Wykład 4. Wielomiany zespolone. Podstawowe
twierdzenie algebry.

4.1. Wielomiany zespolone

Definicja 4.1.1. Wielomianem zespolonym jed-
nej zmiennej stopnia n ∈

N

∪ {0} b ˛edziemy na-

zywa ´

c odwzorowanie W :

C

→

C

okre´slone

wzorem

W

(z) = b

n

z

n

+ b

n

−1

z

n

−1

+ . . . + b

1

z

+ b

0

,

gdzie b

k

∈

C

dla 0 ≤ k ≤ n i b

n

6= 0. Liczby b

n

nazywamy współczynnikami wielomianu.
Zbiór wielomianów zespolonych nazywamy pier-
´scieniem wielomianów zespolonych i oznaczamy
przez

C

[z].

Dygresja: Dla wielomianów zespolonych obo-
wi ˛

azuj ˛

a równie ˙z te własno´sci, które podano dla

wielomianów rzeczywistych (

wykład 1).

(przykłady wielomianów zespolonych)

4.2. Podstawowe twierdzenie algebry

Twierdzenie 4.2.1. Ka˙zdy wielomian z pier´scie-
nia

C

[z]

ma co najmniej jeden pierwiastek ze-

spolony.
(dowód mo˙zna znale´z ´

c w literaturze podanej

do wykładów)

Własno´s´

c 4.2.1. (O reprezentacji wielomianu

zespolonego przez iloczyn dwumianów)

1. Ka˙zdy wielomian zespolony stopnia n ∈

N

ma dokładnie n pierwiastków zespolonych
(razem z pierwiastkami wielokrotnymi).

2. Ka˙zdy wielomian zespolony stopnia n ∈

N

,

maj ˛

acy z

j

pierwiastków zespolonych o krot-

no´sciach k

j

(k

j

∈

N

dla 1 ≤ j ≤ m) oraz

k

1

+ k

2

+ . . . + k

m

= n

, mo˙zna przedstawi ´

c

w postaci

W

(z) = b

n

(z

− z

1

)

k

1

(z

− z

2

)

k

2

. . .

(z

− z

m

)

k

m

gdzie b

n

∈

C

jest współczynnikiem tego wie-

lomianu.

Własno´s´

c 4.2.2. Je˙zeli W jest wielomianem o

współczynnikach rzeczywistych to liczba zespo-
lona z

0

jest l-krotnym pierwiastkiem wielomianu

W

wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z

0

jest pier-

wiastkiem l-krotnym tego wielomianu.

Uzupełnienie wiadomo´sci o rozkładzie funkcji
wymiernej na ułamki proste.

Definicja 4.2.1. Zespolonym ułamkiem prostym
nazywamy nazywamy funkcj ˛e wymiern ˛

a zespo-

lon ˛

a o postaci

A

(z + a)

n

gdzie A, a, z ∈

C

, n ∈

N

.

Dygresja: Powy˙zsza definicja jest uzupełnieniem
własno´sci 1.2.1. (definicji 1.2.3.) podanej na
pierwszym wykładzie.

Twierdzenie 4.2.1. (uzupełnienie własno´sci 1.2.2.
o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Ka˙zda funkcja wymierna zespolona jest sum ˛

a

zespolon ˛

a ułamków prostych o postaci

W

1

(z)

b

n

(z

− z

1

)

k

1

(z

− z

2

)

k

2

. . .

(z

− z

m

)

k

m

gdzie k

1

+ k

2

+ . . . + k

m

jest sum ˛

a zespolo-

nych ułamków prostych, przy czym dowolnemu
czynnikowi (z − z

i

)

k

i

(1 ≤ i ≤ m) odpowiada

suma ułamków prostych o postaci

A

i

1

z

− z

i

+

A

i

2

(z

− z

i

)

2

+ . . . +

A

i k

i

(z

− z

i

)

k

i

dla A

i

1

, A

i

2

, . . . , A

i k

i

∈

C

.

Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.