Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
( )
( )
{ }
( )
L
F
st
0
s
f t
f t e
dt
∞
−
=
=
∫
( )
( )
{
}
( )
L
F
F
j
-1
st
j
1
f t
s
s
2 j
σ
σ
π
+ ∞
− ∞
=
=
∫
e ds
Właściwość Określenie
1.
( )
{
}
( )
( )
{
}
L
F
n
n
n
n
d
t f t
1
s
ds
= −
np.
( )
{
}
( )
{
}
L
F
d
t f t
s
ds
= −
Pochodna transformaty
2.
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
L
L
F
F
2
f t
s
s
f 0
f t
s
s
sf 0
f 0
′
=
−
−
′′
′
=
−
− −
−
Transformata pochodnej (I-ej i II-ej)
3.
( )
( )
L
F
t
0
1
f
d
s
s
τ τ
−
⎧
⎫
⎪
⎪ =
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
Transformata całki oznaczonej
4.
( )
{
}
( )
L
F
1
C
f t dt
s
s
s
=
+
∫
Transformata całki nieoznaczonej
5.
( )
{
}
(
)
L
F
at
e f t
s a
=
−
Przesunięcie w dziedzinie zespolonej
6.
(
)
{
}
( )
L
F
0
t
0
s
f t t
s e
−
−
=
Przesunięcie w dziedzinie czasu
7.
( )
{
}
L
F
1
s
f at
a
a
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Zmiana skali
8.
( )
{ }
( )
L
F
f t
t
s
d
λ λ
∞
=
∫
Całkowanie w dziedzinie zespolonej
9.
( ) ( )
{
}
( ) ( )
L
F
G
f t
g t
s
s
∗
=
⋅
Transformata splotu
10
( ) ( )
{
}
( ) ( )
L
F
G
1
f t g t
s
s
2 j
π
=
∗
Splot zespolony
( )
( )
( )
lim F
lim
t
0
s
s
s
f t
f
→ ∞
→ +
=
=
0
+
;
( )
( )
lim
F
lim
0
t
s
s
s
f
→
→ ∞
=
11.
t
Twierdzenia o wartości początkowej
i końcowej
12.
( )
{ }
( )
L
F
T
sT
s
f t
1 e
−
=
−
gdzie:
( )
( )
F
T
T
0
st
s
f t e
dt
−
=
∫
Transformata funkcji okresowej
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 1 -
Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
( )
f t
( )
( )
{ }
=
L
F s
f t
( )
f t
( )
( )
{ }
=
L
F s
f t
1
( )
1 t
,
(
)
1
0
t t
−
1
s
,
0
st
1
e
s
−
11
( ) ( )
sin
1
0
at
e
t
ω
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
t
(
)
0
2
2
0
s a
ω
ω
−
+
2
( ) ( )
( )
( )
, ,
n
t
t
t
′
δ
δ
δ
n
1, s, s
12
( ) ( )
cos
1
0
at
e
t
ω
⎡
⎤
⎣
⎦ t
(
)
2
2
0
s a
s a
ω
−
−
+
3
(
)
0
t t
−
δ
0
st
e
−
13
( ) ( )
sin
1
0
at
te
t
t
ω
⎡
⎤
⎣
⎦
(
)
(
)
0
2
2
2
0
2 s a
s a
ω
ω
−
⎡
⎤
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
4
( )
( )
1
,
, 1
n
t t
t
t
…
!
,
,
2
n
1
n
1
s
s
+
…
14
( ) ( )
cos
1
0
at
te
t
t
ω
⎡
⎤
⎣
⎦
(
)
(
)
2
2
0
2
2
2
0
s a
s a
ω
ω
−
−
⎡
⎤
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
5
( ) (
)
1
1
0
t
t
t t
⎡
⎤
−
−
⎣
⎦
(
)
0
0
st
2
1
1
1 t s e
s
−
⎡
⎤
− +
⎣
⎦
15
( ) ( )
sh
1
t
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
2
2
s
β
β
−
6
( )
1
at
e
t
1
s a
−
16
( ) ( )
ch
1
t
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
2
2
s
s
β
−
7
( )
1
at
te
t
(
)
2
1
s a
−
17
( ) ( )
sh
1
at
e
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
t
(
)
2
2
s a
β
β
−
−
8
( )
1
n at
t e
t
⋅
(
)
!
n 1
n
s a
+
−
18
( ) ( )
ch
1
at
e
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
t
(
)
2
2
s a
s a
β
−
−
−
9
( ) ( )
sin
1
0
t
t
ω
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
0
2
2
0
s
ω
ω
+
19
( ) ( )
sh
1
at
te
t
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
(
)
(
)
2
2
2
2 s a
s a
β
β
−
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
10
( ) ( )
cos
1
0
t
t
ω
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
2
2
0
s
s
ω
+
20
( ) ( )
ch
1
at
te
t
t
β
⎡
⎤ ⋅
⎣
⎦
(
)
(
)
2
2
2
2
2
s a
s a
β
β
−
+
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 2 -
Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
Zadanie 1.
