dr inż. M. Bauer - STATYSTYKA
MATEMATYCZNA W INŻYNIERII

1

STATYSTYKA MATEMATYCZNA W IN

STATYSTYKA MATEMATYCZNA W IN

Ż

Ż

YNIERII

YNIERII

OPIS WYNIK

OPIS WYNIK

Ó

Ó

W BADA

W BADA

Ń

Ń

Dr in

Dr in

ż

ż

. Marek Bauer

. Marek Bauer

0

10

20

30

40

50

60

0

30

60

90

120

150

180

OPIS PR

OPIS PR

Ó

Ó

BY O CHARAKTERZE ILO

BY O CHARAKTERZE ILO

Ś

Ś

CIOWYM

CIOWYM

WARTO

WARTO

ŚĆ

ŚĆ

Ś

Ś

REDNIA Z PR

REDNIA Z PR

Ó

Ó

BY

BY

‰

‰

PR

PR

Ó

Ó

BA MA

BA MA

Ł

Ł

A (poni

A (poni

ż

ż

ej 30 element

ej 30 element

ó

ó

w)

w)

n

x

x

n

i

i

∑

=

−

=

1

n

x

n

x

n

j

j

j

∑

=

−

•

=

1

0

‰

‰

PR

PR

Ó

Ó

BA DU

BA DU

Ż

Ż

A (powy

A (powy

ż

ż

ej 30 element

ej 30 element

ó

ó

w)

w)

–

–

obliczenia

obliczenia

za pomoc

za pomoc

ą

ą

szeregu rozdzielczego

szeregu rozdzielczego

x

x

i

i

–

–

warto

warto

ś

ś

ci element

ci element

ó

ó

w pr

w pr

ó

ó

by

by

n

n

–

–

liczebno

liczebno

ść

ść

pr

pr

ó

ó

by pomiarowej

by pomiarowej

x

x

j

j

o

o

–

–

ś

ś

rodek klasy

rodek klasy

j

j

n

n

j

j

–

–

liczebno

liczebno

ść

ść

klasy

klasy

j

j

n

n

–

–

liczebno

liczebno

ść

ść

pr

pr

ó

ó

by pomiarowej

by pomiarowej

OPIS PR

OPIS PR

Ó

Ó

BY O CHARAKTERZE ILO

BY O CHARAKTERZE ILO

Ś

Ś

CIOWYM

CIOWYM

WARTO

WARTO

ŚĆ

ŚĆ

Ś

Ś

REDNIA Z PR

REDNIA Z PR

Ó

Ó

BY

BY

dolna

górna

1

0

5

2,5

102

2

5

10

7,5

158

3

10

15

12,5

221

4

15

20

17,5

245

5

20

25

22,5

171

6

25

30

27,5

134

7

30

35

32,5

89

8

35

40

37,5

78

9

40

45

42,5

56

10

45

50

47,5

28

11

50

55

52,5

8

12

55

60

57,5

2

Granica

Przedział

klasowy

Środek

przedziału

klasowego

Liczność

przedziału

klasowego

Przyk

Przyk

ł

ł

ad

ad

szeregu

szeregu

rozdzielczego:

rozdzielczego:

OPIS PR

OPIS PR

Ó

Ó

BY O CHARAKTERZE ILO

BY O CHARAKTERZE ILO

Ś

Ś

CIOWYM

CIOWYM

KWANTYLE

KWANTYLE

‰

‰

Kwantyl

Kwantyl

–

–

tak

tak

a

a

warto

warto

ś

ś

ć

ć

cechy X, kt

cechy X, kt

ó

ó

r

r

a

a

dziel

dziel

i

i

zbiorowo

zbiorowo

ść

ść

na r

na r

ó

ó

wne cz

wne cz

ęś

ęś

ci pod wzgl

ci pod wzgl

ę

ę

dem

dem

liczebno

liczebno

ś

ś

ci (lub cz

ci (lub cz

ę

ę

sto

sto

ś

ś

ci)

ci)

