Projektowanie filtrów cyfrowych
Projektowanie filtra cyfrowego przebiega w następujących etapach:
1. Określenie właściwości filtra (wymagań),
2. Aproksymacja zadanych właściwości,
3. Realizacja systemu.
4
.
0
=
p
ω
6
.
0
=
s
ω
]
[
6
dB
r
p
=
]
[
20
dB
r
s
=
Dodatkowym wymaganiem może być np. liniowa faza lub niski rząd filtra.
1
Projektowanie dyskretnych filtrów IIR na podstawie filtrów analogowych
Filtry analogowe
Filtr Butterwortha
Charakterystyka częstotliwościowa
|
)
(
|
Ω
j
H
filtra Butterwortha jest maksymalnie płaska w paśmie
przepustowym. Oznacza to, że dla filtra rzędu N pierwsze (2N-1) pochodnych funkcji
2
ma
wartość zero dla
0
=
Ω
. Charakterystyka amplitudowa jest monotoniczna w paśmie przepustowym i
zaporowym. Kwadrat charakterystyki amplitudowej definiuje się następująco:
|
)
(
|
Ω
j
H
N
c
c
j
j
j
H
2
2
)
/
(
1
1
|
)
(
|
Ω
Ω
+
=
Ω
2
Podstawiając
Ω
= j
s
N
c
c
c
c
j
s
s
H
s
H
j
H
2
2
)
/
(
1
1
)
(
)
(
|
)
(
|
Ω
+
=
−
=
Ω
Bieguny transmitancji spełniają
, skąd
0
)
/
(
1
2
=
Ω
+
N
c
j
s
(
,
)
2
(
π
ϕ
ϕ
k
j
j
Me
Me
C
+
=
=
1
,...
1
,
0
,
/
)
2
(
−
=
=
+
n
k
e
M
C
n
k
j
n
n
π
ϕ
)
1
2
,...
1
,
0
,
1
)
1
2
)(
2
/
(
2
−
=
Ω
=
Ω
−
=
−
+
N
k
e
j
s
N
k
N
j
c
c
N
k
π
(*)
Ponieważ (*) podaje bieguny iloczynu
)
(
)
(
s
H
s
H
c
c
−
do realizacji filtra wybiera się bieguny z lewej
półpłaszczyzny, co zapewnia stabilność filtra analogowego.
Przykłady:
7071
.
0
7071
.
0
2
,
1
j
s
±
−
=
)
7071
.
0
70711
.
0
)(
7071
.
0
7071
.
0
(
1
)
(
j
s
j
s
s
H
c
−
+
+
+
=
1
4142
.
1
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
H
c
3
1
,
866
.
0
5
.
0
2
3
,
1
=
±
−
=
s
j
s
1
2
2
1
)
(
2
3
+
+
+
=
s
s
s
s
H
c
8478
.
1
7654
.
0
4
,
1
j
s
±
−
=
7654
.
0
8478
.
1
3
,
2
j
s
±
−
=
16
2
4
=
=
Ω
=
N
c
w
16
905
.
20
6569
.
13
2263
.
5
16
)
(
2
3
4
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
H
c
4
Przykład
Obliczyć rząd N i pulsację
c
Ω
(pulsacja 3dB) analogowego filtra Butterwortha spełniającego następujące
wymagania: krawędź pasma przepustowego
s
rad
p
/
100
=
Ω
, krawędź pasma zaporowego
s
rad
s
/
160
=
Ω
,
maksymalne tłumienie w paśmie przepustowym
dB
r
p
1
=
, minimalne tłumienie w paśmie zaporowym
.