Wyznaczyć transformatę Laplace'a następujących funkcji f(t)
a)
(
)
2 t 4
δ
−
b)
( )
1
-2t
2e
t - 3
c)
( )
1
t t - 1
d)
( )
1
-2t
te
t - 3
e)
( ) ( )
1
2
t - 2
t - 4
f)
( )
1
n
t
t
g)
( )
1
n -2t
t e
t
h)
( )
1
2 3t
t e
t - 1
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 3 -
i)
( ) (
)
sin
1
0
t
t 2
ω
⎡
⎤
−
⎣
⎦
j)
( ) (
)
sin
1
0
t
t
t
ω
⎡
⎤
⋅
−
⎣
⎦
3
k)
( ) ( )
sin
1
4t
e
3t
t -
⎡
⎤
⎣
⎦
1
l)
( )
sin
1
3t
e
2t
−
⋅ t
Zadanie 2.
Dla zadanej transformaty obliczyć przebieg czasowy f(t) :
a)
( )
F
2
1
s
s
=
b)
( )
(
)
F
2
1
s
s a
=
−
c)
( )
(
)
F
n
1
s
s a
=
+
d)
( )
(
)
F
0
0
2
2
s
s a
ω
ω
=
+
+
e)
( )
(
)
F
2
2
k
s
s a
k
=
+
−
f)
( )
[
]
F
0
0
2
2
s
s
1
s
e
π
ω
ω
−
=
−
+
g)
( )
F
bs
n
1
s
e
s
−
=
h)
( )
F
bs
1
s
1 e
s
−
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦
i)
( )
[
]
F
0
0
2
2
s
s
1
s
e
π
ω
ω
−
=
+
+
j)
( )
(
)
F
0
2
2
s b
s
s a
ω
+
=
+
+
k)
( )
F
2s
1
s
1 e
−
=
+
l)
( )
[
]
F
0
0
0
2
2
s
1
s
e
π
ω
ω
ω
−
=
−
+
Zadanie 3.
Wyznaczyć funkcję oryginalną transformaty (wykorzystując rozkład na ułamki proste):
a)
( )
F
2
3
s
1
s
s
1
+
=
+
b)
( )
F
2
4
s
1
s
s
1
−
=
+
c)
( )
(
) (
)(
)
F
2
2
s
2s 2
s
s 1
s 2 s 3
+
+
=
+
+
+
d)
( )
(
)
F
2
2
s
s
s
1
=
+
e)
( )
(
)
F
2
3
2
s
s e
s
s 2
−
=
+
f)
( )
(
)(
)
F
2
2
2s
s
s 1 s 2
=
−
+
g)
( )
(
)
F
2
3
2
s
s s
s
e
s 1
−
−
=
+
h)
( )
(
)
F
3
s
s
s 1
=
+
i)
( )
(
)
F
2
3s 2
s
s 2
5
+
=
+
−
j)
( ) ( )( )
F
2
2
s
1 s
s
e
s 2 s 3
−
+
=
−
+
k)
( ) ( )( )
F
3s
2
s e
s
s 1 s 2
−
=
−
+
l)
( )
(
)(
)
F
2
2
2s
1
s
s s 1 s 2
+
=
+
+
Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
Zadanie 4.
Stosując rachunek operatorowy rozwiązać następujące równania ( t > 0 ) :
a)
( )
2
y
k y
f t
′′ −
=
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
b)
( )
2
y
2by
y
f t
ω
′′
′
−
+
=
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
c)
( )
(
)
( )
1
af t
f t T
bt t
−
−
=
T = const ;
e)
( )
(
)
( )
1
t
af t
f t T
be
t
−
−
−
=
d)
( )
(
)
( )
1
af t
f t T
b t
+
−
=
T = const, a, b =const;
f)
y
2 y t
′ +
=
( )
y 0
0
+
=
T = const, a, b =const
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 4 -
g)
t
y
2 y
y e
−
′′
′
−
+ =
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
( )
( )
( )
( )
h)
t
0
t
y t
2 y
e
d
t
τ
τ
τ δ
+
− −
′′
−
=
∫
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
i)
sin
y
5 y
4 y
2t
′′
′
+
+
=
( )
( )
y 0
0 y 0
0
+
+
′
=
=
,
Zadanie 5.
