Kolokwium I

rok 2011/2012

Zadanie 5: Wyznaczyć punkty krzywej L: r(t)=[2/t, lnt, -t2], w których prosta binormalna do tej krzywej jest równoległa do płaszczyzny x-y+8z+2=0.

Rozwiązanie:

r(t)= [ 2/t, lnt, -t2], dziedzina : t>0

r’(t)= [-2/t2, 1/t, -2t]

r’ (t)= [4/t3, -1/t2, -2]

Liczymy wektor binormalny:

B(t)= i

j

k

= [ -2/t-2/t; -8/t2-4/t2; 2/t4-4/t4]= [-4/t; -12/t2; -2/t4]

-2/t2 1/t -2t

4/t3 1/t2 -2

π: z-y+8z+2=0, więc wektor normalny płaszczyzny: n=[1,-1,8]

iloczyn skalarny wektora prostej i wektora normalnego musi być równy 0, aby prosta była równoległa do płaszczyzny:

[-4/t; -12/t2; -2/t4] o [1,-1,8] = -4/t + 12/t2 -16/t4 = 0 / *t4

-4t3+12t2-16=0 / :4

-t3+3t2-4=0

Używam schematu Hörnera do policzenia pierwiastków wielomianu:

-1 3 0 -4

-1 -1 4 -4 0

t1= -1

(t+1)(-t2+4t-4)=0

Δ=16-16=0

t2= 2

t1 nie należy do dziedziny

podstawiamy t2 do r(t)

r(2) = (1,ln2,-4)

Odpowiedź: Punkt krzywej L, w którym prosta binormalna do tej krzywej jest równoległa do płaszczyzny ma współrzędne (1,ln2,-4)

Autor: Magdalena Cichocka grupa 2

21.11.2013