dB
r
s
30
=
5
Ze wzoru
N
c
c
j
j
j
H
2
2
)
/
(
1
1
|
)
(
|
Ω
Ω
+
=
Ω
otrzymujemy:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
Ω
Ω
+
−
=
Ω
Ω
+
]
[
)
/
(
1
1
]
[
)
/
(
1
1
2
2
dB
r
dB
r
s
N
c
s
p
N
c
p
(
)
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
Ω
Ω
+
−
=
Ω
Ω
+
−
−
s
N
c
s
p
N
c
p
r
r
2
/
1
2
10
2
/
1
2
10
)
/
(
1
log
20
)
/
(
1
log
20
(
)
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
Ω
Ω
+
=
Ω
Ω
+
10
/
)
/
(
1
log
10
/
)
/
(
1
log
2
10
2
10
s
N
c
s
p
N
c
p
r
r
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
Ω
Ω
−
=
Ω
Ω
1
10
)
/
(
1
10
)
/
(
10
/
2
10
/
2
s
p
r
N
c
s
r
N
c
p
Dzieląc stronami i logarytmując:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ω
Ω
1
10
1
10
log
log
10
/
10
/
10
2
10
s
p
r
r
N
s
p
otrzymujemy:
8.785
160
100
log
/
1
10
1
10
log
2
1
log
/
1
10
1
10
log
2
1
10
10
/
30
10
/
1
10
10
10
/
10
/
10
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ω
Ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
s
p
r
r
s
p
N
)
1
10
(
log
2
1
)
/
(
log
10
/
10
10
−
=
Ω
Ω
p
r
c
p
N
N
r
c
p
p
2
1
10
/
10
10
)
1
10
(
log
)
/
(
log
−
=
Ω
Ω
N
r
c
p
p
2
1
10
/
)
1
10
(
/
−
=
Ω
Ω
107.7957
)
1
10
(
100
)
1
10
(
9
2
1
10
/
1
2
1
10
/
=
−
=
−
Ω
=
Ω
⋅
N
r
p
c
p
Ponieważ rząd filtra musi być liczbą całkowitą N zostaje zaokrąglone w górę N=9.
6
Transformacja częstotliwości - filtry FGP, FBP, FBS
7
8
Filtry Czebyszewa
Kwadrat charakterystyki amplitudowej filtra Czebyszewa typu I definiuje się następująco:
)
/
(
1
1
|
)
(
|
2
2
2
c
N
c
j
j
V
j
H
Ω
Ω
+
=
Ω
ε
gdzie
jest wielomianem Czebyszewa rzędu N (
).
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
=
−
−
1
|
|
),
cosh
cosh(
1
|
|
),
cos
cos(
)
(
1
1
x
x
N
x
x
N
x
V
N
)
arccos(
cos
1
x
x
=
−
1
))
arccos(
0
cos(
)
(
0
=
=
x
x
V
,
x
x
x
V
=
=
))
(
cos(arccos
)
(
1
,
1
2
))
arccos(
2
cos(
)
(
2
2
−
=
=
x
x
x
V
Wielomiany Czebyszewa można wyznaczać rekurencyjnie:
1
),
(
)
(
2
)
(
1
1
≥
−
=
−
+
N
x
V
x
xV
x
V
N
N
N
Dla
, dla
rośnie monotonicznie.
1
|
|
≤
x
1
)
(
0
2
≤
≤
x
V
N
1
|
|
>
x
)
(x
V
N
1
)
1
(
=
N
V
;
dla N parzystego i
dla N nieparzystego.
1
)
0
(
±
=
N
V
0
)
0
(
=
N
V
9
Bieguny analogowego filtra Czebyszewa są położone na płaszczyźnie zespolonej S na elipsie.
Długość półosi małej wynosi
c
a
Ω
a półosi wielkiej
c
b
Ω
, przy czym:
)
(
2
1
/
1
/
1
N
N
a
−
−
=
α
α
,
2
1
1
−
−
+
+
=
ε
ε
α
,
)
(
2
1
/
1
/
1
N
N
b
−
+
=
α
α
.
Na okręgu o promieniu równym wielkiej półosi elipsy wyznacza się bieguny filtra Butterwortha o
tym samym rzędzie, co projektowany filtr Czebyszewa, a następnie przesuwa się je na obwód elipsy.
9037
.
0
1490
.
0
2
,
1
j
s
±
−
=
,
2980
.
0
3
−
=
s
9464
.
0
0850
.
0
2
,
1
j
s
±
−
=
,
3920
.
0
2052
.