Wykorzystując rachunek operatorowy wyznaczyć przebieg wskazanych wielkości.
a) Wyznaczyć i(t), u
C
(t).
Dane
:
( )
( )
1
t
2t
e t
e
e
t
−
−
⎡
⎤
=
−
⋅
⎣
⎦
, R = 1,
L = 2, C = 0.5, u
C
(0-) = 1, i(0-) = 0.5
b) Wyznaczyć prąd i
0
(t) wykorzystując twierdzenie
Thevenina.
Dane: u
C
(0-) = 1,i
L
(0-) = 2
e(t) = 2[1(t) - 1(t - 1)] , R = 1, L = 1, C = 0.5.
C
R
L
R
i(t)
e(t)
u
C
(t)
R
e(t)
C
L
R
i
0
(t)
c)
Ułożyć równania: prądów oczkowych
i
potencjałów węzłowych.
Uwzględnić warunki początkowe.
d) Wyznaczyć u
C
(t), i(t).
Zastosować metodę potencjałów węzłowych.
E = 6, R = 2, L = 1, C = 1;
e
1
(t)
C
1
C
5
i
źr4
(t)
L
6
R
3
L
2
R
R
R
R
C
L
E
i(t)
t = 0
u
C
(t)
e) wyznaczyć u
C
(t), i(t); E =1, R =1, L = 1, C = 1
f) wyznaczyć i(t) E =1, R =1, L
1
=L
2
= L=1,
L
R
C
t = 0
E
R
i(t)
R
u
C
(t)
t = 0
R
L
1
E
R
i(t)
L
2
UWAGA: Należy rozwiązać zadania z listy 1 metodą operatorową, dla porównania z metodą klasyczną.
Teoria Obwodów 2 - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
Zadanie 6.
Wyznaczyć odpowiedź y(t) (0 < t <
∝
) układu o transmitancji
operatorowej
( )
H
1
s
s b
=
+
przy wymuszeniu
( )
( )
at
x t
te
1 t
−
=
H(s)
x(t)
y(t)
Zadanie 7.
1
0
Wyznaczyć transmitancję operatorową układu .
( )
H s
2
0
Wykorzystując transmitancję operatorową
( )
H s
wyznaczyć odpowiedź
układów na zadane
wymuszenie
( )
2
u t
( )
( )
t
1
u t
e
1 t
α
−
=
a)
R
L
u
2
(t)
u
1
(t)
b)
R
C
u
2
(t)
u
1
(t)
c)
C
R
2
u
2
(t)
u
1
(t)
R
1
d)
R
1
C
R
2
u
2
(t)
u
1
(t)
e)
R
C
R
u
2
(t)
u
1
(t)
f)
R
L
R
u
2
(t)
u
1
(t)
A.S. Cz.S. P.R.®
TS’13
- 5 -
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Cw TO2 ETK Lista2 Sploty i Dyst Nieznany
Ćw TO2 ETK Lista0-Warunkipoczatkowe
Ćw, TO2 ETK Lista0 Warunkipoczatkowe
Ćw, TO2 ETK Lista1 Metoda Klasyczna
cw PAiTS 05 id 122324 Nieznany
cw zad dysocjacja hydroliza buf Nieznany
CW 8 pytania kontrolne id 12215 Nieznany
Cw 22 Przerzutniki cyfrowe id 1 Nieznany
Cw 02 M 04A Badanie wlasciwos Nieznany
Cw 5 10 Analiza tolerancji i od Nieznany
Cw 29 szablon id 97632 Nieznany
Cw Analiza finansowa bankow id Nieznany
cw PRI harmonogram id 122354 Nieznany
Cw 1 Czworniki bierne id 122391 Nieznany
Dyskretna oraz szybka transform Nieznany
cw 03 formularz id 121361 Nieznany
Cw 25 Zaklocenia id 122416 Nieznany
cw 05 instrukcja id 121376 Nieznany
Cw ?danie izolacji uzwojeń transformatorów
więcej podobnych podstron