Kolokwium I

rok 2011/2012

Zadanie 5:

Wyznaczyć punkty krzywej L: r(t)=[2/t, lnt, -t

2

], w których prosta binormalna do tej krzywej jest

równoległa do płaszczyzny x-y+8z+2=0.

Rozwiązanie:

r(t)= [ 2/t, lnt, -t

2

], dziedzina : t>0

r’(t)= [-2/t

2

, 1/t, -2t]

r’’(t)= [4/t

3

, -1/t

2

, -2]

Liczymy wektor binormalny:

B(t)= i

j

k

= [ -2/t-2/t; -8/t

2

-4/t

2

; 2/t

4

-4/t

4

]= [-4/t; -12/t

2

; -2/t

4

]

-2/t

2

1/t -2t

4/t

3

1/t

2

-2

π: z-y+8z+2=0, więc wektor normalny płaszczyzny: n=[1,-1,8]

iloczyn skalarny wektora prostej i wektora normalnego musi być równy 0, aby prosta była równoległa do
płaszczyzny:


[-4/t; -12/t

2

; -2/t

4

] o [1,-1,8] = -4/t + 12/t

2

-16/t

4

= 0 / *t

4

-4t

3

+12t

2

-16=0 / :4

-t

3

+3t

2

-4=0

Używam schematu Hörnera do policzenia pierwiastków wielomianu:

-1 3 0 -4
-1 -1 4 -4 0

t

1

= -1

(t+1)(-t

2

+4t-4)=0

Δ=16-16=0

t

2

= 2

t

1

nie należy do dziedziny

podstawiamy t

2

do r(t)

r(2) = (1,ln2,-4)

Odpowiedź:

Punkt krzywej L, w którym prosta binormalna do tej krzywej jest równoległa do płaszczyzny ma

współrzędne (1,ln2,-4)

Autor: Magdalena Cichocka grupa 2

21.11.2013