Kolokwium I
rok 2011/2012
Zadanie 5: Wyznaczyć punkty krzywej L: r(t)=[2/t, lnt, -t2], w których prosta binormalna do tej krzywej jest równoległa do płaszczyzny x-y+8z+2=0.
Rozwiązanie:
r(t)= [ 2/t, lnt, -t2], dziedzina : t>0
r’(t)= [-2/t2, 1/t, -2t]
r’ (t)= [4/t3, -1/t2, -2]
Liczymy wektor binormalny:
B(t)= i
j
k
= [ -2/t-2/t; -8/t2-4/t2; 2/t4-4/t4]= [-4/t; -12/t2; -2/t4]
-2/t2 1/t -2t
4/t3 1/t2 -2
π: z-y+8z+2=0, więc wektor normalny płaszczyzny: n=[1,-1,8]
iloczyn skalarny wektora prostej i wektora normalnego musi być równy 0, aby prosta była równoległa do płaszczyzny:
[-4/t; -12/t2; -2/t4] o [1,-1,8] = -4/t + 12/t2 -16/t4 = 0 / *t4
-4t3+12t2-16=0 / :4
-t3+3t2-4=0
Używam schematu Hörnera do policzenia pierwiastków wielomianu:
-1 3 0 -4
-1 -1 4 -4 0
t1= -1
(t+1)(-t2+4t-4)=0
Δ=16-16=0
t2= 2
t1 nie należy do dziedziny
podstawiamy t2 do r(t)
r(2) = (1,ln2,-4)
Odpowiedź: Punkt krzywej L, w którym prosta binormalna do tej krzywej jest równoległa do płaszczyzny ma współrzędne (1,ln2,-4)
Autor: Magdalena Cichocka grupa 2
21.11.2013