Algebra liniowa
Algebra może być podzielona na następujące kategorie:
1
algebra elementarna,
2
algebra abstrakcyjna,
3
algebra liniowa,
4
algebra uniwersalna,
5
algebraiczna teoria liczb,
6
geometria algebraiczna,
7
kombinatoryka algebraiczna.
Algebra liniowa jest to dział algebry, w którym badane są
właściwości przestrzeni wektorowych (włączając macierze).
Układy równań liniowych
Podstawowym problemem algebry liniowej jest rozwiązywanie
równań liniowych.
Układy równań liniowych
1
Geometria układów równań liniowych
2
Interpretacje metody eliminacji jako faktoryzacji macierzy
współczynników
3
Przypadki, dla których nie istnieje jedno rozwiązanie
4
Liczba operacji potrzebna do rozwiązania układu
Układy równań liniowych
(
2x − y = 1
x + y = 5
Zapis wektorowy:
x
"
2
1
#
+ y
"
−1
1
#
=
"
1
5
#
Problem: znalezienie kombinacji wektorów po lewej stronie, której
wynikiem jest wektor po prawej stronie.
Rozwiązywanie po wierszach i po kolumnach
2u
+
v
+
w
=
5
4u
− 6v
=
−2
−2u
+
7v
+
2w
=
9
Zmiana składnika leżącego po prawej stronie przesuwa płaszczyznę
równolegle.
Wektory kolumnowe
u
2
4
−2
+ v
1
−6
7
+ w
1
0
2
=
5
−2
−9
Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar
5
0
0
+
0
−2
0
+
0
0
9
=
5
−2
9
2
1
0
2
=
2
0
4
−2
1
0
2
=
−2
0
−4
Kombinacja liniowa
2
4
−2
+
1
−6
7
+ 2
1
0
2
=
5
−2
9
Podsumowanie
Interpretacja wierszowa: Przecięcie się n płaszczyzn
Interpretacja kolumnowa: Prawa strona to kombinacja liniowa
wektorów po lewej stronie
Rozwiązanie układu równań: Przecięcie się płaszczyzn =
współczynniki kombinacji liniowej kolumn
Zadanie 1
Narysuj iterpretacje kolumnową i wierszową następującego układu
równań:
(
x + y = 4
2x − 2y = 4
Zadanie 2
Rozwiąż układ równań:
u + v + w = b
1
v + w = b
2
w = b
3
Pokaż, że rozwiązaniem jest kombinacja liniowa kolumn po lewej
która równa jest kolumnie po prawej.
Zadanie 3
Opisz część wspólną trzech płaszczyzn u + v + w + z = 6,
u + w + z = 4 i u + w = 2 (w czterowymiarowej przestrzeni. Czy
jest ono punktem, czy zbiorem pustym? Jaka będzie część wspólna
kiedy zostanie dodana czwarta płaszczyzna u = −1?
Zadanie 4
Naszkicuj trzy proste:
x + 2y = 2
x − y = 2
y = 1.
Czy można rozwiązać te trzy równania jednocześnie? Co się stanie
jeśli w każdym równaniu po prawej stronie będzie 0? Czy można
dobrać wartości po prawej stronie tak, żeby istniało rozwiązanie?
Zadanie 5
Znajdź dwa punkty na prostej będącej częścią wspólną trzech
płaszczyzn: t = 0, z = 0 i x + y + z + t = 1 w czterowymiarowej
przestrzeni.
Metoda eliminacji Gaussa
2u
+
v
+
w
=
5
4u
− 6v
=
−2
−2u
+
7v
+
2w
=
9
Zadanie 6
Zastosuj eliminację i rozwiąż układ równań:
2u
+
3v
=
3
4u
− 5v
+
w
=
7
2u
−
v
− 3w
=
5
Czym są osie? Podaj listę operacji, w których wielokrotność
jednego wiersza jest odejmowana od innych.
Zadanie 7
Dla układu:
u
+
v
+
w
=
2
u
+
3v
+
3w
=
0
u
+
3v
+
5w
=
2
Podaj system trójkątny po zastosowaniu eliminacji w przód i jakie
jest rozwiązanie?
Zadanie 8
2u
−
v
=
5
−u
+
2v
−
w
=
−2
−
v
+
2w
−
z
=
0
−
w
+
2z
=
5
Można przenieść prawą stronę jako piątą kolumnę.
Zadanie 9
Zastosuj eliminację do następującego systemu:
u
+
v
+
w
=
−2
3u
+
3v
− w
=
6
u
−
v
+
w
=
−1
Kiedy pojawia się zero w pozycji osiowania, zamień równanie z
leżącym poniżej i kontynuuj. Jaki współczynnik stojący przy v
będzie w trzecim równaniu w miejsce obecnego −1, sprawiłby
niemożliwość kontynuowanie obliczeń.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
01 aeid 3052 Nieznany (2)
NLP Magazine 01 id 320421 Nieznany
I CKN 316 01 1 id 208193 Nieznany
domowe2 01 id 140222 Nieznany
CHORZOW1 TRAGEDIA 28 01 2006 id Nieznany
01 Uprawnienia w budownictwieid Nieznany
Cwiczenie 01 id 98935 Nieznany
HUR2006 01 id 207254 Nieznany
01 przedmowa zg6kmxuegzl2pilvqx Nieznany (2)
712[06] S1 01 Rozpoznawanie mat Nieznany
01 Wprowadzenieid 2669 Nieznany
gazeta prawna 25 01 2005 (1382) Nieznany
01 Niezgodnaid 2863 Nieznany
714[01] Z1 01 Dobieranie materi Nieznany (2)
01 2id 2523 Nieznany (2)
01 id 539970 Nieznany (2)
01 Indexid 2619 Nieznany
ais 01 id 53429 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron