Katedra Elektroniki PL - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Projektowanie filtrów FIR oraz IIR. Filtracja sygnałów, porównanie poszczególnych rodzajów filtrów.

Ćwiczenie 7 Projektowanie filtrów FIR oraz IIR. Filtracja sygnałów,
porównanie poszczególnych rodzajów filtrów.

Filtry cyfrowe są szeroko używane w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów. Możemy

wymienić kilka zastosowań takich jak: przetwarzanie sygnału mowy, przetwarzanie sygnałów
w telekomunikacji; przetwarzanie obrazów, sygnałów wideo itp. Jedną z klas filtrów
cyfrowych są liniowe układy niezmienne w czasie. Są one często używane ze względu na
prostą analizę, projektowanie oraz implementacje. Filtry cyfrowe mogą być zidentyfikowane
w dziedzinie czasu za pomocą odpowiedzi impulsowej h(n). Drugim alternatywnym
sposobem identyfikacji filtrów cyfrowych jest dziedzina częstotliwości, oraz odpowiedź
częstotliwościowa filtru H(w). Gdzie H(w) jest dyskretno czasową transformatą Fouriera
sygnału h(n). Filtry podzielić można na dwa główne typy: FIR (Finie-duration Impulse
Response) posiadające skończoną odpowiedź impulsową, oraz IIR (Infinite-duration Impulse
Response) posiadające nieskończoną odpowiedź impulsową. W filtrze FIR poszczególne
próbki odpowiedzi impulsowej są jednocześnie współczynnikami filtru. Filtru IIR i jego
współczynnki zawierają sygnał zwrotny i są opisywane za pomocą równań różnicowych.

Ogólnie mówiąc projektowanie filtrów polega na sprecyzowaniu odpowiedzi

częstotliwościowej filtru a następnie wyznaczenie struktury filtru spełniającej nasze
wymagania. Jednym z najważniejszych problemów jest zaprojektowanie filtru w wysokiej
selektywności częstotliwościowej, czyli posiadającego wąskie pasma przejściowe. Jednakże,
idealnie ostre krawędzie pasm filtru nie mogą być realizowane w praktyce. Dlatego
projektowanie odpowiada znalezieniu i implementacji filtru, którego rząd jest mały oraz
odpowiedź częstotliwościowa najlepiej aproksymuje specyficzne wymagania. W
projektowaniu filtrów cyfrowych typowo wyróżnić można następujące kroki:

• zmiana wymaganych ograniczeń na praktyczną specyfikację z wymaganą

odpowiedzią amplitudową i fazową, wybór typu filtru (FIR lub IIR), rząd filtru,
tolerancje błędów lub inne kryteria,

• aproksymacja wybranej specyfikacji poprzez implementacje filtru FIR lub IIR, która

najlepiej spełnia (aproksymuje) odpowiedź częstotliwościową filtru według
wybranego kryterium błędu,

• realizacja filtru za pomocą techniki cyfrowej najbardziej odpowiadającej określonej

aplikacji.

Krok pierwszy jest najbardziej zależny od zastosowania opisywanego szczegółowo przez
użytkownika. Krok drugi wykonywany jest za pomocą optymalizacji matematycznej i metod
aproksymacji. Krok trzeci zależy od technologii lub programu użytego do stworzenia filtrów.
Krok drugi jest obecnie implementowany zaawansowanymi metodami numerycznymi. W
większości przypadków (Matlab) programy posiadają interfejs graficzny pomocny w
prześledzeniu wielu alternatywnych specyfikacji.

Cechy charakterystyczne filtrów FIR

• odpowiedź impulsowa h(n) ma skończoną ilość wartości niezerowych. Ogólnie dla

filtru FIR długości N h(n) 0 tylko dla

≠

0

1

),

1

1

(

2

1

≥

−

+

=

≤

≤

jeżeżel

N

N

N

n

N

filtr

jest przyczynowy

• Odpowiedź częstotliwościowa filtru H(w) jest wielomianem skończonego rzędu o

postaci:

H(w)=

∑

−

2

1

)

)(

(

N

N

n

jw

e

n

h

1

Katedra Elektroniki PL - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Projektowanie filtrów FIR oraz IIR. Filtracja sygnałów, porównanie poszczególnych rodzajów filtrów.