¾

¾

cz

cz

ęś

ęś

ci te pozostaj

ci te pozostaj

ą

ą

w okre

w okre

ś

ś

lonych proporcjach do

lonych proporcjach do

siebie

siebie

¾

¾

aby dokonywa

aby dokonywa

ć

ć

takiego podzia

takiego podzia

ł

ł

u zbiorowo

u zbiorowo

ść

ść

musi by

musi by

ć

ć

uporz

uporz

ą

ą

dkowana

dkowana

wed

wed

ł

ł

ug

ug

rosn

rosn

ą

ą

cych

cych

warto

warto

ś

ś

ci cechy X

ci cechy X

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

∑

−1

0

s

i

i

Q

Q

Q

Q

s

f

N

f

i

x

Q

s

s

s

s

N

N

Qs

Qs

–

–

numer

numer

kwantyla

kwantyla

x

x

0Qs

0Qs

–

–

dolna granica klasy

dolna granica klasy

kwantyla

kwantyla

OPIS PR

OPIS PR

Ó

Ó

BY O CHARAKTERZE ILO

BY O CHARAKTERZE ILO

Ś

Ś

CIOWYM

CIOWYM

KWARTYLE

KWARTYLE

‰

‰

Kwartyl

Kwartyl

-

-

tak

tak

a

a

warto

warto

ś

ś

ć

ć

cechy X, kt

cechy X, kt

ó

ó

r

r

a

a

dziel

dziel

i

i

zbiorowo

zbiorowo

ść

ść

na

na

cztery

cztery

r

r

ó

ó

wne cz

wne cz

ęś

ęś

ci pod wzgl

ci pod wzgl

ę

ę

dem

dem

liczebno

liczebno

ś

ś

ci (lub cz

ci (lub cz

ę

ę

sto

sto

ś

ś

ci)

ci)

¾

¾

kwarty

kwarty

l

l

1

1

(Q1)

(Q1)

-

-

25% z lewej i 75% populacji z

25% z lewej i 75% populacji z

prawej strony

prawej strony

kwartyla

kwartyla

¾

¾

kwartyl

kwartyl

2

2

(Q2

(Q2

–

–

Me

Me

-

-

mediana)

mediana)

-

-

50% z lewej i 50% populacji z prawej strony

50% z lewej i 50% populacji z prawej strony

kwartyla

kwartyla

¾

¾

kwartyl

kwartyl

3

3

(Q3)

(Q3)

-

-

75% z lewej i 25% populacji z

75% z lewej i 25% populacji z

prawej strony

prawej strony

kwartyla

kwartyla

WNIOSKOWANIE NA PODSTAWIE

WNIOSKOWANIE NA PODSTAWIE

PR

PR

Ó

Ó

BY

BY

–

–

DLA CA

DLA CA

Ł

Ł

EJ POPULACJI

EJ POPULACJI

‰

‰

Ś

Ś

rednia pr

rednia pr

ę

ę

dko

dko

ść

ść

chwilowa pojazd

chwilowa pojazd

ó

ó

w w tym

w w tym

samym przekroju (w podobnych warunkach):

samym przekroju (w podobnych warunkach):

¾

¾

Pomiar

Pomiar

1

1

: V

: V

ś

ś

r

r

=82,7 [km/h]

=82,7 [km/h]

¾

¾

Pomiar

Pomiar

1

1

: V

: V

ś

ś

r

r

=78,9 [km/h]

=78,9 [km/h]

¾

¾

Pomiar

Pomiar

1

1

: V

: V

ś

ś

r

r

=80,1 [km/h]

=80,1 [km/h]

¾

¾

Pomiar

Pomiar

1

1

: V

: V

ś

ś

r

r

=83,6 [km/h]

=83,6 [km/h]

¾

¾

Pomiar

Pomiar

1

1

: V

: V

ś

ś

r

r

=81,2 [km/h]

=81,2 [km/h]

To jak jest naprawd

To jak jest naprawd

ę

ę

?

?

