Kolokwium I

rok 2011/2012

Zadanie 4:

Wyznaczyć równanie prostej stycznej i płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej

]

1

;

1

1

;

1

1

[

)

(

2

t

t

t

t

r







w punkcie odpowiadającym

1

0



t

.

Rozwiązanie:

1)

Wzory potrzebne nam do wyznaczenia równań:

Równanie prostej stycznej:























3

0

2

0

1

0

)

(

)

(

)

(

sT

t

z

z

sT

t

y

y

sT

t

x

x

; gdzie

R

s



Równanie płaszczyzny ściśle stycznej :































3

2

3

1

0

2

2

2

1

0

1

2

1

1

0

)

(

)

(

)

(

:

N

s

T

s

t

z

z

N

s

T

s

t

y

y

N

s

T

s

t

x

x

ss

gdzie

R

s

s



2

1

,

0

))

(

(

))

(

(

))

(

(

0

3

0

2

0

1













t

z

z

B

t

y

y

B

t

x

x

B

2) Wyznaczenie potrzebnych nam danych

a) Pochodne funkcji wektorowych

]

1

;

1

1

;

1

1

[

)

(

2

t

t

t

t

r







]

2

;

1

;

1

[

)

(

'

3

2

2

t

t

t

t

r







pochodna I rzędu z

)

(t

r

 

)

(

]

2

;

1

;

1

[

'

0

0

t

T

t

r









wektor styczny

]

6

;

2

;

2

[

)

(

''

4

3

3

t

t

t

t

r





pochodna II rzędu z

)

(t

r

]

6

;

2

;

2

[

)

(

''

0





t

r

b) Wyznaczenie wektora binormalnego w punkcie

0

t

]

0

;

2

;

2

[

]

2

2

;

6

4

;

4

6

[

6

2

2

2

1

1

)

(

''

)

(

'

)

(

0

0

0

























k

j

i

t

r

t

r

t

B

c) Wyznaczenie wektora normalnego w punkcie

0

t

]

4

;

4

;

4

[

]

2

2

;

4

0

;

0

4

[

2

1

1

0

2

2

)

(

)

(

)

(

0

0

0

























k

j

i

t

T

t

B

t

N

3) Wyznaczenie

równania prostej stycznej

Jeżeli

 

     

]

;

;

[

0

0

0

0

t

z

t

y

t

x

t

r



i

]

;

;

[

)

(

3

2

1

0

T

T

T

t

T



, to:























3

0

2

0

1

0

)

(

)

(

)

(

sT

t

z

z

sT

t

y

y

sT

t

x

x

; gdzie

R

s























s

z

s

y

s

x

2

1

2

równanie prostej stycznej do krzywej

 

t

r

4)

Wyznaczenie równania płaszczyzny ściśle stycznej

0

))

(

(

))

(

(

))

(

(

0

3

0

2

0

1













t

z

z

B

t

y

y

B

t

x

x

B

2

0

2

0

2

4

2

0

)

1

(

0

)

0

(

2

)

2

(

2































x

y

y

x

y

x

z

y

x

Inna możliwość zapisu:































3

2

3

1

0

2

2

2

1

0

1

2

1

1

0

)

(

)

(

)

(

:

N

s

T

s

t

z

z

N

s

T

s

t

y

y

N

s

T

s

t

x

x

ss

gdzie

R

s

s



2

1

,































2

1

2

1

2

1

4

2

1

4

0

4

2

:

s

s

z

s

s

y

s

s

x

ss

Odpowiedź:

Równanie prostej stycznej w punkcie

0

t

wynosi





















s

z

s

y

s

x

2

1

2

gdzie

R

s



, a płaszczyzny

ściśle stycznej































2

1

2

1

2

1

4

2

1

4

0

4

2

:

s

s

z

s

s

y

s

s

x

ss

gdzie

R

s

s



2

1

,

(alternatywny zapis

2







x

y

)

Autor: Anna B. grupa

2

21.10.2013