Gdzie N1 oraz N2 są liczbami całkowitymi mówiącymi o pierwszej i ostatniej próbce
odpowiedzi impulsowej h(n). Wartość N odpowiedzi impulsowej jest jednym z
parametrów projektowych.

• Projektowanie filtrów FIR opiera się na znalezieniu wielomianu H(w) najlepiej

aproksymującego wymaganą specyfikację. Dokonywane jest to poprzez obliczanie
optymalnej pod pewnymi względami odpowiedzi impulsowej, która wyznacza
nieznane współczynniki wielomianu H(w). Odpowiedź impulsowa o długości N jest
zazwyczaj stała, lecz może być rozważana jako parametr podlegający optymalizacji.

• Transmitancja filtru H(z) będąca transformatą z odpowiedzi impulsowej h(n):

H(z) =

∑

=

−

=

=

2

1

)

(

)

(

N

N

n

z

z

e

jw

z

n

h

e

H

jw

Transmitancja ta nie posiada biegunów z wyjątkiem możliwości zero i
nieskończoności stąd też filtr taki jest zawsze stabilny

• Filtry FIR pozwalają na projektowanie przyczynowych liniowo-fazowych filtrów,

które są szeroko używane w praktyce np. w przetwarzaniu mowy oraz obrazów ze
względu na ich możliwość przenoszenia pewnego zakresu spektrum z minimalnymi
zniekształceniami,

• Filtry FIR nie posiadają pętli zwrotnych i są stosunkowo niewrażliwe na szum, który

może okazać się problemem ze względu na kwantyzację współczynników przy bardzo
długich filtrach. Problem ten jest eliminowany poprzez unikanie bezpośredniej
struktury filtru i używanie specjalnych struktur takich jak implementacja kaskadowa

• Filtry FIR z bardzo długą odpowiedzią impulsową (N=500) mogą wymagać

specjalnych zabiegów projektowych takich jak wysoka dokładność odwzorowania
współczynników, uzyskanie wąskich pasm przejściowych. Długie filtry są kłopotliwe
w projektowaniu oraz praktycznym zastosowaniu. Wymagają znacznego czasowego
nakładu obliczeń oraz dużej ilości obliczeń w jednostce czasu w danej implementacji.

• Wymienność pomiędzy poszczególnymi parametrami projektowymi filtru została

zdeterminowana empirycznie dla różnych typów FIR.

Cechy charakterystyczne filtrów IIR
• Odpowiedź impulsowa filtru ma nieskończoną ilość niezerowych próbek

• Odpowiedź częstotliwościowa filtru jest funkcją wymierną składającą się z dwu

wielomianów o skończonej długości

∑

∑

=

−

=

−

−

=

=

N

k

jwk

k

M

k

jwk

k

jwNo

e

a

e

b

e

w

A

w

B

w

H

0

0

)

(

)

(

)

(

gdzie N0 jest stałą. Rząd filtru IIR jest równy N, co jest jednocześnie stopniem
mianownika, zwykle M jest nie większe niż stopień mianownika. Liczba N determinuje
również liczbę wcześniejszych próbek wyjściowych, które muszą być składowane i
wprowadzane do sprzężenia zwrotnego w celu obliczenia aktualnej próbki. Dlatego tego
rodzaju filtry często są nazywane filtrami rekursywnymi (ze sprzężeniem zwrotnym).
Współczynniki

oraz

są nieznanymi a więc projektowymi parametrami przy

projektowaniu,

k

b

k

a

• Projektowanie filtrów IIR wymaga znalezienia wymiernej funkcji H(w) która w

najlepszy sposób aproksymuje projektowane parametry. W dziedzinie
częstotliwościowej dokonywane jest to poprzez obliczanie optymalnych pod pewnymi
kryteriami współczynników b oraz a. Rząd filtru N jest zwykle stały lecz może być
również rozważany jako parametr do projektowania.