0
4
,
3
j
s
±
−
=
10
Kwadrat charakterystyki amplitudowej filtra Czebyszewa typu II definiuje się następująco:
)
/
(
1
1
1
|
)
(
|
2
2
2
Ω
Ω
+
=
Ω
j
j
V
j
H
c
N
c
ε
W porównaniu z filtem typu I następuje odwrócenie członu
w mianowniku oraz
odwrócenie argumentu wielomianu Czebyszewa na
Ω
)
/
(
2
2
c
N
j
j
V
Ω
Ω
ε
Ω
j
j
.
c
/
Bieguny filtra typu II można wyznaczyć znając bieguny filtra typu I na podstawie zależności:
I
k
c
II
k
s
s
2
Ω
=
natomiast zera filtra typu II leżą na osi urojonej w punktach
.
0
)
/
(
=
Ω
Ω
c
N
V
11
0773
.
1
1777
.
0
2
,
1
j
s
±
−
=
,
3553
.
3
3
−
=
s
;
1547
.
1
2
,
1
j
z
±
=
8213
.
0
2860
.
0
2
,
1
j
s
±
−
=
,
3221
.
1
3
−
=
s
;
1547
.
1
2
,
1
j
z
±
=
12
13
Filtr eliptyczny
Charakterystyka amplitudowa filtra eliptycznego jest równomiernie falista w paśmie przepustowym
i zaporowym. Filtr opisują cztery parametry: N - rząd,
c
Ω
- krawędź pasma przepustowego oraz R
p
-
tłumienie w paśmie przepustowym i R
s
- tłumienie w paśmie zaporowym.
14
15
16
17
Transformacja biliniowa
Transformacja biliniowa jest przekształceniem algebraicznym odwzorowującym oś urojoną
płaszczyzny S w okrąg jednostkowy na płaszczyźnie Z. Ponieważ
Ω
j
∞
≤
Ω
≤
−∞
, a
π
ω
π
≤
≤
−
więc
przekształcenie to jest nieliniowe.
Transmitancję dyskretną H(z) uzyskuje się z transmitancji analogowej H
c
(s) przez podstawienie:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
1
1
1
1
2
z
z
T
s
d
(*), tzn.:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
1
1
1
1
2
)
(
z
z
T
H
z
H
d
c
Rozwiązując (*) względem z i podstawiając
Ω
+
=
j
s
σ
otrzymujemy:
s
T
s
T
z
d
d
)
2
/
(
1
)
2
/
(
1
−
+
=
2
/
2
/
1
2
/
2
/
1
d
d
d
d
T
j
T
T
j
T
Ω
−
−
Ω
+
+
=
σ
σ
Dla
0
<
σ
1
|
|
<
z
, a dla
0
>
σ
. Tak, więc jeżeli biegun transmitancji analogowej H
1
|
|
>
z
c
(s) leży w
lewej półpłaszczyźnie to moduł transmitancji H(z) leży wewnątrz okręgu jednostkowego. Stabilny
układ analogowy jest przekształcany w stabilny układ dyskretny.
Podstawiając do wyrażenia na z
Ω
= j
s
2
/
1
2
/
1
d
d
T
j
T
j
z
Ω
−
Ω
+
=
widzimy, że
1
|
|
=
z
dla całej osi
Ω
j
2
/
1
2
/
1
d
d
j
T
j
T
j
e
Ω
−
Ω
+
=
ω
.
18
Zależność pomiędzy a
Ω
ω
wyznacza się z definicji przekształcenia:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
Ω
−
−
ω
ω
j
j
d
e
e
T
j
1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
−
−
2
/
2
/
2
/
2
/
1
1
2
ω
ω
ω
ω
j
j
j
j
d
e
e
e
e
T
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
−
−
)
(
)
(
2
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
j
j
j
j
j
d
e
e
e
e
e
e
T
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
2
2
2
2
/
2
/
2
/
2
/
ω
ω
ω
ω
j
j
j
j
d
e
e
j
e
e
j
T
)
2
/
(
tan
2
)
2
/
cos(
)
2
/
sin(
2
ω
ω
ω
d
d
T
j
T
j
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
)
2
/
(
tan
2
ω
d
T
=
Ω
(*),
)
2
/
arctan(
2
d
T
Ω
=
ω
Ze względu na nieliniowość transformacji biliniowej projekt filtra analogowo powinien uwzględnić
(*) (tzn. filtr analogowy należy zaprojektować na
Ω
, a nie
ω
).
19
Przykład:
Zaprojektować dolnoprzepustowy, cyfrowy filtr eliptyczny spełniający następujące wymagania: częstotliwość
próbkowania F
p
=100 [Hz], krawędź pasma przepustowego f
1
=20 [Hz], krawędź pasma zaporowego f
2
=25 [Hz],
nieliniowość charakterystyki w paśmie przepustowym R
p
=0.1 [dB], nieliniowość charakterystyki w paśmie
zaporowym R
s
=60 [dB].
Projekt
1. Unormowanie częstotliwości filtra cyfrowego f
1
i f
2
podanych w [Hz] do pulsacji cyfrowej
ω
w [rad]:
2566
.
1
100
20
2
2
1
1
=
=
=
π
π
ω
p
F
f
,
5708
.
1
100
25
2
2
2
2
=
=
=
π
π
ω
p
F
f
2. Obliczenie krawędzi pasma
Ω
[rad/s] filtra analogowego uwzględniające nieliniowość transformacji
biliniowej:
3085
.
145
)
2
/
2566
.
1
(
tan
100
/
1
2
)
2
/
(
tan
2
1
1
=
=
=
Ω
ω
d
T
,
200
2
=
Ω
3. Określenie parametrów filtra analogowego na podstawie podanych wymagań odnośnie pasma oraz
wyznaczenie jego transmitancji
)
(s
H
w postaci zer i biegunów.
Dla zadanych wymagań rząd analogowego filtra eliptycznego wynosi N=7, rozkład jego zer i biegunów
przedstawia rysunek.
4. Transformacja biliniowa zer i biegunów filtra analogowego H(s) zgodnie ze wzorem
s
T
s
T
z
d
d
)
2
/
(
1
)
2
/
(
1
−
+
=
.
Otrzymujemy zera i bieguny filtra cyfrowego H(z).
20
filtr eliptyczny
Uwaga!
Transformacja biliniowa odwzorowuje całą oś
Ω
j
płaszczyzny S w okrąg jednostkowy na płaszczyźnie Z,
dlatego jeżeli filtr analogowy ma zera w
∞
=
Ω
j
to przechodzą one w zera
. Rozważany filtr ma jedno
zero w
1
−
, ponieważ stopień licznika jego transmitancji H(s) jest o jeden mniejszy od stopnia mianownika. (Dla
porównania dolnoprzepustowy filtr Butterwortha ma wielokrotne zero w
1
−
=
ω
j
e
1
−
).
filtr Butterwortha
21
5. Weryfikacja charakterystyk amplitudowych filtra cyfrowego
22
23
24
25
Implementacja
Matlaba
?
26
Metoda okien - filtry FIR - liniowa faza
W metodzie okien najpierw zadaje się wymaganą charakterystykę częstotliwościową filtra:
∑
∞
−∞
=
−
=
n
n
j
d
j
d
e
n
h
e
H
ω
ω
]
[
)
(
,
na podstawie której wyznacza się jego nieskończoną odpowiedź impulsową
ω
π
ω
π
π
ω
d
e
e
H
n
h
n
j
j
d
d
∫
−
=
)
(
2
1
]
[
,
a następnie mnoży się tę odpowiedź impulsową przez okno o skończonej długości (wycina się
fragment np. oknem prostokątnym):
]
[
]
[
]
[
n
w
n
h
n
h
d
=
,
.
⎩
⎨
⎧
>
≤
≤
=
M
n
M
n
n
w
|
|
,
0
0
,
1
]
[
Na podstawie twierdzenia o okienkowaniu
jest splotem widma filtra idealnego z widmem
okna:
)
(
ω
j
e
H
∫
−
Θ
−
Θ
Θ
=
π
π
ω
ω
π
d
e
W
e
H
e
H
j
j
d
j
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
.
