1. Opisać proces modelowania i wskazać miejsce MES w tym procesie.
układ rzeczywisty = model obliczeniowy

jest to przyjęcie szeregu założeń upraszczających, które ułatwią bądź umożliwią opis matematyczny

2. Opisać założenia upraszczające przy tworzeniu modelu fizycznego.

Uproszczenia kształtu geometrycznego
•Założenie jednorodności materiału
•Zastępowanie parametrów rozłożonych skupionymi
•Pomijanie odkształcalności lub masy niektórych elementów
•Założenie liniowych charakterystyk właściwości fizycznych rozpatrywanego modelu
•Założenie niezmienności w czasie wielkości parametrów fizycznych układu rzeczywistego
•Pominiecie mało istotnych oddziaływań zewnętrznych między rozpatrywanym układem i otoczeniem (opór ośrodka)
•Pominięcie mało istotnych oddziaływań wewnętrznych miedzy poszczególnymi elementami rozpatrywanego układu
(opory tarcia)
•Zastąpienie procesów stochastycznych procesami zdeterminowanymi

3. Co to jest model dyskretny ?

Modele fizyczne składają się zwykle z elementów, których parametry rozłożone są w sposób ciągły. Równania
opisujące ruch takich modeli są cząstkowymi równaniami różniczkowymi. Rozwiązanie tych równań metodami
komputerowymi jest zwykle trudne, a często niemożliwe. Dlatego ciągły model fizyczny zastępuje się modelem, w
którym jego parametry mają charakter skupiony. Czynność taką nazywamy dyskretyzacją (modelowaniem
dyskretnym). Jedną z metod dyskretyzacji jest metoda elementów skończonych

4. Co to jest model matematyczny ?

Nazywamy równania opisujące ruch modelu dyskretnego. Równania ruchu modeli dyskretnych są zwyczajnymi
równaniami różniczkowymi, uzależniającymi sygnał wyjściowy (odpowiedź układu) od sygnału wejściowego
(wymuszenie działające na układ). Dla układów liniowych są to równania liniowe. Metody, w których funkcjami
niewiadomymi są siły, nazywamy metodami sił, natomiast metody, w których funkcjami niewiadomymi są
przemieszczenia – metodami przemieszczeń.

5. Definicja metody elementów skończonych (MES). (MES, ang. FEM, finite-element method)

– zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw.
dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i
przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału.

6. Co to jest „funkcja kształtu”?

tj. funkcja określająca wpływ przemieszczeń i-tego węzła na przemieszczenie w punkcie elementu o współrzędnych (x,
y),

7. Od czego zależy dokładność obliczeń w metodzie elementów skończonych?

Dokładność dyskretyzacji modelu fizycznego jest tym większa, im
• przyjęte funkcje kształtu dokładniej odwzorowują rzeczywiste wielkości fizyczne w elementach • więcej węzłów, a
tym samym elementów, wydzielimy w rozpatrywanym obszarze

8. Opisać kryteria zbieżności w MES i co to są elementy dostosowane i niedostosowane?

Przy zagęszczaniu podziału obszaru na elementy skończone otrzymane wartości przemieszczeń powinny zbliżać się do
rozwiązania dokładnego. Zbliżanie to osiągamy wtedy,
gdy funkcje kształtu zapewniają:

1.Ciągłość przemieszczeń wewnątrz elementów oraz ich zgodność na granicach elementów
2.Możliwość opisywania stałych przemieszczeń elementu, w przypadku ruchu jako ciała sztywnego
3.Możliwość opisania stanu stałych odkształceń (a tym samym naprężeń) wewnątrz elementu, występującego przy
odpowiednich przemieszczeniach węzłów

Elementy, w których funkcje kształtu spełniają warunek 1. nazywamy elementami zgodnymi (dostosowanymi),
natomiast elementy, w których spełnione są dodatkowo warunki 2. i 3. – nazywamy elementami zupełnymi. Elementy
zgodne zapewniają zbieżność od dołu.

9. Jak tworzymy wielomiany aproksymacyjne dla wielkości fizycznych w funkcji
wielkości węzłowych?

Najczęściej stosowanymi funkcjami aproksymacyjnymi (funkcjami kształtu) są wielomiany budowane na podstawie

•ciągów Pascala
•wielomianów Lagrange'a
•wielomianów Hermite'a
:
Podstawową zaletą wielomianów jest: łatwość przeprowadzania na nich operacji matematycznych takich jak
dodawanie, różniczkowanie itp. oraz z dostateczną dla celów praktycznych dokładnością można nimi aproksymować
złożone przebiegi zmian.

