projektowanie filtrów cyfrowych butterwortha i czebyszewa

background image

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i
Czebyszewa

mgr in

ż

. Grzegorz Kraszewski

Klasyczne filtry Butterwortha i Czebyszewa s

ą

to b

ą

d

ź

bierne obwody LC b

ą

d

ź

układy aktywne z

ujemnym sprz

ęż

eniem zwrotnym zbudowane na wzmacniaczach operacyjnych. Cyfrowym

odpowiednikiem takich filtrów s

ą

filtry równie

ż

z ujemnym sprz

ęż

eniem zwrotnym, zwane filtrami

rekurencyjnymi, b

ą

d

ź

te

ż

filtrami z niesko

ń

czon

ą

odpowiedzi

ą

impulsow

ą

(ang. IIR - Infinite Impulse

Response).

Najcz

ę

stszym sposobem formułowania problemu zaprojektowania filtru jest podanie jego

cz

ę

stotliwo

ś

ci granicznej, przy której wzmocnienie spada o 3 dB (71% w skali liniowej), oraz rz

ę

du

filtru. Jest to jednak sformułowanie nieprecyzyjne, bo nic nie mówi o tłumieniu w pa

ś

mie zaporowym i

zakłada z góry rz

ą

d filtru. Znacznie bardziej precyzyjnym i lepiej dostosowanym do potrzeb

praktycznych jest okre

ś

lenie charakterystyki filtru przez podanie dwóch punktów: ko

ń

ca pasma

przepustowego (punkt P) i pocz

ą

tku pasma zaporowego (punkt R). Punkty te znajduj

ą

si

ę

na

charakterystyce amplitudowej filtru (wzmocnienie w funkcji cz

ę

stotliwo

ś

ci) i wyznaczaj

ą

pole, w którym

mie

ś

ci

ć

si

ę

musi charakterystyka projektowanego filtru. Na rysunku obok obie charakterystyki, zielona

i niebieska spełniaj

ą

zało

ż

one wymagania, poniewa

ż

nie przebiegaj

ą

przez zakreskowane obszary

zabronione wyznaczone punktami P i R. Warto zauwa

ż

y

ć

,

ż

e o ile charakterystyka zawsze przechodzi

przez punkt P, o tyle nie musi przechodzi

ć

przez punkt R, mo

ż

e przechodzi

ć

pod nim, wtedy mo

ż

emy

powiedzie

ć

,

ż

e filtr z zapasem spełnia wymagania projektowe. Z poło

ż

enia punktów P i R wynika rz

ą

d

filtru. Oczywi

ś

cie im bardziej stromo musi opada

ć

charakterystyka amplitudowa mi

ę

dzy punktami P i

R, tym rz

ą

d filtru b

ę

dzie wi

ę

kszy.

Tak wi

ę

c danymi pocz

ą

tkowymi do obliczenia filtru s

ą

:

Cz

ę

stotliwo

ść

ko

ń

ca pasma przepustowego (f ),

Najwi

ę

ksze dopuszczalne tłumienie w pa

ś

mie przepustowym (A ), dla filtru Czebyszewa ten

parametr okre

ś

la jednocze

ś

nie dopuszczalne zafalowanie charakterystyki amplitudowej w

pa

ś

mie przepustowym,

Cz

ę

stotliwo

ść

pocz

ą

tku pasma zaporowego (f ),

Wymagane minimalne tłumienie w pa

ś

mie zaporowym (A ).

W celu praktycznego pokazania omawianego sposobu projektowania filtrów, podaj

ą

c wzory i teori

ę

,

b

ę

d

ę

jednocze

ś

nie projektował konkretny filtr dolnoprzepustowy o nast

ę

puj

ą

cych parametrach:

P

P

R

R

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

1 z 8

2013-09-01 22:16

background image

A = 0,5 dB, f = 3 kHz, A = 20 dB, f = 7 kHz.