27
Idealny filtr dolnoprzepustowy (nieprzyczynowy)
⎩
⎨
⎧
≤
<
<
=
π
ω
ω
ω
ω
ω
|
|
,
0
|
|
,
1
)
(
c
c
j
lp
e
H
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
≠
=
=
−
=
=
=
−
−
−
∫
0
,
0
,
)
sin(
)
sin(
)
(
2
1
]
[
2
1
2
1
]
[
n
n
n
n
n
n
e
e
jn
e
jn
d
e
n
h
c
c
c
n
j
n
j
n
j
n
j
lp
c
c
c
c
c
c
π
ω
π
ω
π
ω
π
π
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Idealny filtr dolnoprzepustowy (przyczynowy)
,
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
<
<
=
−
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
|
|
,
0
|
|
,
)
(
2
/
c
c
M
j
j
lp
e
e
H
(
)
)
2
/
(
)
2
/
(
sin
2
1
]
[
2
/
M
n
M
n
d
e
e
n
h
c
n
j
M
j
lp
c
c
−
−
=
=
∫
−
−
π
ω
ω
π
ω
ω
ω
ω
28
Można również wyznaczyć współczynniki filtra przez obliczenie odwrotnej dyskretnej transformaty
Fouriera (IDFT) zadanej charakterystyki częstotliwościowej.
close all, clear all
N
= 32;
%długość filtra FDP
Wn =
0.5;
%częstotliwość graniczna, 1 odpowiada fp/2
%1. zadana ch-ka częstotliwościowa
%1.1 od 0 do fp/2
Hf=zeros(1,round(N/2)); Hf(1:round(Wn*N/2))=1;
Hf=Hf.*exp(-j*(1:length(Hf))*pi); %liniowa
faza
%1.2 od fp/2 do fp - symetrie widma
Hf=[1 Hf 0 conj(fliplr(Hf))];
%2. Współczynniki filtra
%2.1 Przez DFT
ht=ifft(Hf); ht(1)=[];
%2.2 Dla porównania - analitycznie
n=1:(length(ht)-1)/2; B=sin(Wn*n*pi)./(pi*n); B=[fliplr(B) Wn B];
%3. Ch-ki częstotliwościowe filtrów
M=1024; %zmniejszenie kroku w osi częstotliwości
htz=zeros(1,M); htz(1:length(ht))=ht;
htb=zeros(1,M); htb(1:length(B)) =B;
H=fft(htz);
Hb=fft(htb);
f=2*(0:M-1)/(M-1); %unormowana os częstotliwości
%4. Wykresy
figure,
subplot(2,1,1)
stem(real(Hf)),
xlabel('k'), ylabel('Re[H(k)]')
subplot(2,1,2)
stem(imag(Hf)), axis([0 N -1 1])
xlabel('k'), ylabel('Im[H(k)]')
figure, hold on
stem(real(ht),'filled','r')
stem(B ,'b'),
xlabel('n'), ylabel('Re[h(n)]')
legend('obliczeniowo','analitycznie')
figure
subplot(2,1,1), hold on
plot(f,abs(H), 'r:'),
plot(f,abs(Hb),'b')
xlabel('f unormowana'), ylabel('|H[e^j^\omega]|')
legend('obliczeniowo','analitycznie')
subplot(2,1,2), hold on
plot(f,unwrap(angle(H)),'r:'),
plot(f,unwrap(angle(Hb)),'b'),
xlabel('f unormowana'), ylabel('faza')
legend('obliczeniowo','analitycznie')
figure , hold on
plot(f,20*log10(abs(H)), 'r:'),
plot(f,20*log10(abs(Hb)),'b'),
xlabel('f unormowana'), ylabel('|H[e^j^\omega]| [dB]')
legend('obliczeniowo','analitycznie')
axis([0 1 -40 5])
29
Zadana charakterystyka częstotliwościowa filtra
Uzyskana charakterystyka częstotliwościowa
filtra
Współczynniki filtra
30
31
Filtr FIR z oknem prostokątnym - największa stromość w paśmie przejściowym i najmniejsze
tłumienie pierwszego listka bocznego.
32
Zwiększenie długości okna M powoduje zmniejszenie szerokości listka głównego nie wpływa
jednak na położenie (tłumienie) pierwszego listka bocznego.
33
34
35
Okno Kaisera - okno parametryczne
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
0
0
,
]
[
)
(
]
/
)
[(
1
0
2
/
1
2
0
M
n
n
w
I
n
I
β
α
α
β
,
2
/
M
=
α
,
)
(
0
⋅
I
- zmodyfikowana funkcja Bessela zerowego rzędu pierwszego rodzaju.
Okno Kaisera ma dwa parametry:
- długość (liczba niezerowych współczynników),
- parametr kształtu .
