Stat
yst
yk
a
1.
Zmienne
loso
w
e
cią
głe
sk
ok
ow
e
jak
ościo
w
e
2.
Rozkłady
zmienn
yc
h
loso
wyc
h
dla
cec
h
cią
głyc
h
(Normaln
y,
t–Studen
ta)
sk
ok
ow
e
(dwumiano
wy
,
P
oissona)
3.
Est
ymacja
punkto
w
a
i
przedziało
w
a
dla
cec
h
cią
głyc
h
(µ
)
sk
ok
ow
e
(p
)
4.
T
esto
w
anie
hip
otez
dla
cec
h
cią
głyc
h
(H
0
:
µ
=
µ
0
)
sk
ok
ow
e
(H
0
:
p
=
p
0
)
RP
ek
onometr
ia
1
Ek
onometria
Rob
ert
Pietrzyk
owski
rob
ert.pietrzyk
o
wski@omega.sggw.w
a
w.pl
Nauk
a
za
jm
ująca
się
ustalaniem
za
p
omo
cą
meto
d
matemat
yczno–stat
yst
yczn
yc
h
ilościo
wyc
h
pra
widło
w
ości
w
życiu
gosp
odarczym
Encyklop
edia
P
opularna
PWN,
W
arsza
w
a
1982
Dział
ek
onomii,
który
za
jm
uje
się
mierzeniem
za-
leżności
występującyc
h
między
różn
ymi
wielk
ościami
ek
onomiczn
ymi
Mały
Ilustro
w
an
y
Leksyk
on
PWN,
W
arsza
w
a
1997
RP
ek
onometr
ia
2
P
o
dsta
w
o
w
e
p
o
jęcia
P
opulacja.
Zbioro
w
ość
z
przyna
jmniej
jedną
wsp
ólną
własno-
ścią
i
przyna
jmniej
jedną
cec
hą,
której
w
artościami
jednostki
p
opulacji
mogą
się
różnić.
Zmienna
loso
w
a.
Cec
ha,
której
w
artości
są
przyjmo
w
ane
przez
jed-
nostki
p
opulacji
w
sp
osób
loso
wy
.
Rozkład
pra
wdop
o
dobieńst
w
a.
Określa
pra
wdop
obieńst
w
o
przyjęcia
w
artości
przez
zmienną
loso
w
ą.
Próba.
Loso
w
o
wybrana
część
p
opulacji
na
p
o
dsta
wie
któ-
rej
wnioskujem
y
o
rozkładzie
pra
wdop
o
dobieńst
w
a
zmiennej
loso
w
ej
w
całej
p
opulacji.
Hip
oteza
stat
yst
yczna.
Do
w
olne
przypuszczenie
dot
yczące
rozkładu
pra
w-
dop
o
dobieńst
w
a
zmiennej
loso
w
ej.
T
est
stat
yst
yczn
y.
Pro
cedura
stat
yst
yczna
ma
jąca
na
celu
w
eryfik
ację
hip
otezy
stat
yst
ycznej
(o
drzucić,
nie
o
drzucić).
RP
E
k
onometr
ia
3
Błąd
I
ro
dza
ju.
Odrzucenie
hip
otezy
stat
yst
ycznej,
która
w
rzeczy-
stości
jest
pra
wdziw
a.
Błąd
II
ro
dza
ju.
Nie
o
drzucenie
hip
otezy
stat
yst
ycznej,
która
w
rze-
czystości
jest
fałszyw
a.
P
oziom
istotności.
Dopuszczane
ryzyk
o
p
op
ełnienia
błędu
I
ro
dza
ju.
Est
ymacja
punkto
w
a.
Oszaco
w
anie
na
p
o
dsta
wie
prób
y
za
p
omo
cą
jednej
liczb
y
nieznanej
w
artości
parametru
zmiennej
loso-
w
ej.
Est
ymacja
przedziało
w
a.
Wyznaczenie
na
p
o
dsta
wie
prób
y
przedziału
p
okry-
w
a
jącego
nieznaną
w
artość
parametru
ze
z
góry
za-
dan
ym
pra
wdop
o
dobieńst
w
em
(p
oziomem
ufności).
RP
E
k
onometr
ia
4
......
......
.......
.......
.......
........
........
.........
..........
............
...............
..............
.............
............
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
............
.............
..............
................
...................
............................
..........................................................................
..............
...........
..........
.........
........
........
.......
.......
.......
.......
.......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
.......
.......
.......
.......
.......
........
........
.........
........
........
.......
.......
.......
.......
.......
......
......
......
......
......
.
......
.......
.......
.......
........
.........
..........
..............
..............
............
............
...........
...........
...........
...........
............
.............
..............
................
.......................
.....................................................................
............
..........
.........
........
.......
.......
.......
.......
......
......
......
......
......
......
......
......
.......
.......
.......
.......
........
.........
........
.......
.......
.......
.......
......
......
......
......
.
...................................................................................................................................................................................................
.........
.........
.........
...
.......
.......
.......
.......
.......
....
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
...................
............
...........
............
............
............
...
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
................
.............
.............
.........................
..............
P
opulacja
Próba
Wnioski
o
p
opulacji
Wnioski z
prób
y
RP
E
k
onometr
ia
5
Rozkład
normaln
y
Zmienna
loso
w
a
X
ma
rozkład
normaln
y
N
(µ,
σ
2
)
o
w
artości
średniej
µ
iw
ariancji
σ
2
,jeżeli
jej
funk
cja
gęstości
wyraża
się
wzorem
f
µ,σ
2
(x
)
=
1
σ
√
2π
e
−
1
2
(
x
−
µ
σ
)
2
,
−∞
<
x
<
∞
.
E
X
=
µ
D
2
X
=
σ
2
.
µ
=
0
µ
=
−
1
µ
=
1
µ
=
1
RP
E
k
onometr
ia
6
Y
1
,.
..
,Y
m
—
zmienne
zależne
X
1
,.
..
,X
p
—
zmienne
niezależne
(czynniki)
Czy
istnieje
zależność
między
Y
-ami
a
X
–ami?
Jaki
jest
charakter
zależności?
Ilościo
w
e
przedsta
wienie
zależności.
Analiza
dynamiki
zja
wisk.
RP
E
k
onometr
ia
7
Założenia
1.
Wszystkie
zmienne
są
zmienn
ymi
ilościo
wymi.
2.
Zmienne
zależne
są
loso
w
e
o
rozkładac
h
normal-
nyc
h.
3.
Czynniki
są
loso
w
e
o
rozkładac
h
normaln
yc
h.
4.
Czynniki
są
determinist
yczne.
Rozw
ażane
sytuacje
Y
1
,.
..
,Y
m
—
zmienne
zależne
X
1
,.
..
,X
p
—
zmienne
niezależne
(czynniki)
1.
m
=
1,
p
=
1
2.
m
=
1,
p
=
2
RP
E
k
onometr
ia
8
Loso
w
e
czynniki
m
=
1
p
=
1
Obserwujem
y
dwie
cec
hy:
X
oraz
Y
Obiekt
−
→
(X
,Y
)
1.
Czy
cec
hy
X
oraz
Y
są
niezależne?
2.
Opis
ilościo
wy
zależności.
3.
Wnioski.
Założenie:
Łączn
y
rozkład
cec
h
X
,Y
jest
normaln
y
RP
E
k
onometr
ia
9
Wsp
ółczynnik
korelacji
Opis
jak
ościo
wy
zależności
Wsp
ółczynnik
korelacji
jest
miernikiem
zależności
między
dwiema
cec
hami
Oznaczenie:
%
Własności
wsp
ółczynnik
a
korelacji
1.
Wsp
ółczynnik
korelacji
jest
liczbą
niemiano
w
aną
2.
%
∈
h−
1,
1i
3.
Jeżeli
%
>
0,
to
większym
w
artościom
jednej
ce-
ch
y
odp
owiada
ją
(średnio)
większe
w
artości
dru-
giej
cec
hy
.Zależność
do
datnia
(rosnąca,
st
ym
ulu-
jąca).
4.
Jeżeli
%
<
0,
to
większym
w
artościom
jednej
cec
hy
odp
owiada
ją
(średnio)
mniejsze
w
artości
drugiej
cec
hy
.
Zależność
ujemna
(malejąca,
limitująca).
RP
E
k
onometr
ia
10
5.
Jeżeli
%
=
0,
to
b
ez
względu
na
w
artości
przyjmo-
w
ane
przez
jedną
z
cec
h,
średnie
w
artości
drugiej
cec
hy
są
takie
same.
Cec
hy
niesk
orelo
w
ane.
6.
Jeżeli
%
=
±
1,
to
istnieją
takie
liczb
y
rzeczywiste
a
oraz
b,
że
Y
=
aX
+
b.
Jeżeli
%
=
1,
to
a
>
0.
Jeżeli
%
=
−
1,
to
a
<
0.
Wsp
ółczynnik
korelacji
jest
miernikiem
linio
w
ej
za-
leżności
między
cec
hami
X
oraz
Y
.
Im
|%
|
jest
bliższe
1,
tym
bardziej
„linio
w
a”
jest
za-
leżność
między
cec
hami.
7.
Jeżeli
(X
,Y
)
ma
dwu
wymiaro
wy
rozkład
normal-
ny
,
to
%
=
0
jest
ró
wno
w
ażne
niezależności
cec
h
X
,Y
.
RP
E
k
onometr
ia
11
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
%
=0.00
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
%
=0.75
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • •
• ••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
%
=0.95
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• ••
• ••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
• •
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
• •
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
• ••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
• •
•
•
•
• •
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
••
•
•
• •
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
••
•
%
=1.00
RP
E
k
onometr
ia
12
Wsp
ółczynnik
korelacji
między
cec
hami
X
i
Y
%
=
ko
w
ariancja(
X
,Y
)
√
D
2
X
·
D
2
Y
Niec
h
(X
1
,Y
1
),
(X
2
,Y
2
),
..
.,
(X
n
,Y
n
)
b
ędzie
próbą
Wsp
ółczynnik
korelacji
z
prób
y
(próbk
owy)
R
=
co
v(
X
,Y
)
√
var
X
√
var
Y
Wsp
ółczynnik
korelacji
P
earsona
Suma
ilo
czynó
w
o
dc
h
yleń
co
v(
X
,Y
)
=
n
X
i=1
(X
i
−
¯ X
)(
Y
i
−
¯ Y
)
n
X
i=1
X
i
Y
i
−
n
¯ X
¯ Y
=
n
X
i=1
X
i
Y
i
−
1
n
n
X
i=1
X
i
!
n
X
i=1
Y
i
!
RP
E
k
onometr
ia
13
H
0
:
Cec
hy
X
oraz
Y
są
niezależne
m
H
0
:
%
=
0
T
est
wsp
ółczynnik
a
korelacji
P
earsona
(p
oziom
istotności
α
)
Próba:
(X
i
,Y
i
),
i
=
1,
..