dr inż. M. Bauer - STATYSTYKA
MATEMATYCZNA W INŻYNIERII

2

ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIA

ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIA

Ł

Ł

OWA

OWA

WARTO

WARTO

Ś

Ś

CI

CI

Ś

Ś

REDNIEJ I WSKA

REDNIEJ I WSKA

Ź

Ź

NIKA STRUKTURY

NIKA STRUKTURY

‰

‰

ESTYMACJA PUNKTOWA

ESTYMACJA PUNKTOWA

–

–

warto

warto

ść

ść

ś

ś

rednia

rednia

(

(

odchylenie standardowe,

odchylenie standardowe,

wska

wska

ź

ź

nik struktury) z pr

nik struktury) z pr

ó

ó

by

by

jest estymatorem punktowym warto

jest estymatorem punktowym warto

ś

ś

ci oczekiwanej

ci oczekiwanej

(spodziewanego

(spodziewanego

odchylenia standardowego,

odchylenia standardowego,

wska

wska

ź

ź

nika struktury) w populacji

nika struktury) w populacji

‰

‰

ESTYMACJA PRZEDZIA

ESTYMACJA PRZEDZIA

Ł

Ł

OWA

OWA

–

–

przedzia

przedzia

ł

ł

ufno

ufno

ś

ś

ci

ci

dla warto

dla warto

ś

ś

ci

ci

ś

ś

redniej (

redniej (

odchylenia standardowego,

odchylenia standardowego,

wska

wska

ź

ź

nika struktury)

nika struktury)

¾

¾

poziom ufno

poziom ufno

ś

ś

ci

ci

1

1

-

-

α

α

–

–

prawdopodobie

prawdopodobie

ń

ń

stwo,

stwo,

ż

ż

e

e

przedzia

przedzia

ł

ł

ufno

ufno

ś

ś

ci pokryje warto

ci pokryje warto

ść

ść

oczekiwan

oczekiwan

ą

ą

(na

(na

og

og

ó

ó

ł

ł

: 1

: 1

-

-

α

α

= 0,99; 0,95; 0,90)

= 0,99; 0,95; 0,90)

¾

¾

gdy pr

gdy pr

ó

ó

ba ma

ba ma

ł

ł

a:

a:

liczba stopni swobody:

liczba stopni swobody:

n

n

-

-

1

1

PRZEDZIA

PRZEDZIA

Ł

Ł

UFNO

UFNO

Ś

Ś

CI

CI

DLA WARTO

DLA WARTO

Ś

Ś

CI

CI

Ś

Ś

REDNIEJ

REDNIEJ

‰

‰

PR

PR

Ó

Ó

BA MA

BA MA

Ł

Ł

A (poni

A (poni

ż

ż

ej 30 element

ej 30 element

ó

ó

w)

w)

n

u

x

n

u

x

σ

μ

σ

α

α

⋅

+

<

<

⋅

−

‰

‰

PR

PR

Ó

Ó

BA DU

BA DU

Ż

Ż

A (powy

A (powy

ż

ż

ej 30 element

ej 30 element

ó

ó

w)

w)

–

–

obliczenia

obliczenia

za pomoc

za pomoc

ą

ą

szeregu rozdzielczego

szeregu rozdzielczego

t

t

α

α

(1

(1

-

-

α

α

; n

; n

-

-

1)

1)

–

–

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik ufno

czynnik ufno

ś

ś

ci z rozk

ci z rozk

ł

ł

adu Studenta

adu Studenta

u

u

α

α

(1

(1

-

-

α

α

)

)

–

–

wsp

wsp

.

.

ufno

ufno

ś

ś

ci z rozk

ci z rozk

ł

ł

adu Normalnego stand.

adu Normalnego stand.

n

t

x

n

t

x

σ

μ

σ

α

α

⋅

+

<

<

⋅

−

TABLICE STATYSTYCZNE (1)

TABLICE STATYSTYCZNE (1)

Poziom ufności 1-α

0,999 0,99 0,95 0,90 0,85 0,80

Poziom istotności α

0,001 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20

Dwustronny

obszar

krytyczny

3,29 2,58 1,96 1,64 1,44 1,28

Jednostronny

obszar

krytyczny

3,09 2,33 1,65 1,28 1,04 0,84

Rozkład Normalny standaryzowany – u

α

(1-α)

dwustronny obszar krytyczny

Mean,Std. Dev.

0,1

Normal Distribution

Probability = 0,0500002

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

de

nsity

TABLICE

TABLICE

STATYSTYCZNE

STATYSTYCZNE

(2)

(2)

Rozkład t-Studenta

t

α

(1-α; n-1)

dwustronny obszar

krytyczny

Liczba

stopni

swobody

1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 15 20 30 60

Poziom ufności 1-α=0,95
Poziom istotności α=0,05

(Dwustronny obszar krytyczny)

12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,23 2,18 2,13 2,09 2,04 2,00

Poziom ufności 1-α=0,90
Poziom istotności α=0,10

(Dwustronny obszar krytyczny)

