Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny

Lista 2– Sploty i Dystrybucje

A.G.,T.S.,Z.W. ‘07

Podstawowe elementy teorii Układów Liniowych Stacjonarnych:

1

0

Funkcje podstawowe

Skok jednostkowy

( )

1, dla

0

1

0, dla

0

t

t

t

>

⎧

= ⎨

<

⎩

Skok jednostkowy w punkcie

0

t

(

)

0

0

0

1, dla

1

0, dla

t

t

t

t

t

t

>

⎧

−

= ⎨

<

⎩

Okno prostokątne

(

)

1

2

,

t t

(

) (

)

(

)

(

)

1

2

1

2

1

2

1, dla

,

1

1

0, dla

,

t

t t

t

t

t

t

t

t t

⎧

∈

⎪

−

−

−

= ⎨

∉

⎪⎩

Impuls Diraca

( )

, dla

0

0, dla

0

t

t

t

δ

∞

=

⎧

= ⎨

≠

⎩

Impuls Diraca w punkcie

0

t

(

)

0

0

0

, dla

0, dla

t

t

t

t

t

t

δ

∞

=

⎧

−

= ⎨

≠

⎩

2

0

Działania z udziałem impulsu Diraca

( )

( )

1

d

t

t

dt

δ

=

⎡

⎤

⎣

⎦

( )

( )

1

t

d

t

δ τ τ

−∞

=

∫

(

)

(

0

0

1

d

t

t

t

t

dt

δ

−

=

−

⎡

⎤

⎣

⎦

)

)

(

)

(

0

0

1

t

t d

t

t

δ τ

τ

−∞

−

=

−

∫

( )

( )

0

0

1

t dt

t dt

δ

δ

+

−

+∞

−∞

= =

∫

∫

(

)

(

)

0

0

0

0

1

t

t

t

t dt

t

t dt

δ

δ

+

−

+∞

−∞

−

= =

−

∫

∫

( ) ( )

( ) ( )

0

x t

t

x

δ

δ

⋅

=

⋅ t

( ) (

)

( ) (

)

0

0

0

x t

t

t

x t

t

t

δ

δ

⋅

−

=

⋅

−

( ) (

)

( ) (

)

( )

(

)

( )

( )

0

0

0

0

0

0

1

0

x t

t

t dt

x t

t

t dt

x t

t

t dt

x t

x t

δ

δ

δ

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅ =

∫

∫

∫

- własność filtracyjna

3

0

Splot i jego własności

Przemienność

( ) ( ) ( )

( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

S t

x t

y t

x

y t

d

y

x t

d

y t

x t

τ

τ τ

τ

τ τ

+∞

+∞

−∞

−∞

=

∗

=

−

=

−

=

∗

∫

∫

Łączność

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t

y t

z t

x t

y t

z t

x t

y t

z t

∗

∗

=

∗

∗

=

∗

∗

⎡

⎤

⎡

⎤

⎣

⎦

⎣

⎦

Rozdzielność względem
dodawania (odejmowania)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t

y t

z t

x t

z t

y t

z t

±

∗

=

∗

±

∗

⎡

⎤

⎣

⎦

Różniczkowanie

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

d

d

d

x t

y t

x t

y t

x t

y t

dt

dt

dt

∗

=

∗

=

∗

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

Przesunięcie w dziedzinie
czasu

(

) ( )

( ) (

)

(

)

0

0

0

x t

t

y t

x t

y t

t

S t

t

−

∗

=

∗

−

=

−

Splot z impulsem Diraca
i pochodną impulsu Diraca

( ) ( )

( )

( ) (

)

(

)

0

0

x t

t

x t

x t

t

t

x t

t

δ
δ

∗

=

∗

−

=

−

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

'

'

0

0

'

'

x t

t

x t

x t

t

t

x t

t

δ
δ

∗

=

∗

−

=

−

4

0

Całka Duhamela i całka splotu

k(t)

x(t)

y(t)

( )

( ) ( )

d

y t

x t

k

dt

=

∗

⎡⎣

t

⎤⎦

- Całka Duhamela

h(t)

x(t)

y(t)

( ) ( ) ( )

y t

x t

h t

=

∗

- Całka splotu

A.S. Cz.S. P.R.®

TS’13

- 1 -

Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny

Lista 2– Sploty i Dystrybucje

A.G.,T.S.,Z.W. ‘07

Zadanie 1

.