Obliczenie rz

ę

du filtru

Pierwszym krokiem jest obliczenie dwóch współczynników okre

ś

laj

ą

cych nasz filtr. S

ą

to współczynnik

selektywno

ś

ci k, oraz współczynnik dyskryminacji d. Współczynnik selektywno

ś

ci okre

ś

la jak blisko

siebie poło

ż

one s

ą

cz

ę

stotliwo

ś

ci punktów P i R, gdy punkty te zbli

ż

aj

ą

si

ę

w poziomie do siebie, to

współczynnik d

ąż

y do 1. Współczynnik ten okre

ś

lony jest wzorem:

Współczynnik dyskryminacji natomiast okre

ś

la wzajemn

ą

relacj

ę

mi

ę

dzy maksymalnym tłumieniem w

pa

ś

mie przepustowym i minimalnym tłumieniem w pa

ś

mie zaporowym. Obliczamy go ze wzoru:

Dla podanych przykładowych warto

ś

ci liczbowych po podstawieniu ich do wzoru otrzymamy: k =

0,42857 i d = 0,035107. Rz

ą

d filtru Butterwortha obliczamy ze współczynników k i d z nast

ę

puj

ą

cego

wzoru:

Rz

ą

d filtru Czebyszewa natomiast okre

ś

la si

ę

z podobnego, ale jednak nieco innego wzoru:

Po podstawieniu danych przykładowych otrzymamy dla filtru Butterwortha rz

ą

d 3,952968, dla filtru

Czebyszewa rz

ą

d 2,711062. W rzeczywisto

ś

ci rz

ą

d filtru nie mo

ż

e by

ć

ułamkowy, musi by

ć

liczb

ą

naturaln

ą

. Otrzymane liczby nale

ż

y wi

ę

c zaokr

ą

gli

ć

w gór

ę

. Zaokr

ą

glenie w dół spowodowałoby,

ż

e

charakterystyka filtru przechodziłaby ponad punktem R, a wi

ę

c filtr nie spełniałby zało

ż

e

ń

. Dlatego dla

przykładowego filtru Butterwortha przyjmujemy rz

ą

d 4, dla filtru Czebyszewa rz

ą

d 3. Rz

ą

d filtru

Czebyszewa dla tych samych danych b

ę

dzie zawsze mniejszy lub równy rz

ę

dowi filtru Butterwortha.

Cz

ę

stotliwo

ść

graniczna filtru

Cz

ę

stotliwo

ść

graniczna inaczej definiowana jest dla filtru Butterwortha i filtru Czebyszewa. W

dolnoprzepustowym filtrze Czebyszewa jest to najwy

ż

sza cz

ę

stotliwo

ść

, dla której tłumienie filtru nie

przekracza zało

ż

onych zafalowa

ń

charakterystyki. Jest to wi

ę

c dokładnie cz

ę

stotliwo

ść

punktu P na

wykresie. Dla filtru Butterwortha natomiast cz

ę

stotliwo

ść

graniczna, to taka, przy której nast

ę

puje

spadek wzmocnienia o 3 dB wzgl

ę

dem sygnału stałego (o cz

ę

stotliwo

ś

ci 0). Cz

ę

stotliwo

ść

ta jest

wi

ę

ksza od f je

ż

eli A jest mniejsze ni

ż

3 dB. Je

ż

eli tłumienie w punkcie P wynosi 3 dB, to oczywi

ś

cie

cz

ę

stotliwo

ść

graniczna jest cz

ę

stotliwo

ś

ci

ą

punktu P. Cz

ę

stotliwo

ść

graniczn

ą

filtru Butterwortha

mo

ż

na okre

ś

li

ć

ze wzoru:

P

P

R

R

P

P

f

P

f

R

ω

P

ω

R

=

k =

(1)

d =

10

0,1

−1

R

A

10

0,1

−1

P

A

(2)

n =

|log d|

|log k|

(3)

arc cosh −

d

1

( )

arc cosh

k

n

1

( )

=

(4)

f

P

=

f

g

P

10

0,1A

−1

(

)−

1

2n

(5)

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

2 z 8

2013-09-01 22:16

background image

Dla filtru przykładowego w wersji Czebyszewa cz

ę

stotliwo

ść

graniczna jest równa f a wi

ę

c wynosi

3000 Hz. Dla filtru Butterwortha otrzymamy po podstawieniu do wzoru (5) cz

ę

stotliwo

ść

graniczn

ą

równ

ą

3902,27 Hz.

