomi

ę

dzy punktami c i d jest

równe zeru

3

2

4

1

cd

0

R

R

R

R

U

=

⇒

=

cd

U

66

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Ogólna zasada przekształceń obwodów elektrycznych

Rezystancje wypadkowe mierzone pomi

ę

dzy dowolnymi zaciskami s

ą

jednakowe

j

i

j

i

R

R

II

j

i

I

j

i

≠

∀

=

↔

↔

:

,

Napi

ę

cia zast

ę

pcze (jałowe) pomi

ę

dzy dowolnymi zaciskami s

ą

jednakowe

II

j

i

I

j

i

E

E

↔

↔

=

Pr

ą

dy zwarcia pomi

ę

dzy dowolnymi zaciskami s

ą

jednakowe

II

j

i

I

j

i

I

I

↔

↔

=

zw,

zw,

j

i

j

i

≠

∀

:

,

j

i

j

i

≠

∀

:

,

67

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przekształcenie gwiazda - trójkąt

trójk

ą

t

gwiazda

31

23

12

31

23

12

2

1

2

1

)

(

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

+

=

+

=

↔

31

23

12

12

31

23

3

2

3

2

)

(

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

+

=

+

=

↔

31

23

12

21

12

31

1

3

1

3

)

(

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

+

=

+

=

↔

68

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przekształcenie gwiazda - trójkąt

Po zsumowaniu stronami i podzieleniu obu stron równania przez 2 dostajemy

31

23

12

12

31

31

23

23

12

3

2

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

+

+

=

+

+

31

23

12

31

23

12

2

1

2

1

)

(

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

+

=

+

=

↔

Odejmuj

ą

c stronami równanie

dostajemy

31

23

12

23

31

3

R

R

R

R

R

R

+

+

=

69

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przekształcenie gwiazda - trójkąt

31

23

12

31

12

1

R

R

R

R

R

R

+

+

=

31

23

12

23

31

3

R

R

R

R

R

R

+

+

=

31

23

12

12

23

2

R

R

R

R

R

R

+

+

=

3

2

1

2

1

12

R

R

R

R

R

R

+

+

=

1

3

2

3

2

23

R

R

R

R

R

R

+

+

=

2

1

3

1

3

31

R

R

R

R

R

R

+

+

=

70

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przekształcenie gwiazda - trójkąt

31

23

12

31

12

1

R

R

R

R

R

R

+

+

=

3

2

1

2

1

12

R

R

R

R

R

R

+

+

=

3

3

t

ą

k

j

ó

r

t

t

ą

k

j

ó

r

t

2

t

ą

k

j

ó

r

t

gwiazda

R

R

R

R

=

=

gwiazda

t

ą

k

j

ó

r

t

3R

R

=

71

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przykład zastosowania

Ω

=

=

200

4

1

R

R

Ω

=

=

=

100

5

3

2

R

R

R

Ω

=

⋅

=

+

+

=

25

400

100

100

5

4

2

5

2

25

R

R

R

R

R

R

Ω

=

⋅

=

50

400

200

100

54

R

Ω

=

⋅

=

50

400

200

100

24

R

Ω

=

+

=

+

+

⋅

=

140

50

90

50

150

225

150

225

z

R

72

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przenoszenie źródeł napięciowych

73

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przenoszenie źródeł prądowych

74

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Przekształcenie gwiazda trójkąt

1

2

12

E

E

E

−

=

3

1

31

E

E

E

−

=

2

3

23

E

E

E

−

=

75

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Dopasowanie źródła do odbiornika

Wyznaczy

ć

warto

ść

rezystancji R

o

przy której moc dostarczana do odbiornika

jest najwi

ę

ksza. O takim odbiorniku mówimy,

ż

e jest dopasowany oporowo do

ź

ródła napi

ę

cia

o

w

R

R

E

I

+

=

2

2

2

2

0

)

(

)

(

o

w

o

o

o

w

o

R

R

R

E

R

R

R

E

R

I

I

U

R

P

+

=













+

=

=

⋅

=

2

2

2

)

(

)

(

2

)

(

o

w

o

w

o

o

w

o

R

R

R

R

R

R

R

E

dR

dP

+

+

−

+

=

R

R

R

R

R

R

R

o

o

w

o

o

w

=

⇒

=

+

−

+

0

)

(

2

)

(

2

76

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych

Prawa Kirchhoffa

0

3

2

1

=

+

+

I

I

I

2

2

1

1

2

1

R

I

R

I

E

E

−

=

−

3

3

2

2

3

2

R

I

R

I

E

E

−

=

−

Wyznaczaj

ą

c pr

ą

d I

2

z pierwszego równania i podstawiaj

ą

c otrzyman

ą

warto

ść

do drugiego i trzeciego równania otrzymujemy

2

3

2

1

1

2

3

1

1

1

2

1

)

(

)

(

R

I

R

R

I

R

I

I

R

I

E

E

+

+

=

+

+

=

−

)

(

)