2

Katedra Elektroniki PL - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Projektowanie filtrów FIR oraz IIR. Filtracja sygnałów, porównanie poszczególnych rodzajów filtrów.

• Transformata z filtru IIR przydatna jest to badania stabilności co oznacza że sygnał

wejściowy o ograniczonej wielkości musi dawać sygnał wyjściowy, który również
będzie posiadał ograniczoną wartość. Transmitancje filtru zapisać możemy
następująco:

H(z)=

∑

∑

=

−

=

−

−

=

=

N

k

k

k

M

k

k

k

N

jw

jw

z

a

z

b

z

z

e

e

H

0

0

0

)

(

Pierwiastki wielomianu mianownika są biegunami funkcji H(z). Kryterium stabilności
wymaga by bieguny leżały wewnątrz okręgu jednostkowego

⎣ ⎦

1

=

z

. Możliwe jest

zaprojektowanie filtru IIR, który będzie niestabilny. Kwantyzacja parametrów może
w niektórych przypadkach na stabilność oraz samą odpowiedź filtru, w szczególności
dla biegunów leżących bardzo blisko okręgu jednostkowego,

• Nie jest możliwe zaprojektowanie filtru IIR o liniowej fazie stąd filtry te zawsze mają

nieliniową odpowiedź fazową. Istnieją sposoby minimalizacji efektu nieliniowości
fazy oraz specjalne struktury minimalizujące ten efekt,

• Ponieważ odpowiedź impulsowa jest nieskończenie długa do realizacji filtrów nie

można używać splotu, lecz równać różnicowych.

• W porównaniu z filtrami FIR filtry IIF mogą osiągać wymagane parametry przy

relatywnie mniejszym rzędzie filtru. Pozwala to na mniejsze rejestry pamięci
potrzebne do wyliczania aktualnej próbki co zmniejsza skomplikowanie sprzętowej
realizacji.

• Filtry IIF mogą być projektowane z wykorzystaniem reguł stosowanych do

projektowania filtrów analogowych,

I Podstawowe metody projektowania filtrów FIR

1. Metoda okien
- wybieramy dla danego rodzaju filtru częstotliwości graniczne,
- wyznaczamy analitycznie odpowiedz impulsową filtru wykorzystując odwrotne
przekształcenie Fouriera
- wymnażamy nieskończoną odpowiedź impulsową z dyskretnym oknem czasowym
- sprawdzamy uzyskaną w ten sposób odpowiedź częstotliwościową filtru i ewentualnie
powtarzamy krok poprzedni.
2. Metoda optymalizacji średniokwadratowej polegająca na znajdowaniu wag filtru, którymi
są współczynniki odpowiedzi impulsowej w taki sposób by najlepiej aproksymować zadaną
charakterystykę średniokwadratowej.
3. Metoda aproksymacji Czebyszewa (algorytm Remiza)
Metoda ta polega na aproksymacji charakterystyki amplitudowej filtru za pomocą programów
komputerowych wykorzystujących najczęściej implementacje Parksa-McClellana algorytmu
Remiza. Polega to na aproksymowaniu charakterystyki za pomocą sumy kosinoid z
odpowiednimi funkcjami wagowymi.
4. Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości. Ustalamy punkty odpowiedzi
częstotliwościowej w zadanych częstotliwościach a następnie obliczanie odpowiedzi
impulsowej filtru wykonując dyskretną transformatę Fouriera.

II. Podstawowe metody projektowania filtrów IIR

1. Metoda transformaty Z
Polega na doborze zer i biegunów transmitancji filtrów poprzez przemieszczanie ich na
płaszczyźnie zmiennej z.

3

Katedra Elektroniki PL - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Projektowanie filtrów FIR oraz IIR. Filtracja sygnałów, porównanie poszczególnych rodzajów filtrów.

2. Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej
Mając zaprojektowany odpowiedni filtr analogowy, próbkujemy jego odpowiedź impulsową z
okresem T. Transmitancja naszych filtrów cyfrowych jest wtedy transformatą Z tej właśnie
odpowiedzi.
3. Metoda transformacji biliniowej
Polega na zaprojektowania analogowego prototypu filtra cyfrowego a następnie transformacji
dziedziny analogowej przekształcenia Laplace’a (s) na cyfrową dziedzinę przekształcenia Z
(z).

