Zadanie 4 [2p+6p]
a) Podać twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu potęgowego.
b) Dla szeregu potęgowego
n (2 x −
)
3 n
(
∑∞ − )1
n= 1
n + 4
wyznaczyć promień zbieżności, przedział zbieżności oraz zbadać zbieżność w prawym krańcu przedziału zbieżności.
Rozwiązanie:
n
a) Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda: Jeśli dla szeregu potęgowego
∑∞ a xn istnieje granica (skończona lub nieskończona):
n= 0
a
l i
m n a
n+
n
= λ lub
1
lim
= λ
n→ ∞
n→ ∞
an
to promień zbieżności tego szeregu wynosi:
1
gdy 0 < λ < + ∞
λ
R = 0
gdy λ = + ∞
+ ∞ gdy λ = 0
b)
n
∞
n
∞
n
n
∞
n
n
(− )
2
3
x
x
x
n (2
− )
3
(− 2 + )
3
(− )
2
( − 3/ )
2 ⋅ (− )
2
an =
x =
0
∑ (− )1
= ∑
⋅
=
( n + 4)
n
∑
2
n= 1
n + 4
n= 1
n + 4
(− )
2
n= 1
n + 4
(− )
2 n+1
an+ =
1
( n+ 1+ 4)
1* szukamy promienia zbieżności R
n+ 1
−
n
+
an+
n + +
⋅
n +
n
n
+
1
( ( )21 4)
2 2(
4) 1
8
2
2 0
λ = lim
= lim
= lim
⋅
=
=
n
n
=
n→ ∞
n→ ∞
a
(
n
− )
2
n→ ∞ 2 ( n + 1 + 4) lim
1
n→ ∞
1
4
( 1+ 0 + 0)
2
(
+
+
n + 4)
1
n
n
n
Zgodnie z twierdzeniem Cauchy'ego-Hadamarda dla λ > 0
1
1
R =
=
2* określamy przedział zbieżności λ
2
3 1 3 1
( x − R, x + R) = − , + =
0
0
( ,12)
2 2 2 2
3* badamy zbieżność w prawym krańcu przedziały zbieżności, czyli dla x=2
∑∞ (− )1 n
n
n
n
(2 x − )
3 n
∑∞ (−
=
)
1 (2⋅ 2− )3 n ∑∞ (−
=
)
1
)
1
( n
∑∞ (−
=
)
1
n= 1
n + 4
n= 1
n + 4
n= 1
n + 4
n= 1
n + 4
Stosujemy kryterium Leibniza dla szeregów naprzemiennych 1) czy
a
n >
0 ? tak, bo ( +4) będzie zawsze dodatnie n
1
an =
2) czy ciąg jest malejący? tak, bo mianownik stale rośnie, a licznik jest stały n + 4
1
3) czy l i
m a n =
0 ? tak, bo lim
= 0
n→ ∞
n→ ∞
∞
Wniosek: szereg jest zbieżny dla x=2
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi 1/2, przedział zbieżności to (1;2) oraz w prawym krańcu zbieżności szereg jest zbieżny.
Autor: Michał Z. Grupa 2
04.12.2013