(

3

2

3

2

1

3

3

2

3

1

3

2

R

R

I

R

I

R

I

R

I

I

E

E

+

−

−

=

−

+

−

=

−

77

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych

1. Wybieramy niezale

ż

ne oczka i

definiujemy w nich kierunki

2. Definiujemy pr

ą

dy oczkowe

zgodne z kierunkiem oczka

3. Wyznaczamy napi

ę

cia

oczkowe

Pr

ą

dy oczkowe

o

o

I

I

2

1

,

Napi

ę

cia oczkowe

2

1

1

E

E

E

o

−

=

3

2

2

E

E

E

o

−

=

78

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych







)

)(

(

)

(

)

(

12

2

2

3

1

2

1

1

1

2

3

2

1

1

1

2

1

o

o

o

o

o

R

R

I

I

R

R

R

I

I

R

I

R

R

I

E

E

E

−

−

+

+

=

+

+

=

−



















)

)(

(

)

(

)

(

22

3

2

2

3

21

2

1

1

3

3

2

3

1

1

3

2













o

o

o

o

o

R

R

R

I

I

R

R

I

I

R

I

R

I

I

E

E

E

+

−

+

−

=

−

+

−

=

−

79

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

R

I

R

I

E

R

I

R

I

E

22

2

21

1

2

12

2

11

1

1

+

=

+

=

3

2

22

2

1

11

R

R

R

R

R

R

o

o

+

=

+

=

Rezystancje własne oczek

Rezystancje wzajemne oczek

2

21

12

R

R

R

o

o

−

=

=

Rezystancje wzajemne przyjmuje si

ę

za dodatnie, je

ś

li pr

ą

dy oczkowe s

ą

zgodne i za ujemne je

ś

li pr

ą

dy oczkowe s

ą

przeciwne

80

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych - przykład

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

R

I

R

I

R

I

E

R

I

R

I

R

I

E

R

I

R

I

R

I

E

33

3

32

2

31

1

3

22

3

22

2

21

1

2

13

3

12

2

11

1

1

+

+

=

+

+

=

+

+

=





















−

=

0

3

1

E

E

o

E





















+

+

−

−

−

+

+

−

−

−

+

+

=

6

5

4

5

4

5

5

3

2

2

4

2

4

2

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

o

R

o

o

o

o

o

o

E

R

I

I

R

E

1

)

(

,

−

=

=

o

o

o

o

o

o

o

o

o

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

3

6

3

2

5

3

1

4

2

3

2

1

2

1

1

=

+

−

=

−

=

−

=

−

=

=

81

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda potencjałów węzłowych

3

3

4

4

5

5

2

2

2

1

1

1

R

I

V

V

R

I

R

I

E

V

R

I

R

I

E

V

B

A

B

A

=

−

=

−

=

=

−

=

)

(

)

(

)

(

2

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

1

B

B

B

A

A

A

A

V

E

G

I

V

G

I

V

V

G

I

V

G

I

V

E

G

R

V

E

I

−

=

=

−

=

=

−

=

−

=

82

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda potencjałów węzłowych

I prawo Kirchhoffa

4

5

3

3

2

1

I

I

I

I

I

I

=

+

+

=

)

(

)

(

)

(

2

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

1

B

B

B

A

A

A

A

V

E

G

I

V

G

I

V

V

G

I

V

G

I

V

E

G

R

V

E

I

−

=

=

−

=

=

−

=

−

=

B

B

B

A

B

A

A

A

V

G

V

E

G

V

V

G

V

V

G

V

G

V

E

G

4

2

5

3

3

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

=

−

+

−

−

+

=

−

B

A

B

B

A

V

G

G

G

V

G

V

E

G

V

G

V

G

G

G

E

G

)

(

)

)

(

5

4

3

3

2

5

3

3

2

1

1

1

+

+

+

−

=

−

=

−

+

+

=

83

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda potencjałów węzłowych

B

BB

A

BA

B

B

B

AB

A

AA

A

A

V

G

V

G

GE

I

V

G

V

G

GE

I

+

−

=

=

−

=

=

∑

∑

Wypadkowy
pr

ą

d

ź

ródłowy

zasilaj

ą

cy

w

ę

zeł (GE ma

znak dodatni,
je

ś

li E ma

kierunek do
w

ę

zła

Konduktancja
wzajemna równa
sumie konduktancji
wszystkich gał

ę

zi

ł

ą

cz

ą

cych w

ę

zły

bezpo

ś

rednio

Konduktancja w

ę

zła równa

sumie konduktancji
wszystkich gał

ę

zi

schodz

ą

cych si

ę

w w

ęź

le

84

Obwody elektryczne pr

ą

du stałego

Metoda potencjałów węzłowych - przykład

C

B

A

C

B

A

C

B

A

V

G

G

G

V

G

V

G

E

G

C

V

G

V

G

G

G

V

G

B

V

G

V

G

V

G

G

G

E

G

A

)

(

)

)

(

0

)

)

(

)

6

5

3

5

6

3

3

5

5

4

2

4

6

4

6

4

1

1

1

+

+

+

−

−

=

−

+

+

+

−

=

−

−

+

+

=





















=





















⋅





















+

+

−

−

+

+

−

−

−

+

+

3

3

1

1

6

5

3

5

6

5

5

4

2

4

6

4

6

4

1

0

)

)

)

E

G

E

G

V

V

V

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

C

B

A

C

B

A