β
Wzrost
β
powoduje obniżanie pierwszego listka bocznego (i niestety zwiększanie szerokości listka
głównego - tj. pasma przejściowego). Natomiast wzrost M powoduje zawężanie listka głównego i
nie wpływa na położenie pierwszego listka bocznego.
Na podstawie doświadczeń numerycznych Kaiser określił wymagania odnośnie M i
β
pozwalające
spełnić zadane wymagania charakterystyki amplitudowej filtra FIR (tj.
ω
∆
,
δ
).
36
p
s
ω
ω
ω
−
=
∆
δ
10
log
20
−
=
A
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≤
≤
−
+
−
>
−
=
50
,
0
50
21
),
21
(
07886
.
0
)
21
(
5842
.
0
50
),
7
.
8
(
1102
.
0
4
.
0
A
A
A
A
A
A
β
ω
∆
−
=
285
.
2
8
A
M
z dokładnością do
2
±
37
38
39
Przykład:
Dobrać parametry okna Kaisera dla FDP: krawędź pasma przepustowego
π
ω
4
.
0
=
p
, krawędź
pasma zaporowego
π
ω
6
.
0
=
s
, maksymalna nieliniowość w paśmie przepustowym
dB
r
p
1
.
0
=
,
minimalne tłumienie w paśmie zaporowym
dB
r
s
60
=
.
1. Obliczenie
δ
dla obu pasm:
pasmo przepustowe
(
)
0.0057
2
/
10
1
20
/
=
−
=
−
p
r
p
δ
pasmo
zaporowe
0.001
10
20
/
=
=
−
s
r
s
δ
Ponieważ dla FIR projektowanego metodą okien
s
p
δ
δ
=
wiec wybiera się wymaganie ostrzejsze:
001
.
0
}
,
min{
=
=
s
p
δ
δ
δ
2. Korzystając ze wzorów projektowych wyznacza się
5.6533
=
β
i
37
=
M
, a następnie okno o
tych parametrach.
3. Odpowiedź impulsową FIR wylicza się dla
2
s
p
ω
ω
ω
+
=
.
4. Weryfikacja otrzymanych charakterystyk filtra i ewentualna ich korekcja (przez zmianę
parametrów okna).
40
Po korekcji parametrów
41
Filtry FGP, FPP, FPS
42
Optymalny filtr FIR - algorytm Parksa-McClellana
Przy projektowaniu FIR metodą okien, okno prostokątne jest najlepszą średniokwadratową
aproksymacją zadanej charakterystyki częstotliwościowej dla danego rzędu M, tzn. minimalizuje
wyrażenie:
∫
−
−
=
π
π
ω
ω
ω
π
ε
d
e
H
e
H
j
j
d
2
2
)
(
)
(
2
1
Niestety powyższe kryterium nie uwzględnia
oscylacji w punktach nieciągłości (efekt
Gibbsa) i uniemożliwia osobne traktowanie
pasma przepustowego i zaporowego. Dlatego
stosuje się optymalizację
min-max
(minimalizację błędów maksymalnych) oraz
ważone częstotliwościowo kryteria błędów.
W algorytmie Parksa-McClellana rząd filtra
krawędzie pasma
p
ω
i
s
ω
oraz stosunek
2
1
/
δ
δ
są stałe natomiast
1
δ
(lub
2
δ
) jest
zmienne.
43
44
45
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa
Wykład 3 projektowanie filtrów cyfrowych
Wykład 5 1 projektowanie filtrów cyfrowych
projektowanie filtrów cyfrowych butterwortha i czebyszewa
projektowanie filtrów cyfrowych metoda okien
lab 07 projektowanie filtrow II
Projektowanie filtrów typu IIR
lab 06 Projektowanie filtrow
Projektowanie filtrow FIR id 40 Nieznany
Projektowanie filtrów FIR oraz IIR1
Projektowanie filtrów typu IIR
09 Projektowanie filtrow aktywnych
,Analogowe i cyfrowe układy elektroniczne I L, Projekt filtru cyfrowego NOI (realizacja schemat bl
Stare projekty, P BRAMKI, Pawe˙ Dobro˙ gr. 3P23
Projekt lotu cyfrowe 2014
,Analogowe i cyfrowe układy elektroniczne I L, Projekt filtru cyfrowego NOI Metoda przekształcenia
więcej podobnych podstron