.,
n
Stat
yst
yk
a
testo
w
a
R
=
co
v(
X
,Y
)
√
var
X
√
var
Y
W
artość
kryt
yczna
r(
α
;n
)
(dwustronna)
Jeżeli
|R
|
>
r(
α
;n
),
to
hip
otezę
H
0
odrzucam
y.
RP
E
k
onometr
ia
14
Ilościo
wy
opis
zależności
Zakładam
y
niezero
w
ość
wsp
ółczynnik
a
korelacji:
%
6=
0
Ilościo
wy
opis
zależności
Y
od
X
:
E
(Y
|X
=
x
)
=
f
(x
)
Funk
cja
f
nosi
nazw
ę
funk
cji
regresji
Przy
założeniu
normalności
f
(x
)
=
β
0
+
β
1
x
β
1
—
wsp
ółczynnik
regresji
β
0
—
stała
regresji
Zadanie:
oszaco
w
ać
parametry
funk
cji
regresji
RP
E
k
onometr
ia
15
Ocena
parametró
w
funk
cji
regresji
Próba
(X
1
,Y
1
),
..
.,
(X
n
,Y
n
)
Niezb
ędne
rac
hunki
¯ X
,
var
X
,
¯ Y
,
var
Y
,
co
v(
X
,Y
)
b β
1
=
co
v(
X
,Y
)
var
X
b β
0
=
¯ Y
−
b β
1
¯ X
Reszto
w
a
suma
kw
adrató
w
R
S
S
=
var
Y
(1
−
R
2
)
Reszto
w
a
suma
kw
adrató
w
reprezen
tuje
rozrzut
ob-
serw
acji
cec
hy
Y
w
ok
ół
dopaso
w
anej
funk
cji
regresji
W
ariancja
reszto
w
a
S
2
=
R
S
S
n
−
2
RP
E
k
onometr
ia
16
Przedział
ufności
dla
wsp
ółczynnik
a
regresji
(p
oziom
ufności
1−
α
)
W
ariancja
est
ymatora
b β
1
S
2 β
1
=
S
2
var
X
Przedział
ufności
β
1
∈
(bβ
1
−
t(
α
;n
−
2)
S
β
1
;bβ
1
+
t(
α
;n
−
2)
S
β
1
)
Przedział
ufności
dla
stałej
regresji
(p
oziom
ufności
1−
α
)
W
ariancja
est
ymatora
b β
0
S
2 β
0
=
S
2
var
X
var
X
n
+
¯ X
2
Przedział
ufności
β
0
∈
(bβ
0
−
t(
α
;n
−
2)
S
β
0
;bβ
0
+
t(
α
;n
−
2)
S
β
0
)
RP
E
k
onometr
ia
17
Przykład.
W
p
ewnej
ro
dzinie
obserw
ow
ano
tygo-
dnio
w
e
wydatki
na
używki
(Uż)
i
art
ykuły
sp
ożyw-
cze
(Sp).
Na
p
odsta
wie
p
oniższyc
h
dan
yc
h
zbadać
istnienie
zależności.
Jeżeli
tak
a
zależność
istnieje,
to
opisać
ją
ilościo
w
o.
Uż
Sp
Uż
Sp
Uż
Sp
Uż
Sp
Uż
Sp
28
.50
45
.54
26
.55
44
.35
28
.37
44
.00
38
.31
42
.92
22
.78
45
.03
23
.61
45
.33
21
.55
45
.71
28
.15
44
.46
21
.94
46
.50
25
.76
45
.29
31
.22
43
.31
20
.77
46
.01
36
.71
43
.36
32
.69
43
.50
22
.39
45
.16
36
.38
42
.33
25
.11
46
.12
29
.57
44
.39
34
.51
43
.82
28
.19
44
.76
35
.99
42
.40
26
.13
43
.82
29
.07
45
.05
39
.59
41
.77
29
.84
44
.01
38
.67
42
.31
19
.41
46
.10
27
.43
44
.11
29
.58
44
.29
30
.14
43
.91
19
.08
46
.28
27
.16
45
.52
39
.86
41
.98
27
.38
44
.74
28
.39
44
.29
28
.83
43
.39
27
.98
44
.59
34
.33
43
.34
33
.38
43
.01
40
.97
42
.14
35
.48
42
.68
30
.67
44
.01
41
.88
41
.98
28
.09
44
.40
21
.29
46
.61
24
.57
45
.10
28
.17
43
.91
26
.73
44
.20
33
.79
43
.26
26
.32
44
.92
Plan
działania
1.
Istnienie
zależności
2.
Ilościo
wy
opis
3.
Wnioski
RP
E
k
onometr
ia
18
41
42
43
44
45
46
47
20
25
30
35
40
•
p
omiary
• •
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
• ••
•
•
•
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
••
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
19.08
46.3036
19.41
46.23676
20.77
45.96131
21.29
45.85599
21.55
45.80333
21.94
45.72434
22.39
45.6332
22.78
45.55421
23.61
45.3861
24.57
45.19166
25.11
45.08229
25.76
44.95064
26.13
44.8757
26.32
44.83722
26.55
44.79064
26.73
44.75418
27.16
44.66709
27.38
44.62253
27.43
44.61241
27.98
44.50101
28.09
44.47873
28.15
44.46658
28.17
44.46253
28.19
44.45848
28.37
44.42202
28.39
44.41797
28.5
44.39569
28.83
44.32885
29.07
44.28024
29.57
44.17897
29.58
44.17695
29.84
44.12429
30.14
44.06353
30.67
43.95618
31.22
43.84479
32.69
43.54706
33.38
43.4073
33.79
43.32426
34.33
43.21489
34.51
43.17844
35.48
42.98197
35.99
42.87868
36.38
42.79969
36.71
42.73285
38.31
42.40879
38.67
42.33588
39.59
42.14954
39.86
42.09486
40.97
41.87004
41.88
41.68573
/
RP
E
k
onometr
ia
19
P
opulacja:
Cec
h
y:
X
:
tygo
dnio
w
e
wydatki
na
używki
Y
:
tygo
dnio
w
e
wydatki
na
art
ykuły
sp
ożyw
cze
Założenie:
normalność
rozkładó
w
badan
yc
h
cec
h
T
ec
hniki
stat
yst
yczne:
1.
W
eryfik
acja
hip
otezy
H
0
:
%
=
0
2.
Dopaso
w
anie
funk
cji
regresji
y
=
β
0
+
β
1
x
P
oziom
istotności
α
=
0.
05
P
oziom
ufności
1−
α
=
0.
95
RP
E
k
onometr
ia
20
W
eryfik
acja
hip
otezy
H
0
:
%
=
0
Obliczenie
próbk
ow
ego
wsp
ółczynnik
a
korelacji
R
=
co
v(
x,
y
)
√
var
x
√
var
y
n
=
50
¯x
=
29
.4652
X
x
2 i
=
45067
.8076
¯y
=
44
.2002
X
y
2 i
=
97762
.2887
X
x
i
y
i
=
64782
.5974
var
x
=
X
x
2 i
−
n
(¯x
)
2
=
1657
.907048
var
y
=
X
y
2 i
−
n
(¯y
)
2
=
79
.404698
co
v(
x,
y
)
=
X
x
i
y
i
−
n
¯x
¯y
=
−
335
.789252
RP
E
k
onometr
ia
21
Próbk
owy
wsp
ółczynnik
korelacji
R
=
−
335
.789252
√
1657
.907048
·
√
79
.404698
=
−
0.
9255
W
artość
kryt
yczna
wsp
ółczynnik
a
korelacji
P
earsona
r(0
.05;
50)
=
0.
2787
P
oniew
aż
|R
|
>
r(0
.05;
50),
więc
hip
otezę
o
zero
w
o-
ści
wsp
ółczynnik
a
korelacji
odrzucam
y.
Wniosek.
Wydatki
na
używki
(X
)
i
wydatki
na
art
ykuły
sp
o-
żyw
cze
(Y
)
są
od
siebie
zależne.
P
oniew
aż
wsp
ół-
czynnik
korelacji
jest
ujemn
y,
więc
zależność
ma
cha-
rakter
malejący
,tzn.
im
większe
są
wydatki
na
używ-
ki,
tym
mniejsze
(średnio)
na
art
ykuły
sp
ożyw
cze.
RP
E
k
onometr
ia
22
Ilościo
wy
opis
zależności
E
(Y
|X
=
x
)
=
β
0
+
β
1
x
b β
1
=
co
v(
x,
y
)
var
x
=
−
335
.789252
1657
.907048
=
−
0.
2025
b β
0
=
¯y−
b β
1
¯x
=
44
.2002
−
(−
0.
2025)
·
29
.4652
=
50
.1680
Zależność
między
średnim
kosztem
a
ilością
to
w
aru
opisana
jest
wzorem
średni
y
=
50
.1680
−
0.
2025
x
Ró
wnanie
to
ob
owiązuje
tylk
o
w
zakresie
między
min
x
i
=
41
a
max
x
i
=
47.
W
ariancja
reszto
w
a
s
2
=
var
Y
(1
−
R
2
)
(n
−
2)
=
0.
2374
RP
E
k
onometr
ia
23
Przedziały
ufności
W
artość
kryt
yczna
t(0
.05;
48)
=
2.
0106
Przedział
ufności
dla
wsp
ółczynnik
a
regresji
s
2 β
1
=
s
2
var
x
=
0.
0001432
β
1
∈
(bβ
1
−
t(
α
;n
−
2)
S
β
1
;bβ
1
+
t(
α
;n
−
2)
S
β
1
)
β
1
∈
(−
0.
2266
,−
0.
1785)
Wniosek:
zwiększenie
wydatk
ów
na
używki
o
jed-
nostk
ę
sp
ow
oduje
przeciętn
y
spadek
wydatk
ów
na
art
ykuły
sp
ożyw
cze
o
co
na
jmniej
0.
1785,
ale
nie
więcej
niż
0.
2266
(zaufanie
do
tak
sform
uło
w
anego
wniosku
wynosi
95%).
Przedział
ufności
dla
stałej
regresji
s
2 β
0
=
s
2
var
x
var
x
n
+
¯x
2
=
0.
1291
β
0
∈
(bβ
0
−
t(
α
;n
−
2)
s
β
0
;bβ
0
+
t(
α
;n
−
2)
s
β
0
)
β
0
∈
(49
.4457
,50
.8903)
RP
E
k
onometr
ia
24
41
42
43
44
45
46
47
20
25
30
35
40
•
p
omiary
• •
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
• ••
•
•
•
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
••
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
......
......
......
...
prosta
regresji
........
..........
.........
.........
.........
..........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
..........
.........
.........
..........
.........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
.........
..........
.........
..........
..........
..........
... .........
............
.........
..........
.........
...........
..........
..........
..........
.........
..........
.........
.........
.........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
..........
..........
.........
.........
..........
.........
..........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
..........
.........
.........
..........
..........
.........
.........
..........
.........
.........
........
RP
E
k
onometr
ia
25
Czynniki
determinist
yczne
m
=
1
p
=
1
Obserwujem
y
cec
hę
Y
oraz
zmienną
X
Obiekt
−
→
(X
,Y
)
1.
Prop
ozycja
funk
cji
regresji
f
.
2.
Dopaso
w
anie
zaprop
ono
w
anej
funk
cji.
3.
Ocena
jak
ości
dopaso
w
ania.
4.
Wnioski.
Założenie:
Cec
ha
Y
ma
rozkład
normaln
y
RP
E
k
onometr
ia
26
Regresja
prosta
Funk
cja
regresji
zależna
tylk
o
od
jednego
argumen
tu
Nazw
a
funk
cji
Wzór
funk
cji
Mo
del
Linio
w
a
a
+
bx
y
=
a
+
bx
P
otęgo
w
a
ax
b
ln
y
=
ln
a
+
b
ln
x
Wykładnicza
exp
(a
+
bx
)
ln
y
=
a
+
bx
T
ypu
S
exp
(a
+
b
x
)
ln
y
=
a
+
b
1 x
Hip
erb
oliczna
1
a
+
bx
1 y
=
a
+
bx
P
odw
ójnie
1
a
+
b/x
1 y
=
a
+
b
1 x
hip
erb
oliczna
Pierwiastk
ow
a
a
+
b
√
x
y
=
a
+
b
√
x
Logarytmiczna
a
+
b
ln
x
y
=
a
+
b
ln
x
RP
E
k
onometr
ia
27
regresja
linio
w
a
.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.......
regresja
p
otęgo
w
a
.........
..........
..........
..........
........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...........
..........
.........
........
........
........
........
........
.......
........
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
..
regresja
wykładnicza
.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
............
............
...........
..........
.........
.........
.........
........
.....
regresja
typu
S
.........
..........
..........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
...........
..........
...........
............
............
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.
regresja
hip
erb
oliczna
. ... .. ... .............. .. . .. ... . .. . ..
............. . .. ....... .
. .. .. .......... .
.. . ...........
...... .. ..
.. .. ......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
regresja
p
odw
ójnie
hip
erb
oliczna
......
......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
.......
.......
........
........
.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.
regresja
pierwiastk
ow
a
.......
.......
........
........
.........
..........
............
...........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.
regresja
logarytmiczna
......
......
......
.......
.......
.......
......
.......
........
........
.........
...........
.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.....
RP
E
k
onometr
ia
28
Funk
cja
regresji
E
(Y
|X
=
x
)
=
β
0
+
β
1
x
(Y
1
,X
1
),
..
.,
(Y
n
,X
n
)
—
obserw
acje
Mo
del
Y
i
=
β
0
+
β
1
x
i
+
ε
i
,
i
=
1,
..
.,
n,
ε
i
są
niezależn
ymi
zmienn
ymi
loso
wymi
o
tym
sa-
m
ym
rozkładzie
normaln
ym
N
(0
,σ
2
).
Est
ymacja
wsp
ółczynnik
ów
meto
dą
na
jmniejszyc
h
kw
adrató
w
Znaleźć
takie
β
0
i
β
1
by
n
X
i=1
(Y
i
−
(β
0
+
β
1
x
i
))
2
=
min
RP
E
k
onometr
ia
29
Meto
da
na
jmniejszyc
h
kw
adrató
w
X
i
Y
i
β
0
+
β
1
X
i
ε
i
•
•
•
•
•
•
•
•
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
......
.
......
.
Szuk
am
y
takic
h
parametró
w
β
0
,
β
1
ab
y
zminimali-
zo
w
ać
sumę
kw
adrató
w
reszt,
tzn.
n
X
i=1
ε
2 i
=
min
RP
E
k
onometr
ia
30
Rozwiązanie
b β
0
=
¯ Y
−
b β
1
¯x
b β
1
=
P
n
i=1
(x
i
−
¯x)(
Y
i
−
¯ Y
)
P
n
i=1
(x
i
−
¯x)
2
=
co
v(
X
,Y
)
var
X
Reszto
w
a
suma
kw
adrató
w
RSS
=
n
X
i=1
(Y
i
−
(bβ
0
+
b β
1
x
i
))
2
Ocena
w
ariancji
σ
2
S
2
=
var
Y
−
b β
1
co
v(
X
,Y
)
n
−
2
!
=
var
Y
−
var
R
n
−
2
RP
E
k
onometr
ia
31
Istnienie
zależności
W
eryfik
acja
hip
otezy
H
0
:
β
1
=
0
Źró
dło
Suma
Stopnie
Średnie
F
zmienności
kw
adrató
w
sw
ob
o
dy
kw
adrat
y
Regresja
var
R
1
s
2
R
=v
ar
R
s
2
R
/s
2
Błąd
RSS
n
−
2
s
2
=RSS
/
(n
−
2)
Całk
owita
var
Y
n
−
1
var
R
=
b β
1
co
v(
X
,Y
),
var
Y
=
n
X
i=1
(Y
i
−
¯ Y
)
2
Jeżeli
hip
oteza
H
0
:
β
1
=
0
jest
pra
wdziw
a,
to
F
=
s
2 R
s
2
ma
rozkład
F
z
(1
,n
−
2)
stopniami
sw
ob
ody
Hip
otezę
odrzucam
y,
jeżeli
F
>
F
(α
;1
,n
−
2)
F
(α
;1
,n
−
2)
—
w
artość
kryt
yczna
rozkładu
F
.
RP
E
k
onometr
ia
32
Przedział
ufności
dla
β
1
P
oziom
ufności
1−
α
β
1
∈
(bβ
1
−
t(
α
;n
−
2)
S
β
1
;bβ
1
+
t(
α
;n
−
2)
S
β
1
)
S
2 β
1
=
S
2
var
X
In
terpretacja
wsp
ółczynnik
a
regresji
β
1
jeżeli
w
artość
zmiennej
niezależnej
x
wzrośnie
o
jed-
nostk
ę,
to
średnia
w
artość
cec
hy
Y
zmieni
się
(wzro-
śnie
lub
zmaleje)
o
ok
oło
b β
1
jednostek,
a
dokładniej
zmieni
się
o
b β
1
±
t(
α
;n
−
2)
S
β
1
jednostek.
Przedział
ufności
dla
β
0
P
oziom
ufności
1−
α
β
0
∈
(bβ
0
−
t(
α
;n
−
2)
S
β
0
;bβ
0
+
t(
α
;n
−
2)
S
β
0
),
S
2 β
0
=
S
2
var
X
var
X
n
+
¯ X
2
RP
E
k
onometr
ia
33
Wsp
ółczynnik
determinacji
Niec
h
Y
i
=
β
0
+
β
1
x
i
+
ε
i
,i
=
1,
..
.,
n
oraz
niec
h
b Y
i
=
b β
0
+
b β
1
x
i
,i
=
1,
..
.,
n
Dla
par
(Y
i
,bY
i
)
wyznaczam
y
R
=
P
n
i=1
(Y
i
−
¯ Y
)(
b Y
i
−
¯ b Y
)
q
P
n
i=1
(Y
i
−
¯ Y
)
2
P
n
i=1
(bY
i
−
¯ b Y
)
2
.
RP
E
k
onometr
ia
34
Wsp
ółczynnik
determinacji
zmiennej
Y
przez
X
D
=
R
2
·
100%
=
P
(bY
i
−
¯ Y
)
2
P
(Y
i
−
¯ Y
)
2
·
100%
.
Jest
to
liczba
z
przedziału
(0%
,100%)
idopaso
w
anie
funk
cji
regresji
jest
tym
lepsze,
im
ten
wsp
ółczynnik
jest
wyższy
.
Rozkład
zmienności
cec
hy
Y
:
X
(Y
i
−
¯ Y
)
2
=
X
(Y
i
−
b Y
i
)
2
+
X
(bY
i
−
¯ Y
)
2
P
(Y
i
−
b Y
i
)
2
P
(Y
i
−
¯ Y
)
2
+
R
2
=
1.
Wsp
ółczynnik
determinacji
—
pro
cen
t
zmienności
cec
hy
Y
wyjaśnian
y
przez
funk
cję
regresji.
Jeżeli
funk
cja
regresji
jest
funk
cją
linio
w
ą,
to
D
=
(co
v(
Y
,X
))
2
var
X
var
Y
·
100%
RP
E
k
onometr
ia
35
Obszar
ufności
dla
prostej
regresji
y
=
β
0
+
β
1
x
Średnia
w
artość
cec
hy
Y
dla
ustalonego
X
=
x
by
(x
)
=
b β
0
+
b β
1
x
Obszar
ufności
(p
oziom
ufności
1−
α
)
E
(Y
|x
)∈
(by
(x
)−
t(
α
;n
−
2)
S
Y
;by
(x
)+
t(
α
;n
−
2)
S
Y
)
S
2 Y
=
S
2
1
n
+
(x
−
¯ X
)
2
var
X
Na
p
odsta
wie
obszaru
ufności
wnioskujem
y
o
w
ar-
tościac
h
średnic
h
cec
hy
Y
jedno
cześnie
dla
wielu
wybran
yc
h
w
artości
cec
hy
X
RP
E
k
onometr
ia
36
Predyk
cja
w
artości
zmiennej
Y
(x
)
W
artość
cec
hy
Y
dla
ustalonego
X
=
x
by
(x
)
=
b β
0
+
b β
1
x
Obszar
predyk
cji
(p
oziom
ufności
1−
α
)
Y
(x
)∈
(by
(x
)−
t(
α
;n
−
2)
S
y
(x
)
;by
(x
)+
t(
α
;n
−
2)
S
y
(x
)
)
S
2 y(
x
)
=
S
2
1
+
1
n
+
(x
−
¯ X
)
2
var
X
Na
p
odsta
wie
obszaru
predyk
cji
wnioskujem
y
o
w
ar-
tościac
h
cec
hy
Y
jedno
cześnie
dla
wielu
wybran
yc
h
w
artości
cec
hy
X
RP
E
k
onometr
ia
37
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
0
10
20
30
40
50
•
p
omiary
•
•
•
•
•
••
•
• •
•
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
•
• •
•
•
• •
•
• •
•
• •
• •
•
••
•
• •
••
• •
•
•
......
......
......
......
......
......
......
......
.
prosta
regresji
.......
.......
........
.......
........
.......
........
.......
.........
.......
........
.......
........
........
........
.......
........
.......
.......
.........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
.........
.......
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
........
........
.......
........
.......
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
........
........
.......
........
.......
........
.......
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
........
.......
.......
........
.......
..
......
.
......
.
......
.
......
.
obszar
ufności
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
...
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
...
......
......
......
....
......
......
..
obszar
predyk
cji
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
..
....
........
........
RP
E
k
onometr
ia
38
Przykład.
Badano
zależność
między
ceną
to
w
aru
a
p
op
ytem
na
ten
to
w
ar.
Na
p
odsta
wie
p
oniższyc
h
dan
yc
h
przepro
w
adzić
analizę
regresji.
Cena
P
op
yt
Cena
P
op
yt
Cena
P
op
yt
Cena
P
op
yt
Cena
P
op
yt
0
688
.
6660
20
305
.
2350
40
137
.
6316
60
59
.
2920
80
26
.
6664
1
668
.
5006
21
313
.
3761
41
119
.
8710
61
56
.
8174
81
24
.
5516
2
585
.
2404
22
274
.
8090
42
122
.
3169
62
57
.
1199
82
24
.
7466
3
620
.
7191
23
265
.
8115
43
112
.
8871
63
53
.
9587
83
21
.
1797
4
631
.
3066
24
263
.
9127
44
114
.
8166
64
52
.
7557
84
21
.
7877
5
555
.
6787
25
247
.
1726
45
110
.
2780
65
49
.
6954
85
20
.
9799
6
523
.
0394
26
227
.
9754
46
109
.
9141
66
44
.
5124
86
19
.
7234
7
510
.
7502
27
237
.
3264
47
101
.
6284
67
44
.
9967
87
18
.
6367
8
504
.
5449
28
229
.
8074
48
89
.
6586
68
44
.
3595
88
19
.
2405
9
459
.
9711
29
213
.
1303
49
93
.
1468
69
39
.
7275
89
17
.
4347
10
441
.
8514
30
201
.
1405
50
87
.
3825
70
39
.
8829
90
18
.
3870
11
463
.
2068
31
216
.
3138
51
82
.
7416
71
39
.
3322
91
15
.
9288
12
381
.
5119
32
195
.
3679
52
77
.
3328
72
35
.
1059
92
16
.
8617
13
422
.
1652
33
176
.
2760
53
76
.
7411
73
34
.
4407
93
14
.
2136
14
374
.
1622
34
184
.
1000
54
82
.
4336
74
33
.
2335
94
14
.
6192
15
397
.
3657
35
169
.
1835
55
68
.
8193
75
31
.
4761
95
13
.
7955
16
357
.
4174
36
160
.
1516
56
67
.
3987
76
30
.
4003
96
12
.
4930
17
331
.
1023
37
149
.
3296
57
64
.
2539
77
30
.
0409
97
12
.
7864
18
309
.
4546
38
148
.
2669
58
65
.
4210
78
30
.
1891
98
11
.
3360
19
295
.
2351
39
143
.
3767
59
61
.
5881
79
24
.
2257
99
11
.
6303
Plan
działania
1.
Prop
ozycja
funk
cji
regresji
2.
Dopaso
w
anie
funk
cji
regresji
3.
Istnienie
zależności
4.
Jak
ość
dopaso
w
ania
5.
Wnioski
RP
E
k
onometr
ia
39
p
op
yt
• •
•
••
• • •
• • •
•
•
• ••
• • •
•••
• ••
• ••
• • •
• • •
• • •
•••
• ••
•••
• • •
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
ln(p
op
yt)
•• •
•• •
•••
•••
•••
• • •
• ••
• ••
• • •
•• •
•••
•••
• ••
•• •
• ••
•• •
•••
• ••
• ••
•••
•••
•• •
•••
•••
•••
•••
• ••
•• •
•• •
•• •
• ••
•••
•• •
•
RP
E
k
onometr
ia
40
F
unk
cja
regresji
p
op
yt
=
exp
(a
+
b·
cena
)
Mo
del
ln(p
op
yt
)
=
β
0
+
β
1
·
cena
Y
=
ln
(p
op
yt)
x
=
cena
β
0
=
a
β
1
=
b
Dopaso
w
anie
funk
cji
regresji
¯x
=
49
.50
¯y
=
4.
5053771
var
x
=
82500
var
y
=
141
.2006027
co
v(
x,
y
)
=
−
3427
.7924020
b β
0
=
6.
541689
b β
1
=
−
0.
04114
s
2
=
0.
001932
RP
E
k
onometr
ia
41
Istnienie
zależności
H
0
:
β
1
=
0
Źró
dło
Suma
Stopnie
Średnie
F
zmienności
kw
adrató
w
sw
ob
o
dy
kw
adrat
y
Regresja
141
.0112
1
141
.0112
72973
.08
Błąd
0.
189373
98
0.
001932
Całk
owita
141
.2006
99
W
artość
kryt
yczna
F
(0
.05;
1,
98)
=
3.
938
Wniosek:
zaprop
ono
w
ana
funk
cja
regresji
może
opisyw
ać
za-
leżność
między
ceną
a
p
op
ytem
na
to
w
ar
RP
E
k
onometr
ia
42
Wsp
ółczynnik
determinacji
D
=
99
.866%
Zastoso
w
anie
Przedział
ufności
dla
oczekiw
anego
p
op
ytu
na
to
w
ar
przy
cenie
x
=
30
dla
Y
(5
.297033
,5
.318088)
dla
p
op
ytu
(199
.7434
,203
.9935)
Elast
yczność
ceno
w
a
p
op
ytu
d
ln
(exp
(a
+
b·
cena
))
d
ln
(cena
)
=
b·
cena
=
−
0.
04114
·
cena
RP
E
k
onometr
ia
43
Loso
w
e
czynniki
m
=
1
p
=
2
Obserwujem
y
trzy
cec
hy:
X
1
,X
2
,X
3
Obiekt
−
→
(X
1
,X
2
,X
3
)
1.
Czy
cec
hy
X
1
,X
2
,X
3
są
niezależne?
Czy
X
1
zależy
jedno
cześnie
od
X
2
oraz
X
3
?
Czy
X
1
zależy
od
X
2
?
Czy
X
1
zależy
od
X
3
?
2.
Opis
ilościo
wy
zależności.
3.
Wnioski.
Założenie:
Łączn
y
rozkład
cec
h
X
1
,X
2
,X
3
jest
normaln
y
RP
E
k
onometr
ia
44
Wsp
ółczynnik
korelacji
wielokrotnej
między
X
1
a
parą
(X
2
,X
3
)
%
1|
2,
3
=
max
λ
1
,λ
2
%
(X
1
,λ
1
X
2
+
λ
2
X
3
)
1.
%
1|
2,
3
∈
h0
,1
i
2.
%
1|
2,
3
=
0:
X
1
nie
jest
zależne
od
(X
2
,X
3
)
3.
%
1|
2,
3
=
1:
X
1
jest
linio
w
ą
funk
cją
(X
2
,X
3
)
%
1|
2,
3
=
s
1−
|C
|
|C
11
|
|C
|:
wyznacznik
macierzy
C
=
1
%
12
%
13
%
21
1
%
23
%
31
%
32
1
|C
11
|:
wyznacznik
macierzy
C
11
=
1
%
23
%
32
1
RP
E
k
onometr
ia
45
H
0
:
Cec
ha
X
1
jest
niezależna
od
X
2
,X
3
m
H
0
:
%
1|
2,
3
=
0
T
est
wsp
ółczynnik
a
korelacji
wielokrotnej
(p
oziom
istotności
α
)
Próba:
(X
1i
,X
2i
,X
3i
),
i
=
1,
..
.,
n
Stat
yst
yk
a
testo
w
a
R
1|
2,
3
=
s
1−
|C
|
|C
11
|
|C
|,
|C
11
|:
próbk
ow
e
odp
owiedniki
|C
|
oraz
|C
11
|
W
artość
kryt
yczna
r(
α
;n,
3)
Jeżeli
R
1|
2,
3
>
r(
α
;n,
3),
to
hip
otezę
odrzucam
y.
RP
E
k
onometr
ia
46
Wsp
ółczynnik
korelacji
cząstk
ow
ej
między
X
1
a
X
2
lub
między
X
1
a
X
3
%
12
|3
=
%
12
−
%
13
%
23
q
(1
−
%
2 13
)(1
−
%
2 23
)
Miernik
indywidualnego
wpływu
zmiennej
X
2
na
X
1
%
13
|2
=
%
13
−
%
12
%
23
q
(1
−
%
2 12
)(1
−
%
2 23
)
Miernik
indywidualnego
wpływu
zmiennej
X
3
na
X
1
RP
E
k
onometr
ia
47
H
0
:
Cec
ha
X
1
jest
niezależna
od
X
2
m
H
0
:
%
12
|3
=
0
T
est
wsp
ółczynnik
a
korelacji
cząstk
ow
ej
(p
oziom
istotności
α
)
Próba:
(X
1i
,X
2i
,X
3i
),
i
=
1,
..
.,
n
Stat
yst
yk
a
testo
w
a
R
12
|3
=
R
12
−
R
13
R
23
q
(1
−
R
2 13
)(1
−
R
2 23
)
W
artość
kryt
yczna
r(
α
;n
−
1)
Jeżeli
R
12
|3
>
r(
α
;n
−
1),
to
hip
otezę
odrzucam
y.
RP
E
k
onometr
ia
48
Ilościo
wy
opis
zależności
X
1
:
zmienna
zależna;
X
2
,X
3
:
zmienne
niezależne
Założenie:
%
1|
2,
3
6=
0
Ilościo
wy
opis
zależności
X
1
od
X
2
,X
3
:
E
(X
1
|X
2
=
x
2
,X
3
=
x
3
)
=
f
(x
2
,x
3
)
Funk
cja
f
nosi
nazw
ę
funk
cji
regresji
Przy
założeniu
normalności
f
(x
2
,x
3
)
=
β
0
+
β
1
x
2
+
β
2
x
3
β
1
,β
2
—
wsp
ółczynniki
regresji
β
0
—
stała
regresji
Zadanie:
oszaco
w
ać
parametry
funk
cji
regresji
RP
E
k
onometr
ia
49
%
12
|3
6=
0
oraz
%
13
|2
=
0
⇓
f
(x
2
,x
3
)
=
β
0
+
β
1
x
2
%
12
|3
=
0
oraz
%
13
|2
6=
0
⇓
f
(x
2
,x
3
)
=
β
0
+
β
2
x
3
%
12
|3
6=
0
oraz
%
13
|2
6=
0
⇓
f
(x
2
,x
3
)
=
β
0
+
β
1
x
2
+
β
2
x
3
RP
E
k
onometr
ia
50
Ocena
parametró
w
funk
cji
regresji
f
(x
2
,x
3
)
=
β
0
+
β
1
x
2
+
β
2
x
3
Próba:
(X
1i
,X
2i
,X
3i
),
i
=
1,
..