Filtr prototypowy

Po okre

ś

leniu rz

ę

du i cz

ę

stotliwo

ś

ci granicznej obliczamy filtr prototypowy, to znaczy taki filtr

analogowy którego cz

ę

stotliwo

ść

graniczna wynosi 1 Hz. Transmitancja tego filtru to funkcja

operatora ró

ż

niczkowania s o postaci:

Mianowniki transmitancji filtrów prototypowych zostały

stablicowane

. Posta

ć

mianownika dla filtru

Butterwortha zale

ż

y wył

ą

cznie od rz

ę

du filtru, dla filtru Czebyszewa dodatkowym parametrem jest

zało

ż

one zafalowanie charakterystyki amplitudowej (równe tłumieniu A ). Dla filtru przykładowego

odczytujemy z tablic:

filtr Butterwortha

(s + 0,765366864s + 1)·(s + 1,847759065s + 1)

filtr Czebyszewa

(s + 0,62646s + 1,14245)·(s + 0,62646)

Jak wida

ć

mianownik transmitancji filtru M(s) jest wielomianem zmiennej s. Miejsca zerowe tego

mianownika s

ą

zwane biegunami filtru. Bieguny filtru s

ą

liczbami zespolonymi o ujemnej cz

ęś

ci

rzeczywistej (gdyby który

ś

biegun miał dodatni

ą

cz

ęść

rzeczywist

ą

, to filtr byłby niestabilny). Filtr ma

tyle biegunów ile wynosi jego rz

ą

d. Filtry o rz

ę

dzie parzystym maj

ą

bieguny zespolone sprz

ęż

one

parami. W filtrze o rz

ę

dzie nieparzystym jeden biegun jest ujemny rzeczywisty, reszta jest zespolona,

sprz

ęż

ona parami. Bieguny mo

ż

na bardzo prosto obliczy

ć

wyliczaj

ą

c pierwiastki trójmianów w

nawiasach. Dla przykładowego filtru Butterwortha otrzymamy dwie pary biegunów zespolonych
sprz

ęż

onych:

s = −0,382683±j0.923880
s = −0,923880±j0.382683

Dla filtru Czebyszewa otrzymamy jeden biegun rzeczywisty i par

ę

biegunów zespolonych

sprz

ęż

onych:

s = −0,62646
s = −0,31323±j1,021928

Skalowanie cz

ę

stotliwo

ś

ci i przekształcenie nieliniowe

Jak napisałem wcze

ś

niej, filtr prototypowy obliczony jest dla cz

ę

stotliwo

ś

ci granicznej 1 Hz. Nale

ż

y

teraz przeskalowa

ć

jego bieguny, tak aby odpowiadały zało

ż

onej cz

ę

stotliwo

ś

ci granicznej. Oprócz

tego nale

ż

y dokona

ć

przekształcenia nieliniowego. Polega ono na potraktowaniu przeskalowanej

cz

ę

stotliwo

ś

ci funkcj

ą

tangens rozci

ą

gni

ę

t

ą

w taki sposób,

ż

e warto

ść

π

na osi x przesuwa si

ę

do

cz

ę

stotliwo

ś

ci próbkowania sygnału. Przekształcenie nieliniowe jest elementem transformacji z

dziedziny analogowego operatora s (ró

ż

niczkowanie) do dziedziny cyfrowego operatora z (opó

ź

nienie

P

P

2

2

2

12

34

1

23

H(s)

1

M(s)

=

(6)

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

3 z 8

2013-09-01 22:16

background image

Filtr Butterwortha:

s = −0,218404±j0,527273
s = −0,527273±j0,218404

Filtr Butterwortha:

s = 0,706684±j0,405647
s = 0,571001±j0,135764

o 1 takt zegara). Przy projektowaniu filtrów cyfrowych ł

ą

czy si

ę

operacj

ę

skalowania i przekształcenia

nieliniowego w jedn

ą

, obliczaj

ą

c współczynnik skaluj

ą

cy W z nast

ę

puj

ą

cego wzoru:

W powy

ż

szym wzorze wyst

ę

puj

ą

ca w mianowniku warto

ść

f to cz

ę

stotliwo

ść

próbkowania

filtrowanego sygnału cyfrowego. Przy obliczeniach trzeba te

ż

pami

ę

ta

ć

o tym,

ż

e argument funkcji

tangens jest w radianach. Dla filtru Butterwortha i Czebyszewa współczynnik W liczymy oddzielnie,
poniewa

ż

z reguły filtry te maj

ą

inne cz

ę

stotliwo

ś

ci graniczne (chyba,

ż

e A wynosi 3 dB, wtedy obie

cz

ę

stotliwo

ś

ci b

ę

d

ą

równe). Dla naszego przykładowego filtru Butterwortha f wynosi 3902,27 Hz, a

współczynnik W = 0,570758. Dla filtru Czebyszewa f = 3000 Hz, W = 0,43405608.

Po obliczeniu współczynnika W transformujemy bieguny filtru prototypowego. Jest to bardzo prosta
operacja, dla filtru dolnoprzepustowego po prostu mno

ż

ymy W przez biegun. Dla filtru

górnoprzepustowego dzielimy W przez biegun. Po przemno

ż

eniu (dla filtru dolnoprzepustowego)

otrzymamy nast

ę

puj

ą

ce bieguny:

Filtr Czebyszewa:

s = −0,135959±j0,443573
s = −0,271917

Przej

ś

cie do transmitancji cyfrowej (operatora z)

Matematycznie

ś

cisłe przej

ś

cie z operatora analogowego s do cyfrowego operatora z dane jest

wzorem:

gdzie T to okres próbkowania sygnału. Wydaje si

ę

to prost

ą

zale

ż

no

ś

ci

ą

, dopóki nie zauwa

ż

ymy,

ż

e

wykładnik pot

ę

gi jest liczb

ą

zespolon

ą

, co znacznie komplikuje obliczenia. Dlatego w praktyce stosuje

si

ę

pewne przybli

ż

enie wzoru teoretycznego zwane przekształceniem dwuliniowym lub bilinearnym.

Przybli

ż

enie to wygl

ą

da nast

ę

puj

ą

co:

Gdzie s' jest to przetransformowany wcze

ś

niej biegun filtru analogowego, a z biegun filtru cyfrowego.

Takie przekształcenie jest znacznie prostsze obliczeniowo i daje dobre rezultaty praktyczne.
Przekształcenie zachowuje sprz

ęż

enie biegunów, to znaczy

ż

e para biegunów zespolonych

sprz

ęż

onych s pozostaje par

ą

biegunów zespolonych sprz

ęż

onych z. Dzi

ę

ki temu dla pary biegunów

sprz

ęż

onych mo

ż

na wykona

ć

tylko połow

ę

oblicze

ń

. Podobnie biegun rzeczywisty pozostaje po

przekształceniu biegunem rzeczywistym. Dla przykładowego filtru bieguny po przekształceniu
dwuliniowym s

ą

nast

ę

puj

ą

ce:

Filtr Czebyszewa:

s = 0,795271±j0,372823
s = 0,760628

Wyliczenie transmitancji

s

P

g

g

12

34

12

3

d

12

34

12

3

W = 2tg

π

f

g

f

s

( )

(7)

z = e

d

sT

(8)

z

2 + s
2 − s

=

(9)

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

4 z 8

2013-09-01 22:16

background image

Wyliczenie transmitancji polega na wstawieniu obliczonych biegunów do mianownika, oraz wstawieniu
odpowiednich zer (miejsc zerowych licznika) do licznika. Do oblicze

ń

w MatLabie wymna

ż

amy

wszystkie bieguny (podobnie zera) przez siebie a

ż

do uzyskania w liczniku i mianowniku wielomianów

stopnia N równego rz

ę

dowi filtru. Do praktycznej realizacji filtru korzystniej jest pozostawi

ć

licznik i

mianownik jako iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i drugiego. Odpowiada to wykonaniu filtru
jako kaskadowego poł

ą

czenia filtrów pierwszego i drugiego rz

ę

du. Takie rozwi

ą

zanie jest korzystne

poniewa

ż

znacznie zmniejsza wra

ż

liwo

ść

filtru na zaokr

ą

glenia współczyników wzmacniaczy.