Poziom istotności α=0,05

(Jednostronny obszar krytyczny)

6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,81 1,78 1,75 1,72 1,70 1,67

Poziom istotności α=0,10

(Jednostronny obszar krytyczny)

3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,42 1,40 1,37 1,35 1,34 1,32 1,31 1,30

D. F.

20

Student's t Distribution

Probability = 0,05

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

den

si

ty

PRZYK

PRZYK

Ł

Ł

AD: PRZEDZIA

AD: PRZEDZIA

Ł

Ł

UFNO

UFNO

Ś

Ś

CI

CI

DLA WARTO

DLA WARTO

Ś

Ś

CI

CI

Ś

Ś

REDNIEJ

REDNIEJ

Q: 358, 339, 316, 408, 376, 382, 356, 364, 321, 299

Q: 358, 339, 316, 408, 376, 382, 356, 364, 321, 299

[P/h]

[P/h]

Przeprowadzono badania wielko

Przeprowadzono badania wielko

ś

ś

ci nat

ci nat

ęż

ęż

e

e

ń

ń

ruchu

ruchu

pojazd

pojazd

ó

ó

w w przekroju ulicy w godzinie szczytu

w w przekroju ulicy w godzinie szczytu

popo

popo

ł

ł

udniowego (15:00

udniowego (15:00

-

-

16:00) w ci

16:00) w ci

ą

ą

gu kolejnych 10

gu kolejnych 10

dni roboczych. Wykorzystano wyniki pomiar

dni roboczych. Wykorzystano wyniki pomiar

ó

ó

w

w

detekcyjnych. Wyznaczy

detekcyjnych. Wyznaczy

ć

ć

warto

warto

ść

ść

ś

ś

redni

redni

ą

ą

i

i

odchylenie standardowe nat

odchylenie standardowe nat

ęż

ęż

enia ruchu pojazd

enia ruchu pojazd

ó

ó

w.

w.

Oszacowa

Oszacowa

ć

ć

punktowo i przedzia

punktowo i przedzia

ł

ł

owo (na poziomie

owo (na poziomie

ufno

ufno

ś

ś

ci 0,95 warto

ci 0,95 warto

ść

ść

oczekiwan

oczekiwan

ą

ą

nat

nat

ęż

ęż

enia ruchu

enia ruchu

pojazd

pojazd

ó

ó

w w analizowanym przekroju.

w w analizowanym przekroju.

PRZYK

PRZYK

Ł

Ł

AD: PRZEDZIA

AD: PRZEDZIA

Ł

Ł

UFNO

UFNO

Ś

Ś

CI

CI

DLA WARTO

DLA WARTO

Ś

Ś

CI

CI

Ś

Ś

REDNIEJ

REDNIEJ

¾

¾

Pr

Pr

ó

ó

ba ma

ba ma

ł

ł

a: n = 10

a: n = 10

¾

¾

Warto

Warto

ść

ść

ś

ś

rednia

rednia

(

(

oszacowanie punktowe w. oczekiwanej

oszacowanie punktowe w. oczekiwanej

)

)

]

/

[

352

10

3519

10

299

321

364

356

382

376

408

316

339

358

1

h

P

n

x

x

n

i

i

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

∑

=

−

¾

¾

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe

]

/

[

33

9

10043

1

10

)

352

299

(

)

352

358

(

1

)

(

2

2

1

2

2

h

P

n

x

x

s

n

i

i

=

=

−

−

+

+

−

=

−

−

=

∑

=

−

K

¾

¾

Wsp

Wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik ufno

czynnik ufno

ś

ś

ci z rozk

ci z rozk

ł

ł

adu Studenta

adu Studenta

t

t

α

α

(0,95; 10

(0,95; 10

-

-

1) = 2,27

1) = 2,27

¾

¾

Przedzia

Przedzia

ł

ł

ufno

ufno

ś

ś

ci dla warto

ci dla warto

ś

ś

ci oczekiwanej

ci oczekiwanej

10

33

27

,

2

352

10

33

27

,

2

352

⋅

+

≤

≤

⋅

−

m

]

/

[

376

328

h

P

m

≤

≤

dr inż. M. Bauer - STATYSTYKA
MATEMATYCZNA W INŻYNIERII

3

PRZEDZIA

PRZEDZIA

Ł

Ł

UFNO

UFNO

Ś

Ś

CI

CI

DLA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO

DLA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO

‰

‰

PR

PR

Ó

Ó

BA MA

BA MA

Ł

Ł

A (poni

A (poni

ż

ż

ej 30 element

ej 30 element

ó

ó

w)

w)