.,
n
Niezb
ędne
rac
hunki
¯ X
1
,
var
X
1
,
¯ X
2
,
var
X
2
,
¯ X
3
,
var
X
3
co
v(
X
1
,X
2
),
co
v(
X
1
,X
3
),
co
v(
X
2
,X
3
)
b β
1
var
X
2
+
b β
2
co
v(
X
2
,X
3
)
=
co
v(
X
1
,X
2
)
b β
1
co
v(
X
2
,X
3
)
+
b β
2
var
X
3
=
co
v(
X
1
,X
3
)
¯ X
1
−
b β
1
¯ X
2
−
b β
2
¯ X
3
=
b β
0
W
ariancja
reszto
w
a
S
2
=
var
X
1
−
b β
1
co
v(
X
1
,X
2
)−
b β
2
co
v(
X
1
,X
3
)
n
−
3
RP
E
k
onometr
ia
51
Przedziały
ufności
(p
oziom
ufności
1−
α
)
W
ariancje
est
ymatoró
w
b β
0
,b
β
1
oraz
b β
2
S
2 β
0
=
S
2
1
n
+
¯ X
2 2
var
X
2
+
¯ X
2 3
var
X
3
−
R
2 23
co
v(
X
2
,X
3
)
1−
R
2 23
S
2 β
1
=
S
2
(1
−
R
2 23
)v
ar
X
2
,
S
2 β
2
=
S
2
(1
−
R
2 23
)v
ar
X
3
β
0
∈
(bβ
0
−
t(
α
;n
−
3)
S
β
0
,bβ
0
+
t(
α
;n
−
3)
S
β
0
)
β
1
∈
(bβ
1
−
t(
α
;n
−
3)
S
β
1
,bβ
1
+
t(
α
;n
−
3)
S
β
1
)
β
2
∈
(bβ
2
−
t(
α
;n
−
3)
S
β
2
,bβ
2
+
t(
α
;n
−
3)
S
β
2
)
RP
E
k
onometr
ia
52
Przykład.
Badano
zależność
wydatk
ów
na
art
ykuły
sp
ożyw
cze
(spo
),
papierosy
(pap
)
oraz
alk
ohol
(al
k
).
Zbadać
istnienie
zależności
między
obserw
ow
an
ymi
cec
hami.
Jeżeli
tak
a
zależnośc
istnieje,
to
dok
onać
ilościo
w
ego
opisu
zależności
wydatk
ów
na
art
ykuły
sp
ożyw
cze
od
wydatk
ów
na
papierosy
i
alk
ohol.
Plan
działania
1.
Istnienie
zależności
(globalne)
2.
Istnienie
zależności
(szczegóło
w
e)
3.
Ilościo
wy
opis
4.
Wnioski
RP
E
k
onometr
ia
53
spo
pap
alk
spo
pap
alk
spo
pap
alk
44
.
700
17
.
219
9
.
007
46
.
111
20
.
942
10
.
999
45
.
404
20
.
009
12
.
531
46
.
276
25
.
147
17
.
896
45
.
711
22
.
822
16
.
530
45
.
525
23
.
036
7
.
398
42
.
816
14
.
058
3
.
966
46
.
444
25
.
741
15
.
733
45
.
464
23
.
497
9
.
083
43
.
913
16
.
138
2
.
994
45
.
002
20
.
720
10
.
082
45
.
045
22
.
251
13
.
428
43
.
153
13
.
745
1
.
762
43
.
945
14
.
510
7
.
168
45
.
239
20
.
838
14
.
094
42
.
882
13
.
699
1
.
531
45
.
444
22
.
108
12
.
129
44
.
957
18
.
856
11
.
239
45
.
135
19
.
768
9
.
826
43
.
973
19
.
331
6
.
090
44
.
990
21
.
613
10
.
985
44
.
630
21
.
172
8
.
871
44
.
160
16
.
562
6
.
022
46
.
453
23
.
518
13
.
543
44
.
814
18
.
716
12
.
596
44
.
547
18
.
017
9
.
695
43
.
461
12
.
029
3
.
969
45
.
866
25
.
955
12
.
608
45
.
513
20
.
351
13
.
938
45
.
299
20
.
736
11
.
418
46
.
661
21
.
698
16
.
489
43
.
239
16
.
374
3
.
604
45
.
258
22
.
986
11
.
462
45
.
902
25
.
328
13
.
603
45
.
042
19
.
075
9
.
032
43
.
883
14
.
958
5
.
947
44
.
476
19
.
728
7
.
633
45
.
849
23
.
434
14
.
054
45
.
951
20
.
049
11
.
978
45
.
758
19
.
657
10
.
890
45
.
691
24
.
335
13
.
439
45
.
524
20
.
994
11
.
236
43
.
478
15
.
544
4
.
372
45
.
589
24
.
425
12
.
026
44
.
837
18
.
890
7
.
913
45
.
028
19
.
563
13
.
800
46
.
038
22
.
876
15
.
742
45
.
645
21
.
738
14
.
515
43
.
258
14
.
392
0
.
000
44
.
852
18
.
392
11
.
117
45
.
262
20
.
759
11
.
350
46
.
448
21
.
677
13
.
751
44
.
418
19
.
357
8
.
986
45
.
214
20
.
536
8
.
660
45
.
758
22
.
670
14
.
357
44
.
684
18
.
497
6
.
391
45
.
235
20
.
834
12
.
183
45
.
596
19
.
358
9
.
863
46
.
993
24
.
193
17
.
175
44
.
264
19
.
093
7
.
888
45
.
694
22
.
280
10
.
962
44
.
766
23
.
872
12
.
055
45
.
114
21
.
661
13
.
746
44
.
759
19
.
592
10
.
129
45
.
881
24
.
349
13
.
843
43
.
692
14
.
715
5
.
933
45
.
139
18
.
918
13
.
511
45
.
542
20
.
990
9
.
781
46
.
191
21
.
654
10
.
359
45
.
487
21
.
357
13
.
203
46
.
267
22
.
777
12
.
233
44
.
102
18
.
026
7
.
559
45
.
862
21
.
197
11
.
346
45
.
764
23
.
187
13
.
694
44
.
015
16
.
131
7
.
026
45
.
122
19
.
459
10
.
473
44
.
175
18
.
641
8
.
736
46
.
216
21
.
593
16
.
206
44
.
058
16
.
185
8
.
181
44
.
931
19
.
738
10
.
106
44
.
438
17
.
409
4
.
812
46
.
627
23
.
092
15
.
384
44
.
648
20
.
565
8
.
123
46
.
375
21
.
986
17
.
361
45
.
113
23
.
196
11
.
913
47
.
343
27
.
154
19
.
683
43
.
833
16
.
376
3
.
436
46
.
655
24
.
503
18
.
693
44
.
019
18
.
870
9
.
191
46
.
590
24
.
103
16
.
300
44
.
356
16
.
834
9
.
488
44
.
269
17
.
659
4
.
979
45
.
976
25
.
565
13
.
919
45
.
919
19
.
618
15
.
049
46
.
353
25
.
101
15
.
462
43
.
970
16
.
474
7
.
606
44
.
800
17
.
701
5
.
745
42
.
809
15
.
205
3
.
151
45
.
872
23
.
032
10
.
712
43
.
604
16
.
210
3
.
852
RP
E
k
onometr
ia
54
P
opulacja:
Cec
h
y:
X
1
:
wydatki
na
art
ykuły
sp
ożyw
cze
X
2
:
wydatki
na
papierosy
X
3
:
wydatki
na
alk
ohol
Założenie:
normalność
rozkładó
w
badan
yc
h
cec
h
T
ec
hniki
stat
yst
yczne:
1.
W
eryfik
acja
hip
otezy
H
0
:
%
1|
2,
3
=
0
2.
W
eryfik
acja
hip
otez
H
0
:
%
12
|3
=
0
oraz
H
0
:
%
13
|2
=
0
3.
Dopaso
w
anie
odp
owiedniej
funk
cji
regresji
P
oziom
istotności
α
=
0.
05
P
oziom
ufności
1−
α
=
0.
95
RP
E
k
onometr
ia
55
Obliczenia
¯x
1
=
45
.090
¯x
2
=
20
.215
¯x
3
=
10
.496
X
x
2 1i
=
203414
.266951
X
x
2 2i
=
41897
.260651
X
x
2 3i
=
12750
.029343
X
x
1i
x
3i
=
47697
.150706
X
x
2i
x
3i
=
22324
.107946
X
x
1i
x
2i
=
91428
.748091
C
=
1.
0000
0.
8717
0.
8914
0.
8717
1.
0000
0.
8267
0.
8914
0.
8267
1.
0000
RP
E
k
onometr
ia
56
H
0
:
%
1|
2,
3
=
0
T
est
wsp
ółczynnik
a
korelacji
wielokrotnej
|C
|
=
0.
0469
|C
11
|
=
1.
0000
0.
8267
0.
8267
1.
0000
=
0.
3165
R
1|
2,
3
=
s
1−
|C
|
|C
11
|
=
r
1−
0.
0469
0.
3165
=
0.
9230
W
artość
kryt
yczna
r(0
.05;
100
,3)
=
0.
2447
Hip
otezę
odrzucam
y
RP
E
k
onometr
ia
57
H
0
:
%
12
|3
=
0
T
est
wsp
ółczynnik
a
korelacji
cząstk
ow
ej
R
12
|3
=
R
12
−
R
13
R
23
q
(1
−
R
2 13
)(1
−
R
2 23
)
=
0.
8717
−
0.
8914
·
0.
8267
p
(1
−
0.
8914
2
)(1
−
0.
8267
2
)
=
0.
5284
W
artość
kryt
yczna
r(0
.05;
100
−
1)
=
0.
245
H
0
:
%
13
|2
=
0
R
13
|2
=
R
13
−
R
12
R
23
q
(1
−
R
2 12
)(1
−
R
2 23
)
=
0.
8914
−
0.
8717
·
0.
8267
p
(1
−
0.
8717
2
)(1
−
0.
8267
2
)
=
0.
6957
RP
E
k
onometr
ia
58
Ocena
parametró
w
funk
cji
regresji
f
(x
2
,x
3
)
=
β
0
+
β
1
x
2
+
β
2
x
3
1033
.082880
b β
1
+
1106
.175319
b β
2
=
278
.818551
1106
.175319
b β
1
+
1733
.028891
b β
2
=
369
.315683
45
.090
−
20
.215
b β
1
−
10
.496
b β
2
=
b β
0
b β
1
=
0.
131759
b β
2
=
0.
129004
b β
0
=
41
.072954
W
ariancja
reszto
w
a
S
2
=
99
.038107
−
278
.818551
b β
1
−
369
.315683
b β
2
n
−
3
=
0.
151115
RP
E
k
onometr
ia
59
Przedziały
ufności
(p
oziom
ufności
0.
95)
W
ariancje
est
ymatoró
w
b β
0
,b
β
1
oraz
b β
2
S
2 β
0
=
0.