Dokładny opis metod projektowani filtrów FIR oraz IIR można znaleźć w szeroko dostępnej
literatury przedmiotu zarówno w języku polskim jak i w angielskim. Cennym źródłem
informacji jest również Internet. Projektowanie filtrów opisanymi powyżej metodami w
programie Matlab nie wymaga dokładnej znajomości zasad i metodologii projektowania lecz
tylko podstawowych właściwości filtrów różnych typów oraz rozróżniania poszczególnych
metod projektowych.

Wykonanie ćwiczenia

I. Narzędzie FDATOOL, projektowanie filtrów różnymi metodami

1. Filtry FIR

a) Zaprojektuj filtr FIR (Eliripple)

- dolnoprzepustowy rzędu 5,10,20,50,100,

częstotliwość próbkowania Fs=2000

częstotliwości charakterystyczne Pass=200, Stop=300

b) Zaprojektuj filtru FIR (Window- Rectangular,Blackman, Chebyshew, Hamming, Kaiser)

- dolnoprzepustowy rzędu 5,10,20,50,100,

częstotliwość próbkowania Fs=2000

częstotliwości charakterystyczne Pass=200, Stop=300

c) Zaprojektuj filtr FIR (Maximally flat)
- dolnoprzepustowy rzędu 5,10,20,50,100,

częstotliwość próbkowania Fs=2000

częstotliwości charakterystyczne Pass=200, Stop=300

2. Filtry IIR rzędu 5,10,20,50,100

a) Butterworth
b) Chebyshew I
c) Chebyshtew II
d) Eliptic

3. Dla filtrów FIR porównaj odpowiedzi impulsowe dla rzędu 20 oraz 21 (Equripple)

a) dolno-przepustowego Pass = 200, Stop = 300
b) środkowo-zaporowego 200,250 – 350,400
c) środkowo-przepustowego 200,250 – 350,400
d) górno-przepustowego Fstop = 200, Pass = 300

4. Porównaj minimalny rząd filtru projektując następujące filtry dolnoprzepustowe:

a) FIR (Equiripple) Fs = 2000, Pass = 200, Stop = 300, Apass = 1, Astop = 80
b) IIR Butterworth
c) IIR Chebyshew I
d) Chebyshtew II

4

Katedra Elektroniki PL - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Projektowanie filtrów FIR oraz IIR. Filtracja sygnałów, porównanie poszczególnych rodzajów filtrów.

e) Eliptic

5. Na podstawie przeprowadzonych symulacji dokonaj następującej analizy:

- które filtry spełniają warunek minimalnego rzędu dla danych parametrów pasmowych,
- jakie filtry mają najbardziej płaską charakterystykę amplitudową w paśmie przepustowym,
- jakie filtry mają najmniejsze zniekształcenia fazowe,
- jakie rozkład posiadają bieguny i zera dla poszczególnych rodzajów filtrów IIR,
- w jaki sposób różni się odpowiedź impulsowa górno, dolno, środkowo-przepustowego i
środkowo-zaporowego filtru FIR o parzystym i nieparzystym rzędzie,

6. Dla filtrów rzędu 5 porównaj realizację filtrów (Realize Model) FIR i IIR.

II Filtracja cyfrowa

7. Filtracja z wykorzystaniem filtrów FIR (program FIR.m)

Za pomocą funkcji fir2 projektowany jest filtr o charakterystyce częstotliwościowej podanej
przez F i M oraz rząd filtru n. F jest to definicja częstotliwości względnej (0 – 1) i musi być
zdefiniowana w sposób rosnący. W naszym przypadku została przyjęta częstotliwość
próbkowania na 2000 Hz stąd wynikają inne częstotliwości, tzn. częstotliwości względej od
zera do jedności odpowiada częstotliwość od zera do tysiąca Hz (1000 Hz – częstotliwość
Nyquista). Za pomocą funcji frez wykreślana jest charakterystyka częstotliwościowa danego
filtru, następnie generowany jest sygnał o ilości próbek od zera do k (wartość określana)
składający się z sinusoid o odpowiednio dobranych częstotliwościach (początkowo 500 i 40
Hz) z pasma przepustowego zaporowego. Sygnał jest wykreślany a następnie filtrowany za
pomocą funkcji filter wykorzystując współczynniki zaprojektowanego wcześniej filtru.