10. Opisać kilka sposobów klasyfikacji elementów skończonych.

a)wymiar elementu: 0D, jednowymiarowy (1D), dwuwymiarowy (2D), trójwymiarowy (3D),
b)kształt geometryczny: odcinkowe, trójkątne, czworokątne, czworościenne, sześcienne,
c)typ wielomianu funkcji kształtu: Lagrange’a, Hermite’a
d)stopień wielomianu funkcji aproksymacyjnych (tzw. funkcji kształtu): liniowe, kwadratowe, sześcienne
a)liczbę węzłów w elemencie: jedno-, dwu-, trój- ,…, węzłowe

b)więzy ogólne nałożone na element



11. Opisać podział elementów skończonych ze względu na więzy nałożone na element
skończony.

więzy ogólne nałożone na element:
•prętowe,

•belkowe,

•tarczowe,

•płytowe,

•powłokowe,

•powłoki osiowosymetryczne,

•bryłowe,

•bryły osiowosymetryczne,

12. Podać funkcję aproksymacyjną dla jednego z następujących elementów skończonych







LWE

i

i

e

u

Ni

u

1

)

(



LWE- liczba węzłów
Ni – funkcje kształtów

 - wspolrzedna lokalna

ui – wartości węzłowe funkcji u w elemencie

Ni,

 ,ui zazwyczaj nieznane, wiec chyba wystarczy podstawic do wzoru wartość LWE

13. Podać liczbę, rodzaj stopni swobody w węźle i gdzie mają zastosowanie (przykłady)

14. Co to są związki geometryczne w teorii sprężystości i jak są opisane w MES?

liniowe (zlinearyzowane) związki geometryczne są odpowiednie do opisu deformacji ciała w zakresie małych
przemieszczeń i małych odkształceń. Zależność między składowymi stanu odkształcenia i przemieszczeniami,
czyli sześć związków Cauchy’ego.
W MES opisane są za pomocą trzech składowych (w każdym punkcie elementu)

15. Co to są związki fizyczne w teorii sprężystości i jak są opisane w MES?

Suma efektow dzialania poszczególnych naprężeń głównych,
Jest to uogólnione prawo Hooke’a

W MES w postaci macierzowej

16. Opisać wektor odkształceń i naprężeń w płaskim stanie naprężenia.

17. Jakie wielkości wiąże ze sobą macierz sztywności elementu skończonego?

Analiza poszczególnych elementów. Z analizy na poziomie elementu uzyskuje się związek między oddziaływaniami
w węzłach a parametrami tych węzłów. W wyniku tego procesu tworzy się macierz zwaną macierzą sztywności
elementu skończonego, której składnikami są oddziaływania w więzach
od parametrów jednostkowych kolejnych więzów.

18. Na czym polega agregacja przy tworzeniu macierzy sztywności układu?

Etap ten polega na zszywaniu poszczególnych elementów w całość, z której zostały wydzielone.
Wykorzystuje się przy tym warunki zgodności i równowagi węzłów. W efekcie otrzymujemy układ równań

19. Opisać cechy globalnej macierzy sztywności układu?

Jest macierzą kwadratową. Jest symetryczna względem głównej przekątnej kij=kji;
Jest macierzą pasmową, Jest macierzą dodatnio określoną, stąd też wyrazy na głównej przekątnej są nieujemne kii> 0,
Należy do grupy macierzy tzw. ‘rzadkich’ (mało
wyrazów niezerowych)

20. Jak obliczamy szerokość półpasma macierzy sztywności układu?

21. Jak jest definiowany wektor odkształceń i naprężeń w elemencie płytowym?

Wektor odkształceń i naprężeń w plycie

Odkształcenia

}

]{

[

}

{

}

{

u

L

K

K

K

z

y

x

x









x



- wydłużenie jednostkowe osi obojętnej

x

K

- jednostkowy kat skrecenia

y

K

- jednostkowy kat ugjecia względem osi ye

z

K

- jednostkowy kat ugjecia względem osi ze

Naprężenia

}

{

}

{

z

y

x

x

M

M

M

F





x

F

=



x

A

x

M

=

r

Is



y

M

=



dz

z

2



=



dz

y

2



22. Jak jest definiowany wektor odkształceń i naprężeń w elemencie belkowym?

ODKSZTAŁCENIA
Zależność między odkształceniami {e}, a ugięciem płyty uz zgodnie z teorią cienkich płyt płaskich ma postać