309071
S
2 β
1
=
0.
021496
S
2 β
2
=
0.
016597
β
0
∈
(40
.45953
,41
.68637)
β
1
∈
(0
.089094
,0
.174423)
β
2
∈
(0
.096063
,0
.161944)
RP
E
k
onometr
ia
60
Czynniki
determinist
yczne
m
=
1
p
=
2
Obserwujem
y
cec
hę
Y
oraz
zmienne
X
1
,X
2
Obiekt
−
→
(X
1
,X
2
,Y
)
1.
Prop
ozycja
funk
cji
regresji
f
.
2.
Dopaso
w
anie
zaprop
ono
w
anej
funk
cji.
3.
Ocena
jak
ości
dopaso
w
ania.
4.
Wnioski.
Założenie:
Cec
ha
Y
ma
rozkład
normaln
y
RP
E
k
onometr
ia
61
Funk
cja
regresji
E
(Y
|X
1
=
x
1
,X
2
=
x
2
)
=
β
0
+
β
1
x
1
+
β
2
x
2
(Y
1
,x
11
,x
21
),
..
.,
(Y
n
,x
1n
,x
2n
)
—
obserw
acje
Mo
del
Y
i
=
β
0
+
β
1
x
1i
+
β
2
x
2
i
+
ε
i
,
i
=
1,
..
.,
n,
ε
i
są
niezależn
ymi
zmienn
ymi
loso
wymi
o
tym
sa-
m
ym
rozkładzie
normaln
ym
N
(0
,σ
2
).
Est
ymacja
wsp
ółczynnik
ów
meto
dą
na
jmniejszyc
h
kw
adrató
w
Znaleźć
takie
β
0
,
β
1
i
β
2
by
n
X
i=1
(Y
i
−
(β
0
+
β
1
x
1i
+
β
2
x
2
i
))
2
=
min
RP
E
k
onometr
ia
62
Rozwiązanie
b β
1
var
x
1
+
b β
2
co
v(
x
1
,x
2
)
=
co
v(
x
1
,x
3
)
b β
1
co
v(
x
1
,x
2
)
+
b β
2
var
x
2
=
co
v(
x
2
,x
3
)
¯ Y
−
b β
1
¯x
1
−
b β
2
¯x
2
=
b β
0
Reszto
w
a
suma
kw
adrató
w
RSS
=
n
X
i=1
(Y
i
−
(bβ
0
+
b β
1
x
1i
+
b β
2
x
2i
))
2
Ocena
w
ariancji
σ
2
S
2
=
1
n
−
3
var
Y
−
b β
1
co
v(
Y
,x
1
)−
b β
2
co
v(
Y
,x
2
)
W
ariancje
est
ymatoró
w
S
2 β
1
=
S
2
(1
−
R
2 12
)v
ar
x
1
S
2 β
2
=
S
2
(1
−
R
2 12
)v
ar
x
2
S
2 β
0
=
S
2
1
n
+
¯x
2
1
var
x
1
+
¯x
2
2
var
x
2
−
R
2
12
co
v
(x
1
,x
2
)
1−
R
2 12
RP
E
k
onometr
ia
63
Istnienie
zależności
W
eryfik
acja
hip
otezy
H
0
:
β
1
=
β
2
=
0
Źró
dło
Suma
Stopnie
Średnie
F
zmienności
kw
adrató
w
sw
ob
o
dy
kw
adrat
y
Regresja
var
R
2
s
2
R
=v
ar
R
s
2
R
/s
2
Błąd
RSS
n
−
3
s
2
=RSS
/
(n
−
3)
Całk
owita
var
Y
n
−
1
var
R
=
b β
1
co
v(
Y
,x
1
)
+
b β
2
co
v(
Y
,x
2
)
Jeżeli
hip
oteza
H
0
:
β
1
=
β
2
=
0
jest
pra
wdziw
a,
to
F
=
s
2 R
s
2
ma
rozkład
F
z
(2
,n
−
3)
stopniami
sw
ob
ody
Hip
otezę
odrzucam
y,
jeżeli
F
>
F
(α
;2
,n
−
3)
F
(α
;2
,n
−
3)
—
w
artość
kryt
yczna
rozkładu
F
.
RP
E
k
onometr
ia
64
H
0
:
β
1
=
0
T
est
Studen
ta
(p
oziom
istotności
α
)
Stat
yst
yk
a
testo
w
a
t
emp
=
b β
1
S
β
1
W
artość
kryt
yczna
t(
α
;n
−
3)
Hip
otezę
odrzucam
y,
jeżeli
|t
emp
|
>
t(
α
;n
−
3)
H
0
:
β
2
=
0
T
est
Studen
ta
(p
oziom
istotności
α
)
Stat
yst
yk
a
testo
w
a
t
emp
=
b β
2
S
β
2
W
artość
kryt
yczna
t(
α
;n
−
3)
Hip
otezę
odrzucam
y,
jeżeli
|t
emp
|
>
t(
α
;n
−
3)
RP
E
k
onometr
ia
65
.................... ..................
.................... ..................
H
0
:
β
1
=
β
2
=
0
Nie
o
drzucam
y
Odrzucam
y
STOP
H
0
:
β
1
=
0
Nie
o
drzucam
y
Odrzucam
y
........... ...........................
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
.
............................................................................
H
0
:
β
2
=
0
Nie
o
drzucam
y
Odrzucam
y
. .....................................
. .....................................
Y
=
β
0
+
β
1
x
1
+
β
2
x
2
STOP
...................... ................
Y
=
β
0
+
β
2
x
2
...................................................................................................................................................................................................................................
Y
=
β
0
+
β
1
x
1
...................... ................
Analiza
regresji
prostej
RP
E
k
onometr
ia
66
Przedział
ufności
dla
β
1
P
oziom
ufności
1−
α
β
1
∈
(bβ
1
−
t(
α
;n
−
3)
S
β
1
;bβ
1
+
t(
α
;n
−
3)
S
β
1
)
In
terpretacja
wsp
ółczynnik
a
regresji
β
1
jeżeli
w
artość
zmiennej
niezależnej
x
1
wzrośnie
o
jed-
nostk
ę
zaś
zmienna
x
2
p
ozostanie
na
tym
sam
ym
p
o-
ziomie,
to
średnia
w
artość
cec
hy
Y
zmieni
się
(wzro-
śnie
lub
zmaleje)
o
ok
oło
b β
1
jednostek,
a
dokładniej
zmieni
się
o
b β
1
±
t(
α
;n
−
3)
S
β
1
jednostek.
Przedział
ufności
dla
β
2
:
p
odobnie
jak
dla
β
1
RP
E
k
onometr
ia
67
Wsp
ółczynnik
determinacji
Niec
h
Y
i
=
β
0
+
β
1
x
1i
+
β
2
x
2i
+
ε
i
,i
=
1,
..
.,
n
oraz
niec
h
b Y
i
=
b β
0
+
b β
1
x
1i
+
b β
2
x
2i
,i
=
1,
..
.,
n
Dla
par
(Y
i
,bY
i
)
wyznaczam
y
R
=
P
n
i=1
(Y
i
−
¯ Y
)(
b Y
i
−
¯ b Y
)
q
P
n
i=1
(Y
i
−
¯ Y
)
2
P
n
i=1
(bY
i
−
¯ b Y
)
2
.
Wsp
ółczynnik
determinacji
zmiennej
Y
przez
X
D
=
R
2
·
100%
=
P
(bY
i
−
¯ Y
)
2
P
(Y
i
−
¯ Y
)
2
·
100%
.
Jest
to
liczba
z
przedziału
(0%
,100%)
idopaso
w
anie
funk
cji
regresji
jest
tym
lepsze,
im
ten
wsp
ółczynnik
jest
wyższy
.
RP
E
k
onometr
ia
68
Obszar
ufności
dla
prostej
regresji
y
=
β
0
+
β
1
x
1
+
β
2
x
2
Średnia
w
artość
cec
hy
Y
dla
ustalon
yc
h
w
artości
X
1
=
x
1
,X
2
=
x
2
by
(x
1
,x
2
)
=
b β
0
+
b β
1
x
1
+
b β
2
x
2
Obszar
ufności
(p
oziom
ufności
1−
α
)
E
(Y
|x
1
,x
2
)∈
(by
(x
1
,x
2
)−
t(
α
;n
−
2)
S
Y
;
by
(x
1
,x
2
)
+
t(
α
;n
−
2)
S
Y
)
S
2 Y
=
S
2
·
[1
x
1
x
2
]·
·
n
P
x
1i
P
x
2i
P
x
1i
P
x
2 1i
P
x
1i
x
2i
P
x
2i
P
x
1i
x
2i
P
x
2 2i
−
1
1
x
1
x
2
Na
p
odsta
wie
obszaru
ufności
wnioskujem
y
o
w
ar-
tościac
h
średnic
h
cec
hy
Y
jedno
cześnie
dla
wielu
wybran
yc
h
w
artości
cec
h
X
1
,X
2
RP
E
k
onometr
ia
69
Predyk
cja
w
artości
zmiennej
Y
(x
1
,x
2
)
W
artość
cec
hy
Y
dla
ustalon
yc
h
X
1
=
x
1
,X
2
=
x
2
by
(x
1
,x
2
)
=
b β
0
+
b β
1
x
1
+
b β
2
x
2
Obszar
predyk
cji
(p
oziom
ufności
1−
α
)
Y
(x
1
,x
2
)∈
(by
(x
1
,x
2
)−
t(
α
;n
−
2)
S
y
(x
1
,x
2
)
;
by
(x
1
,x
2
)
+
t(
α
;n
−
2)
S
y
(x
1
,x
2
)
)
S
2 y(
x
1
,x
2
)
=
S
2
·
1
+
[1
x
1
x
2
]·
·
n
P
x
1i
P
x
2i
P
x
1i
P
x
2 1i
P
x
1i
x
2i
P
x
2i
P
x
1i
x
2i
P
x
2 2i
−
1
1
x
1
x
2
Na
p
odsta
wie
obszaru
predyk
cji
wnioskujem
y
o
w
ar-
tościac
h
cec
hy
Y
jedno
cześnie
dla
wielu
wybran
yc
h
w
artości
cec
h
X
1
,X
2
RP
E
k
onometr
ia
70
Przykład.
Badano
wielk
ość
pro
duk
cji
(pr
od
)
p
ew-
nego
art
ykułu
w
zależności
od
ilości
dw
óc
h
suro
w
có
w
(sur
1
,
sur
2
)
wyk
orzyst
yw
an
yc
h
w
wyt
w
arzaniu
tego
art
ykułu.
Na
p
odsta
wie
p
oniższyc
h
dan
yc
h
przepro-
w
adzić
analizę
regresji.
Plan
działania
1.
Prop
ozycja
funk
cji
regresji
2.
Dopaso
w
anie
funk
cji
regresji
3.
Istnienie
zależności
3a.
Badanie
globalne
3b.
Badanie
szczegóło
w
e
4.
Jak
ość
dopaso
w
ania
5.
Wnioski
RP
E
k
onometr
ia
71
s
1
s
2
pr
od
s
1
s
2
pr
od
s
1
s
2
pr
od
s
1
s
2
pr
od
0
.
1
0
.
1
1
.
936248
0
.
6
0
.
3
4
.
697887
0
.
1
0
.
6
3
.
776876
0
.
6
0
.
8
9
.
024716
0
.
2
0
.
1
2
.
017051
0
.
7
0
.
3
6
.
212012
0
.
2
0
.
6
6
.
488632
0
.
7
0
.
8
7
.
385809
0
.
3
0
.
1
2
.
547019
0
.
8
0
.
3
5
.
711818
0
.
3
0
.
6
5
.
356985
0
.
8
0
.
8
7
.
319159
0
.
4
0
.
1
2
.
991221
0
.
9
0
.
3
6
.
801152
0
.
4
0
.
6
6
.
040919
0
.
9
0
.
8
9
.
403422
0
.
5
0
.
1
3
.
103400
1
.
0
0
.
3
5
.
130012
0
.
5
0
.
6
7
.
274057
1
.
0
0
.
8
9
.
533901
0
.
6
0
.
1
3
.
395465
0
.
1
0
.
4
4
.
711792
0
.
6
0
.
6
7
.
327822
0
.
1
0
.
9
7
.
462994
0
.
7
0
.
1
2
.
366942
0
.
2
0
.
4
3
.
901310
0
.
7
0
.
6
7
.
871890
0
.
2
0
.
9
7
.
943808
0
.
8
0
.
1
2
.
954253
0
.
3
0
.
4
5
.
246389
0
.
8
0
.
6
7
.
862603
0
.
3
0
.
9
8
.
495195
0
.
9
0
.
1
3
.
454655
0
.
4
0
.
4
5
.
762669
0
.
9
0
.
6
6
.
612192
0
.
4
0
.
9
7
.
988018
1
.
0
0
.
1
2
.
836646
0
.
5
0
.
4
6
.
670547
1
.
0
0
.
6
6
.
928189
0
.
5
0
.
9
8
.
260379
0
.
1
0
.
2
2
.
633539
0
.
6
0
.
4
5
.
662259
0
.
1
0
.
7
5
.
658337
0
.
6
0
.
9
8
.
963044
0
.
2
0
.
2
2
.
737200
0
.
7
0
.
4
5
.
588580
0
.
2
0
.
7
6
.
262777
0
.
7
0
.
9
8
.
811154
0
.
3
0
.
2
2
.
922328
0
.
8
0
.
4
6
.
470962
0
.
3
0
.
7
5
.
986275
0
.
8
0
.
9
8
.
164607
0
.
4
0
.
2
3
.
376518
0
.
9
0
.
4
5
.
960982
0
.
4
0
.
7
6
.
799810
0
.
9
0
.
9
7
.
778411
0
.
5
0
.
2
3
.
603429
1
.
0
0
.
4
6
.
822329
0
.
5
0
.
7
7
.
379986
1
.
0
0
.
9
10
.
306121
0
.
6
0
.
2
3
.
267117
0
.
1
0
.
5
3
.
861578
0
.
6
0
.
7
7
.
987376
0
.
1
1
.
0
6
.
596179
0
.
7
0
.
2
3
.
934322
0
.
2
0
.
5
4
.
708645
0
.
7
0
.
7
7
.
899379
0
.
2
1
.
0
7
.
709768
0
.
8
0
.
2
4
.
107574
0
.
3
0
.
5
4
.
773405
0
.
8
0
.
7
7
.
304735
0
.
3
1
.
0
8
.
029625
0
.
9
0
.
2
4
.
438335
0
.
4
0
.
5
5
.
677243
0
.
9
0
.
7
9
.
891345
0
.
4
1
.
0
7
.
512992
1
.
0
0
.
2
4
.
311634
0
.
5
0
.
5
6
.
135761
1
.
0
0
.
7
8
.
784312
0
.
5
1
.
0
9
.
852992
0
.
1
0
.
3
3
.
344719
0
.
6
0
.
5
6
.
402305
0
.
1
0
.
8
5
.
684369
0
.
6
1
.
0
8
.
752144
0
.
2
0
.
3
3
.
825492
0
.
7
0
.
5
6
.
375133
0
.
2
0
.
8
7
.
043533
0
.
7
1
.
0
8
.
561350
0
.
3
0
.
3
4
.
923739
0
.
8
0
.
5
8
.
421879
0
.
3
0
.
8
7
.
663122
0
.
8
1
.
0
8
.
809613
0
.
4
0
.
3
4
.
521357
0
.
9
0
.
5
5
.
816456
0
.
4
0
.
8
6
.
987355
0
.
9
1
.
0
9
.
380318
0
.
5
0
.
3
4
.
680259
1
.
0
0
.
5
6
.
569014
0
.
5
0
.
8
7
.
099786
1
.
0
1
.
0
9
.
556762
RP
E
k
onometr
ia
72
F
unk
cja
regresji
(funk
cja
pro
duk
cji
Cobba–Douglasa)
pr
od
=
a
·
sur
α
1
1
·
sur
α
2
2
Mo
del
ln(
pr
od
)
=
ln(
a
)
+
α
1
ln(
sur
1
)
+
α
2
ln(
sur
2
)
Y
=
ln
(pr
od
)
x
1
=
ln(
sur
1
)
x
2
=
ln(
sur
2
)
β
0
=
ln
(a
)
β
1
=
α
1
β
2
=
α
2
Dopaso
w
anie
funk
cji
regresji
b β
0
=
2.
307795
b β
1
=
0.
200292
b β
2
=
0.
511396
s
2
=
0.
011964
s
β
0
=
0.
020739
s
β
1
=
0.
015729
s
β
2
=
0.
015729
RP
E
k
onometr
ia
73
Niezb
ędne
obliczenia
n
=
100
X
x
1i
=
−
79
.214384
X
x
2i
=
−
79
.214384
X
y
i
=
174
.40359
X
x
2 1i
=
111
.10834
X
x
2 2i
=
111
.10834
X
y
2 i
=
319
.91382
X
x
1i
y
i
=
−
128
.46678
X
x
2i
y
i
=
−
113
.42206
X
x
1i
x
2i
=
62
.749186
RP
E
k
onometr
ia
74
Istnienie
zależności
H
0
:
β
1
=
β
2
=
0
Źró
dło
Suma
Stopnie
Średnie
F
zmienności
kw
adrató
w
sw
ob
o
dy
kw
adrat
y
Regresja
14
.587176
2
7.
293588
609
.62
Błąd
1.
160518
97
0.
011964
Całk
owita
15
.747694
99
W
artość
kryt
yczna
F
(0
.05;
2,
97)
=
3.
09
Wniosek:
zaprop
ono
w
ana
funk
cja
regresji
może
opisyw
ać
za-
leżność
między
wielk
ością
pro
duk
cji
a
nakładami
RP
E
k
onometr
ia
75
H
0
:
β
1
=
0
T
est
Studen
ta
(α
=
0.
05)
Stat
yst
yk
a
testo
w
a
t
emp
=
b β
1
S
β
1
=
0.
200292
0.
015729
=
12
.733942
W
artość
kryt
yczna
t(0
.05;
97)
=
1.
984723
Hip
otezę
odrzucam
y
H
0
:
β
2
=
0
T
est
Studen
ta
(α
=
0.
05)
Stat
yst
yk
a
testo
w
a
t
emp
=
b β
2
S
β
2
=
0.
511396
0.
015729
=
32
.512951
W
artość
kryt
yczna
t(0
.05;
97)
=
1.
984723
Hip
otezę
odrzucam
y
RP
E
k
onometr
ia
76
Ró
wnania
regresji
Y
=
2.
307795
+
0.
200292
x
1
+
0.
511396
x
2
pr
od
=
10
.052235
·
sur
0.
200292
1
·
sur
0.
511396
2
Wsp
ółczynnik
determinacji
D
2
=
92
.63%
Zastoso
w
anie
Przedział
ufności
dla
oczekiw
anej
pro
duk
cji
przy
na-
kładac
h
sur
1
=
0.
2
oraz
sur
2
=
0.
4
dla
Y
(1
.483127
,1
.550574)
dla
pro
duk
cji
(4
.406703
,4
.714174)
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
Przedział
predyk
cji
dla
wielk
ości
pro
duk
cji
przy
na-
kładac
h
sur
1
=
0.
2
oraz
sur
2
=
0.
4
dla
Y
(1
.297156
,1
.736544)
dla
pro
duk
cji
(3
.658878
,5
.677688)
RP
E
k
onometr
ia
77
Mo
del
w
ahań
okreso
wyc
h
Y
–
obserw
ow
ana
cec
ha
Szereg
czaso
wy:
y
0
,
y
1
,
..
.,
y
n
−
1
Składniki
szeregu
czaso
w
ego:
1.
trend:
(średnia
w
artość
cec
h
y
w
czasie
)
funk
cja
trendu
f
(t
)
2.
okreso
w
ość:
(regularne
o
dc
h
ylenia
w
artości
ce-
ch
y
o
d
trendu
)
funk
cje
w
ahań
okreso
wyc
h
S
i
(t
),
i
=
0,
1,
..
.,
r
−
1,
r
–
długość
okresu,
S
i
(t
+
r)
=
S
i
(t
)
3.
szum:
składnik
loso
wy
ξ
t
,
E
ξ
t
=
0,
D
2
ξ
t
=
σ
2
addyt
ywn
y
t
Y
t
........
........
........
........
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
..
....
.....
......
.................
......... .. . . . . .
. . . . ....................
...................
.......
.....
.....
....
....
...
...
....
.........
.......... . ..
.. ........... . .. .........
.........................
........
......
.....
....
....
...
...
...
.............
............ .
. . . . . . . . . . . . . ..
.........................
.............
.......
.....
.....
....
....
...
...
.......
.............
....... . . . . . .
. . . . . . . . . .. .........
..........................
........
.....
.....
....
....
...
...
.....
........
...........
..... . . . . . . . . . . . ...
.......................
........
......
......
.....
.....
.....
......
...
........
........
........
........
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
..
m
ultiplik
at
ywn
y
t
Y
t
.......
........
.......
........
........
.......
.........
..............
.......
.....
....
...
......
.........
......... .
. .................
..............
......
.....
....
...
...
........
..........
............. . ...
......................
...........
......
.....
....
....
....
...
..........
............
.... . . . . . . . . .
. . . . .. ..................
...................
.......
.....
.....
....
....
...
...
..........
..............
... .. . . . . . . . . .
. . . . . . . . ..................
.........................
.......
.....
.....
....
....
....
...
...
.
........
........
........
........
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
.......
.
...
RP
E
k
onometr
ia
78
Mo
del
addyt
ywn
y
(A
)
Y
t
=
f
(t
)
+
S
i
(t
)
+
ξ
t
,
t
=
0,
1,
2,
..
.
przy
założeniu
r
−
1
X
i=0
S
i
(t
)
=
0
Mo
del
m
ultiplik
at
ywn
y
(M
)
Y
t
=
f
(t
)S
i
(t
)
+
ξ
t
,
t
=
0,
1,
2,
..
.
przy
założeniac
h
r
−
1
X
i=0
S
i
(t
)
=
r,
S
i
(t
)
>
0
RP
E
k
onometr
ia
79
Meto
da
średnic
h
ruc
hom
yc
h
Cel
1.
Wyznaczyć
długość
okresu.
2.
Rozp
oznać
p
ostać
funk
cji
trendu.
r
=
2
t
Y
t
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
........
.........
........
.......
.......
.......
.........
.......
.........
........
.......
.......
.........
.......
.......
.........
.........
.........
.......
..........
.......
.......
.........
.........
..........
........
........
.......
.......
.......
.........
..........
............
........
..........
......
.......
......
..
r
=
3
t
Y
t
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
........
.........
.......
.......
.......
.......
.........
.........
........
........
.......
.......
.........
........
.........
.........
.......
........
.........
........
.........
.........
.........
.........
........
.......
........
.........
...........
...........
......
.........
.......
....
r
=
4
t
Y
t
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.......
........
.......
.........
.........
.......
.......
.......
.......
........
........
........
......
.......
.......
.......
........
........
......
.......
.......
......
.......
.......
......
.......
.......
......
..
RP
E
k
onometr
ia
80
Średnie
ruc
home
¯y
m
r
–
nieparzyste
¯y
m
=
1
r
(y
i
+
y
i+1
+
··
·
+
y
i+
r
−
1
)
m
=
i
+
r
−
1
2
,
i
=
0,
1,
..
.,
n
−
r
+
1
r
–
parzyste
¯y
m
=
1
r
1
2
y
i
+
y
i+1
+
··
·
+
y
i+
r
−
1
+
1
2
y
i+
r
m
=
i
+
r
2
,
i
=
0,
1,
..
.,
n
−
r
RP
E
k
onometr
ia
81
Etap
y
analizy
szeregu
czaso
w
ego
1.
Est
ymacja
funk
cji
trendu.
2.
Est
ymacja
funk
cji
okreso
w
ości.
3.
Prognoza.
Est
ymacja
funk
cji
trendu
•
Meto
da
na
jmniejszyc
h
kw
adrató
w.
•
Inne.
Przypadek
szczególn
y:
f
(t
)
=
β
0
+
β
1
t
b β
0
=
A
n
−
1
X
t=0
y
t
+
C
n
−
1
X
t=0
ty
t
,
b β
1
=
C
n
−
1
X
t=0
y
t
+
B
n
−
1
X
t=0
ty
t
,
A
=
2(2
n
−
1)
n
(n
+
1)
,
B
=
12
n
(n
+
1)(
n
−
1)
,
C
=
−
6
n
(n
+
1)
.
RP
E
k
onometr
ia
82
Est
ymacja
funk
cji
okreso
w
ości
(meto
da
wsk
aźnik
ów)
b f
–
oszaco
w
ana
funk
cja
trendu,
m
=
n
−
i
r
+
1
([
a
]
część
całk
owita
liczb
y
a
),
•
Mo
del
addyt
ywn
y
Suro
w
e
wsk
aźniki
okreso
w
ości
S
si
=
1
m
m
−
1
X
j
=0
y
i+
j
r
−
1
m
m
−
1
X
j
=0
b f(
i
+
j
r)
Oczyszczone
wsk
aźniki
okreso
w
ości
S
oi
=
S
si
−
1
r
r
−
1
X
j
=0
S
sj
RP
E
k
onometr
ia
83
•
Mo
del
m
ultiplik
at
ywn
y
Suro
w
e
wsk
aźniki
okreso
w
ości
S
si
=
m
−
1
P
j
=0
y
i+
j
r
m
−
1
P
j
=0
b f(
i
+
j
r)
Oczyszczone
wsk
aźniki
okreso
w
ości
S
oi
=
S
si
k
k
=
r
r
−
1
P
j
=0
S
sj
RP
E
k
onometr
ia
84
Prognoza
dla
ch
wili
n
0
≥
n
•
Punkto
w
a
mo
del
(A
)
mo
del
(M
)
by
n
0
=
b f(
n
0
)
+
S
oi
by
n
0
=
b f(
n
0
)S
oi
by
n
0
prognozo
w
ana
w
artość
szeregu
i
=
(n
0
mo
d
r)
•
Przedziało
w
a
(by
n
0
−
S,
by
n
0
+
S
)
S
=
v u u t
1
n
−
1
n
−
1
X
t=0
(y
t
−
by
t
)
2
by
t
=
(
b f
t)
+
S
o
(t
mo
d
r
)
dla
mo
delu
(A
)
b f(
t)
S
o
(t
mo
d
r
)
dla
mo
delu
(M
)
RP
E
k
onometr
ia
85
Przykład.
Noto
w
ano
ilość
zleceń
wyk
onan
yc
h
przez
p
ewną
firmę
w
kolejn
yc
h
kw
artałac
h
lat
1996
−
2000:
Lata
Kw
artały
I
I
I
I
I
I
I
V
1996
4
4
14
18
1997
8
12
24
25
1998
14
15
28
30
1999
20
24
32
33
2000
25
32
40
42
Oszaco
w
ać
ilość
zleceń
w
trzecim
kw
artale
2001
roku.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
......
......
......
......
........
.......
.......
.......
.......
.......
.......
......
.......
.......
........
........
........
........
........
...................
..................
..................
..................
.........
........
........
........
........
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
..........
......
......
......
..................
...................
...................
....................
...........
......
......
......
........
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
.........
.......
.......
.......
...................
..................
..................
..................
.........
........
........
........
........
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
......
......
......
...............
...............
...............
...............
........
.......
.......
.......
.......
.......
.......
........
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
........
.......
.......
.......
RP
E
k
onometr
ia
86
Meto
da
średnic
h
ruc
hom
yc
h
r
=
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
........
........
........
........
........
.......
......
........
.......
.......
.......
........
.......
......
.......
..........
........
........
........
.........
......
......
......
........
........
........
........
.......
......
......
......
..........
........
........
........
.........
......
......
......
........
.......
.......
.......
.......
......
......
......
.........
........
........
........
.......
......
......
......
.......
.......
......
........
.......
.......
.......
........
........
........
........
........
r
=
3
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.......
.......
.......
.......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
......
.......
.........
........
........
........
........
......
......
......
........
.......
.......
........
......
......
......
........
........
........
........
........
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
........
.......
.......
.......
........
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
......
.......
........
........
........
........
.....
r
=
4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
......
......
......
......
.......
.......
......
........
......
.......
.......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
.......
.......
......
.......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
......
......
.......
......
.......
......
........
......
.......
......
...
RP
E
k
onometr
ia
87
Est
ymacja
funk
cji
trendu
A
=
2(2
·
20
−
1)
20(20
+
1)
=
0.
1857
B
=
12
20(20
+
1)(20
−
1)
=
0.
0015
C
=
−
6
20(20
+
1)
=
−
0.
0143
19
X
t=0
y
t
=
444
,
19
X
t=0
ty
t
=
5311
b β
0
=
A
19
X
t=0
y
t
+
C
19
X
t=0
ty
t
=
6.
586
b β
1
=
C
19
X
t=0
y
t
+
B
19
X
t=0
ty
t
=
1.
644
b f(
t)
=
1.
644
t
+
6.
586
RP
E
k
onometr
ia
88
Est
ymacja
funk
cji
okreso
w
ości
Lata
Kw
artały
I
I
I
I
I
I
I
V
1996
6.
586
8.
229
9.
873
11
.517
1997
13
.160
14
.804
16
.447
18
.091
1998
19
.735
21
.378
23
.022
24
.665
1999
26
.309
27
.953
29
.596
31
.240
2000
32
.884
34
.527
36
.171
37
.814
średnia
I
I
I
I
I
I
I
V
dane
oryginalne
14
.200
17
.400
27
.600
29
.600
trend
19
.735
21
.378
23
.022
24
.665
Suro
w
e
wsk
aźniki
okreso
w
ości
S
s
0
=
14
.200
−
19
.735
=
−
5.
535
S
s
1
=
17
.400
−
21
.378
=
−
3.
978
S
s
2
=
27
.600
−
23
.022
=
4.
578
S
s
3
=
29
.600
−
24
.665
=
4.
935
Oczyszczone
wsk
aźniki
okreso
w
ości
P
oniew
aż
S
s
0
+
S
s
1
+
S
s
2
+
S
s
3
=
0,
zatem
S
oi
=
S
si
,
dla
i
=
0,
1,
2,
3.
RP
E
k
onometr
ia
89
Prognoza
dla
trzeciego
kw
artału
2001
roku
(n
0
=
22)
Prognoza
punkto
w
a
ˆy
22
=
ˆ f(22)
+
S
o
2
=
1.
644
·22
+
6.
586
+
4.
578
=
47
.332
Prognoza
przedziało
w
a
S
2
=
1
19
((4
−
6.
586
+
5.
535)
2
+
(4
−
8.
229
+
3.
978)
2
+
··
·
··
·
+
(42
−
37
.814
−
4.
935)
2
)
=
2.
942
47
.332
−
√
2.
942
,
47
.332
+
√
2.
942
=
=
(45
.62
,
49
.05)
Wniosek.
W
trzecim
kw
artale
2001
roku
należy
sp
odziew
ać
się
co
na
jmniej
45
.
zleceń,
ale
mniej
niż
50
.
RP
E
k
onometr
ia
90
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
POLITYKA EKONOMICZNA1 id 371928 Nieznany
4 ekonometria 1 id 37565 Nieznany (2)
ekonomia 3 id 155731 Nieznany
Model ekonometryczny 5 id 30479 Nieznany
9 ekonometria 1 id 48240 Nieznany (2)
ekonometria2 id 155473 Nieznany
geografia ekonomiczna id 188642 Nieznany
PD ekonometria id 352458 Nieznany
ekonometria1 id 155467 Nieznany
Ekonometria 8 id 424644 Nieznany
Informatyka ekonomiczna id 2139 Nieznany
Ekonomia 3 id 155565 Nieznany
analiza ekonomiczna id 60051 Nieznany
ekonomikatransportu2 id 156773 Nieznany
EGZAMIN EKONOMIA I id 152080 Nieznany
analiza ekonomiczna 2 3 4 id 60 Nieznany (2)
ekonomikatransportu6 id 156776 Nieznany
więcej podobnych podstron