Kolokwium I
rok 2011/2012
Zadanie 4:
Wyznaczyć równanie prostej stycznej i płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej
]
1
;
1
1
;
1
1
[
)
(
2
t
t
t
t
r
w punkcie odpowiadającym
1
0
t
.
Rozwiązanie:
1)
Wzory potrzebne nam do wyznaczenia równań:
Równanie prostej stycznej:
3
0
2
0
1
0
)
(
)
(
)
(
sT
t
z
z
sT
t
y
y
sT
t
x
x
; gdzie
R
s
Równanie płaszczyzny ściśle stycznej :
3
2
3
1
0
2
2
2
1
0
1
2
1
1
0
)
(
)
(
)
(
:
N
s
T
s
t
z
z
N
s
T
s
t
y
y
N
s
T
s
t
x
x
ss
gdzie
R
s
s
2
1
,
0
))
(
(
))
(
(
))
(
(
0
3
0
2
0
1
t
z
z
B
t
y
y
B
t
x
x
B
2) Wyznaczenie potrzebnych nam danych
a) Pochodne funkcji wektorowych
]
1
;
1
1
;
1
1
[
)
(
2
t
t
t
t
r
]
2
;
1
;
1
[
)
(
'
3
2
2
t
t
t
t
r
pochodna I rzędu z
)
(t
r
)
(
]
2
;
1
;
1
[
'
0
0
t
T
t
r
wektor styczny
]
6
;
2
;
2
[
)
(
''
4
3
3
t
t
t
t
r
pochodna II rzędu z
)
(t
r
]
6
;
2
;
2
[
)
(
''
0
t
r
b) Wyznaczenie wektora binormalnego w punkcie
0
t
]
0
;
2
;
2
[
]
2
2
;
6
4
;
4
6
[
6
2
2
2
1
1
)
(
''
)
(
'
)
(
0
0
0
k
j
i
t
r
t
r
t
B
c) Wyznaczenie wektora normalnego w punkcie
0
t
]
4
;
4
;
4
[
]
2
2
;
4
0
;
0
4
[
2
1
1
0
2
2
)
(
)
(
)
(
0
0
0
k
j
i
t
T
t
B
t
N
3) Wyznaczenie
równania prostej stycznej
Jeżeli
]
;
;
[
0
0
0
0
t
z
t
y
t
x
t
r
i
]
;
;
[
)
(
3
2
1
0
T
T
T
t
T
, to:
