Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1

Metody numeryczne (analiza numeryczna

)

- nauka zajmująca się rozwiązywaniem problemów matematycznych
metodami arytmetycznymi
- sztuka doboru spośród wielu możliwych procedur takiej, która jest
„najlepiej” dostosowana do rozwiązania danego zadania
Mathematics + Computer Science + Engineering = Scientific
Computing

Oszacowanie błędu numerycznego obliczenia

przy n+1

obliczeniach wartości f(x)

∫

b

a

dz

)

x

(

f

Metoda trapezów

2

1

3

12n

)

(

''

f

)

a

b

(

ξ

−

Metoda Simpsona

4

2

4

5

180 n

)

(

f

)

a

b

(

)

(

ξ

−

W1 - 1

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1

1. Odpowiednie sformułowanie zadania
2. Metoda numeryczna + analiza błędu
3. Algorytm
4. Implementacja

1. Błąd danych wejściowych
2. Błąd zaokrągleń w czasie obliczeń
3. Błąd metody (obcięcia)
4. Błąd wnoszony przez uproszczenia modelu matematycznego
5. Błąd człowieka

a~

jest przybliżeniem wartości dokładnej a

a

Błąd bezwzględny:

a~

a

−

=

Δ

Błąd względny:

0

≠

−

=

Δ

=

a

,

a

a

a~

a

a

a

ε

a

)

(

a

a

a

a~

a

a

a

ε

ε

+

=

+

=

Δ

+

=

1

0

1

≠

−

=

−

=

Δ

=

a

,

a

a~

a

a

a~

a

a

a

ε

uogólnienie na wartości wektorowe

szacowanie modułów błędów

W1 - 2

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1

Przenoszenie się błędów w obliczeniach numerycznych

1. Analiza bezpośrednia krok po kroku – analiza przedziałowa:

4

4

.

y~

=

poprawnie zaokrąglona, więc

45

4

35

4

.

y

.

<

<

05

0.

y

<

Δ

0115

.

0

35

.

4

05

.

0

=

<

y

ε

0976

2.

y~

=

1095

2

0857

2

.

y

.

<

<

0119

0.

y

<

Δ

0057

0.

y

<

ε

3

10.

x~

=

poprawnie zaokrąglona, więc

35

10

25

10

.

x

.

<

<

05

0.

x

<

Δ

049

0

25

10

05

0

.

.

.

x

=

<

ε

.....................................................................

5175

.

2

)

~

~

ln(

~

=

+

=

y

x

z

5225

.

2

)

ln(

5125

.

2

<

+

<

y

x

005

.

0

<

Δ

z

0020

.

0

<

z

ε

W1 - 3

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1

2. Wykorzystanie podstawowych wzorów

1

1

1

ε

,

x~

,

x

,

2

2

2

ε

,

x~

,

x

Iloczyn:

2

1

x

x

y

=

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

+

≈

−

+

+

=

−

+

+

=

−

=

)

)(

(

x

x

)

(

x

)

(

x

x

x

x~

x~

y

więc

2

1

ε

ε

ε

+

<

y

Pierwiastek:

x

y

=

ε

ε

ε

ε

ε

ε

2

1

1

8

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

≈

−

+

−

+

=

−

+

=

−

+

=

−

=

.....

)

(

x

)

(

x

x

x~

y

więc

ε

ε

2

1

<

y

Iloraz:

2

1

x

x

y

=

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

−

≈

+

−

=

−

+

+

=

−

+

+

=

−

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

x

x

)

(

x

x~

x

x

x~

y

więc

2

1

ε

ε

ε

+

<

y

Suma:

2

1

x

x

y

±

=

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

)

(

x

)

(

x

x

x

x~

x~

y

±

±

±

=

−

±

+

±

+

=

−

±

±

=

ε

ε

ε

ε

ε

więc

2

2

1

2

1

2

1

1

ε

ε

ε

x

x

x

x

x

x

y

±

+

±

<

W1 - 4

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1

3. Metoda przybliżona – metoda różniczki zupełnej

)

x

,...,

x

,

x

(

x

n

2

1

=

)

x~

,...,

x~

,

x~

(

x~

n

2

1

=

,

)

x

(

y

)

x~

(

y

y

−

=

Δ

)

x

(

y

i

x

n

i

i

y

)

x~

(

x

y

Δ

∂

∂

≈

Δ

∑

=1

i

x

n

i

i

y

)

x~

(

x

y

Δ

∂

∂

<

Δ

∑

=1

i

i

x

n

i

i

i

i

x

n

i

i

i

y

y

)

x~

(

x

y

y

x

x

)

x~

(

x

y

y

x

y

ε

ε

∑

∑

=

=

∂

∂

=

Δ

∂

∂

≈

Δ

=

1

1

i

x

n

i

i

i

y

)

x~

(

x

y

y

x

ε

ε

∑

=

∂

∂

<

1

metodą przybliżoną

0024

.

0

<

z

ε

W1 - 5