1

2

2

2

2

c

s

n

c

s

n

⋅

<

<

⋅

σ

‰

‰

PR

PR

Ó

Ó

BA DU

BA DU

Ż

Ż

A (powy

A (powy

ż

ż

ej 30 element

ej 30 element

ó

ó

w)

w)

–

–

obliczenia

obliczenia

za pomoc

za pomoc

ą

ą

szeregu rozdzielczego

szeregu rozdzielczego

c

c

2

2

(1

(1

-

-

α

α

/2

/2

; n

; n

-

-

1)

1)

–

–

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik ufno

czynnik ufno

ś

ś

ci z rozk

ci z rozk

ł

ł

adu

adu

Chi

Chi

-

-

kwadrat

kwadrat

(dla dolnej granicy przedzia

(dla dolnej granicy przedzia

ł

ł

u ufno

u ufno

ś

ś

ci)

ci)

c

c

1

1

(

(

α

α

/2

/2

; n

; n

-

-

1)

1)

–

–

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik ufno

czynnik ufno

ś

ś

ci z rozk

ci z rozk

ł

ł

adu

adu

Chi

Chi

-

-

kwadrat

kwadrat

(dla g

(dla g

ó

ó

rnej granicy przedzia

rnej granicy przedzia

ł

ł

u ufno

u ufno

ś

ś

ci)

ci)

u

u

α

α

(1

(1

-

-

α

α

)

)

–

–

wsp

wsp

.

.

ufno

ufno

ś

ś

ci z rozk

ci z rozk

ł

ł

adu Normalnego stand

adu Normalnego stand

aryzowanego

aryzowanego

n

u

s

n

u

s

2

1

2

1

α

α

σ

−

<

<

+

TABLICE

TABLICE

STATYSTYCZNE

STATYSTYCZNE

(3)

(3)

Rozkład Chi-

kwadrat

c

2

=Χ

2

(1-α/2; n-1)

c

1

=Χ

2

(α/2; n-1)

OPIS PR

OPIS PR

Ó

Ó

BY O CHARAKTERZE

BY O CHARAKTERZE

JAKO

JAKO

Ś

Ś

CIOWYM

CIOWYM

-

-

WSKA

WSKA

Ź

Ź

NIK STRUKTURY

NIK STRUKTURY

‰

‰

PR

PR

Ó

Ó

BA MA

BA MA

Ł

Ł

A I DU

A I DU

Ż

Ż

A (o sensownej liczno

A (o sensownej liczno

ś

ś

ci,

ci,

najlepiej, gdy n

najlepiej, gdy n

≥

≥

100

100

)

)

m

m

–

–

liczba element

liczba element

ó

ó

w wyr

w wyr

ó

ó

ż

ż

nionych

nionych

n

n

–

–

liczebno

liczebno

ść

ść

pr

pr

ó

ó

by pomiarowej

by pomiarowej

n

m

p

=

−

Wska

Wska

ź

ź

nika struktury nie podajemy w %

nika struktury nie podajemy w %

PRZEDZIA

PRZEDZIA

Ł

Ł

UFNO

UFNO

Ś

Ś

CI

CI

DLA WSKA

DLA WSKA

Ź

Ź

NIKA STRUKTURY

NIKA STRUKTURY

‰

‰

PR

PR

Ó

Ó

BA MA

BA MA

Ł

Ł

A I DU

A I DU

Ż

Ż

A

A

u

u

α

α

(1

(1

-

-

α

α

)

)

–

–

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

ufno

ufno

ś

ś

ci z rozk

ci z rozk

ł

ł

adu Normalnego

adu Normalnego

standaryzowanego N[0;1]

standaryzowanego N[0;1]

przedzia

przedzia

ł

ł

ufno

ufno

ś

ś

ci wyznacza si

ci wyznacza si

ę

ę

tylko dla

tylko dla

:

:

p = [0,05; 0,95]

p = [0,05; 0,95]

n

p

p

u

p

p

n

p

p

u

p

)

1

(

)

1

(

−

⋅

⋅

+

<

<

−

⋅

⋅

−

α

α