 

























































































y

x

u

y

u

x

u

K

K

K

z

z

z

xy

y

x

2

2

2

2

2



NAPRĘŻENIA
Naprężenia odpowiadające zdefiniowanym wcześniej odkształceniom są w istocie
momentami zginającymi i skręcającymi na jednostkę długości

 























xy

y

x

M

M

M







y

x

u

v

D

M

x

u

v

y

u

D

M

y

u

v

x

u

D

M

z

xy

z

z

y

z

z

x





































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

z

M

23. W jaki sposób tworzymy macierz sztywności elementu powłokowego?

24. Podać postać podstawowego układu równań statyki w formie macierzowej?

[M][u"]+[C][u']+[K][u]=[F]
gdzie:

[M] = suma([m]) - macierz bezwładności układu elementów skończonych równa sumie macierzy bezwładności
poszczególnych elementów
[C] = suma([c]) - macierz tłumienia układu elementów skończonych równa sumie macierzy tłumienia poszczególnych
elementów
[K] = suma([k]) - macierz sztywności układu elementów skończonych równa sumie macierzy sztywności
poszczególnych elementów
[u"] - macierz kolumna przyspieszeń poszczególnych węzłów układu
[u'] - macierz kolumna prędkości poszczególnych węzłów układu
[u] - macierz kolumna przemieszczeń poszczególnych węzłów układu
[F] - macierz kolumna sił przyłożonych do ciała w węzłach układu elementów skończonych

25. W jaki sposób odbywa się transformacja przemieszczeń węzłowych, sił węzłowych i
macierzy sztywności z układu lokalnego do globalnego?

26. Opisać strukturę programów metody elementów skończonych.

27. Co otrzymujemy w wyniku analizy drgań własnych?

Ciało wytrącone z pozycji spoczynkowej ma tendencję do drgań przy pewnych częstotliwościach, zwanych
częstotliwościami drgań własnych lub rezonansowymi. Najniższa częstotliwość drgań własnych jest zwana
częstotliwością podstawową. Dla każdej częstotliwości drgań własnych, ciało przybiera pewien kształt zwany postacią
drgań (modem). Analiza częstotliwości oblicza częstotliwości drgań własnych i skojarzone z nimi postaci drgań
(mody). W teorii ciało posiada nieskończoną liczbę modów. W analizie elementów skończonych (FEA) teoretycznie
występuje tyle samo modów, ile stopni swobody (DOF). W większości przypadków, rozważanych jest tylko kilka
modów. Reakcja nadmierna występuje, jeżeli ciało zostanie poddane obciążeniu dynamicznemu działającemu z jedną z
jego częstotliwości drgań własnych. Zjawisko to jest nazywane rezonansem. Na przykład w samochodzie posiadającym
niewyważone koło występują silne drgania przy pewnej prędkości ze względu na rezonans. Wibracje te zmniejszają się
lub zanikają całkowicie przy innych prędkościach. Innym przykładem jest sytuacja, w której silny dźwięk, jak np. głos
operowy, może spowodować pękanie szkła. Analiza częstotliwości pomaga unikać zniszczeń wynikłych z nadmiernych
naprężeń spowodowanych rezonansem. Dostarcza ona również informacji potrzebnych do rozwiązania problemów
reakcji dynamicznej.

28. Co otrzymujemy w wyniku analizy stateczności sprężystej, wyboczenia?

Wyboczenie odnosi się do nagłego, dużego przemieszczenia spowodowanego obciążeniami osiowymi. Struktury
smukłe poddane obciążeniom osiowym mogą ulec zniszczeniu wywołanemu wyboczeniem przy poziomach obciążenia
niższych od obciążeń koniecznych do spowodowania zniszczenia materiału. Wyboczenie może zachodzić dla różnych
modów pod działaniem różnych poziomów obciążenia. W wielu przypadkach interesujące jest tylko najniższe
obciążenie wyboczające. Postac wyboczenia i wspolczynnik wyboczenia

29. Narysuj element tarczowy trójkątny wyższego rzędu, oznacz punkty węzłowe i opisz
stopnie swobody.

30. Płaski stan naprężenia (PSN), opisać które składowe odkształceń i naprężeń są
niezerowe.

31. Płaski stan odkształcenia (PSO), opisać które składowe odkształceń i naprężeń są
niezerowe

32. Zaznacz, które wyrazy ciągu Pascala należy przyjąć do definicji funkcji kształtu
elementu wskazanego przez wykładowcę.

33. Narysuj element tarczowy czworokątny niższego rzędu. Oznacz punkty węzłowe.
Opisz stopnie swobody.