a) przeanalizuj filtrację sygnału dla rzędu filtru n = 3, 5, 10, 20, 50, 100 dla k = 150
b) przeanalizuj filtrację sygnału dla rzędu filtru n = 3, 5, 10, 20, 50, 100 dla k = 400

8. Filtracja z wykorzystaniem filtrów IIR (IIR.m)
Do projektowania wykorzystujemy następujące funkcje programu Matlab:
a)butter,
b)cheby1,
c)cheby2,
d)ellip,
projektujące filtry o zadanej charakterystyce i rzędze n.
Dla poszczególnych rodzajów prototypów przeanalizować filtracje dla n=3, 5, 10, 20, 50, 100
dla dwu wartości k = 150, 400.

5

Katedra Elektroniki PL - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Projektowanie filtrów FIR oraz IIR. Filtracja sygnałów, porównanie poszczególnych rodzajów filtrów.

Program IIR.M

n=3
%[b,a]=butter(n,[300/1000]);
%[b,a]=cheby1(n,3,[300/1000]);
%[b,a]=cheby2(n,3,[300/1000]);
[b,a]=ellip(n,3,70,[300/1000]);
freqz(b,a); pause;
fp=2000;df=1; dfn=df/fp; N = 200; ax1 = 1; ax2 = 1; fx1 = 40; fx2 = 500; fm = 32; NF =
1000;
dt = 1/fp ; t = 0 : dt : (N-1)*dt;
x1 = ax1 * cos(2*pi*fx1*t); x2 = ax2 * cos(2*pi*fx2*t);
x = x1 + x2;
plot(t,x); pause
y=filter(b,a,x); plot(t,y); pause;
close all;
%Widmo sygnału przed i po filtracji
%Widmo sygnału przed i po filtracji
f0 = 1/(N*dt); f2 = 0:f0:(N-1)*f0;
X1 = fft(x); X1=abs(X1)/k; X1=20*log10(X1);
plot(f2,X1,'-k','MarkerFaceColor','k'); grid; xlabel('f [Hz]');
axis tight; title ('Widmo sygnału przed filtracją'); pause;
Y1 = fft(y); Y1=abs(Y1)/k; Y1=20*log10(Y1);
plot(f2,Y1,'-k','MarkerFaceColor','k'); grid; xlabel('f [Hz]');
axis tight; title ('Widmo sygnału po filtracji'); pause; close all;

Program FIR.M

n=10;
F=[0,0.4,0.5,1];
M=[1,1,0,0];
plot(F,M); pause;
b=fir2(n,F,M);
stem(b);
pause
freqz(b,1);pause;
fp=2000; df=1; dfn=df/fp; N = 200; ax1 = 1; ax2 = 1; fx1 = 40; fx2 = 500; fm = 32; NF =
1000;
dt = 1/fp ; t = 0 : dt : (N-1)*dt;
x1 = ax1 * cos(2*pi*fx1*t); x2 = ax2 * cos(2*pi*fx2*t); x = x1 + x2; plot(t,x); pause
y=filter(b,1,x); plot(t,y); pause;
%Widmo sygnału przed i po filtracji
f0 = 1/(N*dt); f2 = 0:f0:(N-1)*f0;
X1 = fft(x); X1=abs(X1)/k; X1=20*log10(X1);
plot(f2,X1,'-k','MarkerFaceColor','k'); grid; xlabel('f [Hz]');
axis tight;
title ('Widmo sygnału przed filtracją'); pause;
Y1 = fft(y); Y1=abs(Y1)/k; Y1=20*log10(Y1);
plot(f2,Y1,'-k','MarkerFaceColor','k'); grid; xlabel('f [Hz]');
axis tight;
title ('Widmo sygnału po filtracji'); pause; close all;

6