Szczególnie warto wi

ę

c je zastosowa

ć

w przypadku pracy w arytmetyce stałoprzecinkowej. Wtedy

ka

ż

dy biegun rzeczywisty odpowiada blokowi pierwszego rz

ę

du, a ka

ż

da para zespolonych biegunów

sprz

ęż

onych – blokowi drugiego rz

ę

du.

Blok I rz

ę

du

Blok taki powstaje z bieguna rzeczywistego i ma jedno zero w punkcie −1 (filtr górnoprzepustowy ma
zero w punkcie 1). Licznik transmitancji ma zatem posta

ć

z + 1

Mianownik natomiast (zakładaj

ą

c

ż

e biegun wynosi c)

zc

Od transmitancji mo

ż

na przej

ść

do schematu blokowego, korzystaj

ą

c z definicji transmitancji, jest to

bowiem stosunek transformaty sygnału wyj

ś

ciowego Y(z) do transformaty sygnału wej

ś

ciowego X(z).

Dla bloku pierwszego stopnia mamy zatem:

Y(z) / X(z) = (z + 1) / (zc)

Y(z)(zc) = X(z)(z + 1)

zY(z) − cY(z) = zX(z) + X(z)

Y(z) − z cY(z) = X(z) + z X(z)
Y(z) = X(z) + z X(z) + z cY(z)

Z ostatniego wzoru bezpo

ś

rednio mo

ż

na narysowa

ć

schemat blokowy bloku filtru I rz

ę

du.

Przykładowy filtr Butterwortha nie posiada biegunów rzeczywistych, a wi

ę

c i bloków I rz

ę

du. Filtr

Czebyszewa posiada jeden biegun rzeczywisty, odpowiadaj

ą

cy mu blok ma transmitancj

ę

Blok II rz

ę

du

Blok ten powstaje z pary biegunów zespolonych sprz

ęż

onych i ma podwójne zero w punkcie -1 (filtr

górnoprzepustowy ma podwójne zero w punkcie 1). Zatem licznik transmitancji tego bloku ma posta

ć

(z + 1) = z + 2z + 1

Mianownik natomiast przyjmuje posta

ć

(przy parze biegunów a±jb)

[z − (a − jb)][z − (a + jb)] = z − 2az + (a + b )

Podobnie jak przy bloku pierwszego rz

ę

du korzystamy z definicji transmitancji, aby uzyska

ć

wzór

definiuj

ą

cy posta

ć

schematu blokowego

Y(z) / X(z) = (z + 2z + 1) / (z − 2az + a + b )

−1

−1

−1

−1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

H(z)

z + 1

z − 0,760628

=

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

5 z 8

2013-09-01 22:16

background image

z Y(z) − 2azY(z) + (a + b )Y(z) = z X(z) + 2zX(z) + X(z)

Y(z) − 2az Y(z) + (a + b )z Y(z) = X + 2z X(z) + z X(z)

Y(z) = X(z) + 2z X(z) + z X(z) + 2az Y(z) − (a + b )z Y(z)

Przykładowy filtr Butterwortha posiada dwie pary biegunów zespolonych sprz

ęż

onych, b

ę

dzie zatem

miał dwa bloki drugiego rz

ę

du. Dla bieguna z transmitancja wyniesie

Dla bieguna z transmitancja wyniesie

Przykładowy filtr Czebyszewa posiada jedn

ą

par

ę

biegunów zespolonych sprz

ęż

onych. Transmitancja

odpowiadaj

ą

cego mu bloku jest nast

ę

puj

ą

ca

Do weryfikacji oblicze

ń

w MatLabie niezb

ę

dna jest kompletna transmitancja filtru jako cało

ś

ci.

Uzyskujemy j

ą

wstawiaj

ą

c wszystkie bieguny jako miejsca zerowe mianownika, oraz N-krotne zero w

punkcie -1 jako miejsce zerowe licznika, a nast

ę

pnie wymna

ż

aj

ą

c. Równowa

ż

nym sposobem jest

wymno

ż

enie przez siebie transmitancji wszystkich bloków filtru. Tramsmitancja przykładowego filtru

Butterwortha ma posta

ć

Transmitancja filrtu Czebyszewa natomiast

W programie MatLab mo

ż

na sprawdzi

ć

charakterystyk

ę

amplitudow

ą

przykładowego filtru wydaj

ą

c

nast

ę

puj

ą

ce polecenie (warto

ś

ci liczbowe dla przykładowego filtru Butterwortha):

freqz([1

4

6

4

1],[1

-2.555369

2.622493

-1.245102

0.228714],10:10:20000,44100)

Pierwszy wektor zawiera kolejne współczynniki wielomianu licznika transmitancji, drugi kolejne
współczynniki mianownika.