Przedstawione na rysunkach sygnały zapisać w postaci analitycznej wykorzystując skok jednostkowy

( )

1 t oraz impuls Diraca

( )

t

δ

. Następnie wyznaczyć pochodne tych sygnałów i przedstawić ich

przebiegi na wykresach.
a) b) c)

4

2

x(t)

0

1

t

2

-3

3

4

2

x(t)

0

1

t

2

-3

3

-2

2

4

1

t

x(t)

0

d) e) f)

T

2T

A

x(t)

0

t

A sin

ω

t

2

1

x

(t)

0

4

1

3

t

5

4

2

t

x(t)

0

1-(t-3)

2

1-(t-1)

2

...

1

g) h) i)

2

x(t)

0

t

3

1

1

2

4

3

4

5

6

1

1

0

4

6

5

2

3

0.5

x(t) = 2

-[ t ]

2

-1

2

-2

2

-3

2

-4

t

2

-5

T

x(t)

0

t

t

2T

T/2

Zadanie 2

.

Wyznaczyć sploty następujących funkcji:

a)

( ) ( )

1

1

t

t

∗

b)

( ) ( )

1

1

t

t

t

⋅

∗

c)

( ) (

)

1

1

t

t

t

2

⋅

∗

+

d)

(

) (

)

1

t

t

1

t

2

⋅

− ∗

−

δ

e)

( )

( )

t

2t

e

t

e

t

−

∗

1

1

f)

( )

(

)

2t

5t

e

t

e

t

−

−

3

∗

−

1

1

g)

( ) (

)

( ) (

)

1

1

1

1

t

t

T

t

t

T

⎡

⎤ ⎡

−

−

∗

−

−

⎣

⎦ ⎣

⎤⎦

t

h)

( ) (

)

(

)

(

)

t

t

t

4

t

2

t

2

δ

δ

⎡

⎤

⎡

⎤

⋅

−

−

∗

−

−

−

⎣

⎦ ⎣

⎦

'

1

1

k)

( )

( ) (

)

1

1

1

at

e

t

t

t

T

−

⎡

⎤

∗

−

−

⎣

⎦

l)

( ) (

) ( )

1

sin

1

2t

e

t

3t

−

∗

A.S. Cz.S. P.R.®

TS’13

- 2 -

Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny

Lista 2– Sploty i Dystrybucje

A.G.,T.S.,Z.W. ‘07

Zadanie 3

.

Układ posiada odpowiedź jednostkową

( )

( )

1

t

k t

1 3 e

t

−

⎡

⎤

=

+ ⋅

⎣

⎦

Wyznaczyć odpowiedź y(t) na wymuszenie x(t)

k(t)

x(t)

y(t)

a)

( )

( )

1

x t

t

t

= ⋅

b)

( )

( )

(

) (

)

t

x t

2e

t

4

t

3

t

5

−

⎡

⎤

=

⋅

−

− +

−

⎣

⎦

1

1

1

c)

( )

( )

( )

( )

1

1

t

x t

2

t

3

t

4 e

t

−

=

+ ⋅

+ ⋅

δ

d)

( )

(

)

( )

2t

t

x t

e

t

1

2e 1 t

−

=

− +

1

e)

( )

(

)

( )

(

)

x t

2 1 t

3

3

t - 2

3

t

1

′

= ⋅

−

+

+

−

δ

δ

f)

( ) (

) ( )

sin

1

x t

4

2t

t

=

Zadanie 4

.

1

0

Wyznaczyć odpowiedź jednostkową

( )

k t i impulsową

( )

h t .

2

0

Zapisać przebieg

wykorzystując całkę Duhamela (

( )

2

u

t

( )

k t ) oraz całkę splotową (

( )

h t ).

3

0

Dla przedstawionych układów ułożyć równania różniczkowe między

( )

( )

i

2

1

u

t

u

t .

a)

R

L

u

2

(t)

u

1

(t)

b)

R

C

u

2

(t)

u

1

(t)

c)

C

R

2

u

2

(t)

u

1

(t)

R

1

d)

R

1

C

R

2

u

2

(t)

u

1

(t)

e)

R

C

R

u

2

(t)

u

1

(t)

f)

R

L

R

u

2

(t)

u

1

(t)

A.S. Cz.S. P.R.®

TS’13

- 3 -