Charakterystyki filtru przykładowego

W celu weryfikacji metody projektowania sprawdziłem charakterystyki otrzymanych filtrów korzystaj

ą

c

z funkcji freqz() programu MatLab. Punkty P i R z zało

ż

e

ń

projektowych s

ą

zaznaczone kolorem

czerwonym. Pewnym zaskoczeniem mo

ż

e by

ć

fakt,

ż

e w pasmie przenoszenia wzmocnienie nie

wynosi 0 dB, to mo

ż

na jednak łatwo skorygowa

ć

umieszczaj

ą

c tłumik o odpowiednim tłumieniu (50 dB

dla filtru Butterwortha i 45,3 dB dla filtru Czebyszewa). Praktycznie realizuj

ą

c filtr w arytmetyce

stałoprzecinkowej warto podzieli

ć

tłumik na kilka tłumików rozmieszczonych przed filtrem, mi

ę

dzy jego

blokami oraz za filtrem, tak aby ich sumaryczne tłumienie było równe wymaganemu. W ten sposób
zapobiega si

ę

powstaniu przepełnienia arytmetycznego w blokach filtru, oraz pogarszaniu stosunku

2

2

2

2

−1

2

2

−2

−1

−2

−1

−2

−1

2

2

−2

12

34

H(z) =

z

2

+ 2z + 1

z

2

− 1,413368z + 0,663952

H(z) =

z

2

+ 2z + 1

z

2

− 1,412002z + 0,344474

H(z) =

z

2

+ 2z + 1

z

2

− 1,590542z + 0,771453

H(z) =

6z

2

+ 4z + 1

4z

3

+

+ 4z

3

z

4

2,622493z

2

− 1,245102z + 0,228714

2,555369z

3

+

z

4

H(z) =

3z

2

+ 3z + 1

z

3

+

2,351170z

2

− 1,981264z + 0,586789

z

3

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

6 z 8

2013-09-01 22:16

background image

sygnału do szumu kwantyzacji.

Charakterystyka amplitudowa przykładowego filtru Butterwortha w zakresie od 0 do 3,5 kHz.

Charakterystyka amplitudowa przykładowego filtru Butterwortha wokół cz

ę

stotliwo

ś

ci 7 kHz.

Charakterystyka amplitudowa przykładowego filtru Czebyszewa w zakresie od 0 do 20 kHz

(logarytmiczna skala cz

ę

stotliwo

ś

ci).

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

7 z 8

2013-09-01 22:16

background image

Charakterystyka amplitudowa przykładowego filtru Czebyszewa w zakresie od 0 do 3,5 kHz.

Charakterystyka amplitudowa przykładowego filtru Czebyszewa wokół cz

ę

stotliwo

ś

ci 7 kHz.

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

8 z 8

2013-09-01 22:16


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa
Wykład 3 projektowanie filtrów cyfrowych
Projektowanie filtrów cyfrowych
Wykład 5 1 projektowanie filtrów cyfrowych
projektowanie filtrów cyfrowych metoda okien
lab 07 projektowanie filtrow II
Projektowanie filtrów typu IIR
lab 06 Projektowanie filtrow
Projektowanie filtrow FIR id 40 Nieznany
Projektowanie filtrów FIR oraz IIR1
Projektowanie filtrów typu IIR
09 Projektowanie filtrow aktywnych
,Analogowe i cyfrowe układy elektroniczne I L, Projekt filtru cyfrowego NOI (realizacja schemat bl
Stare projekty, P BRAMKI, Pawe˙ Dobro˙ gr. 3P23
Projekt lotu cyfrowe 2014
,Analogowe i cyfrowe układy elektroniczne I L, Projekt filtru cyfrowego NOI Metoda przekształcenia

więcej podobnych podstron