1
Kinematyka bryły
Wykład IV
Ruch złożony
3
Ruch złożony punktu
x
y
z
O
A
ξ
η
ζ
Rozpatrzmy punkt
P poruszający się
względem pewnego
układu odniesienia
ξηζ
A
który to układ
porusza się
względem
innego układu
odniesienia
P
Oxyz
4
Ruch złożony punktu
Wielkości kinematyczne to wielkości występujące w kinematyce:
tor, prędkość, przyspieszenie, droga.
Wielkości kinematyczne bezwzględne to wielkości kinematyczne
dotyczące poruszającego się punktu P odniesione do stałego układu
odniesienia.
Wielkości kinematyczne względne to wielkości kinematyczne
dotyczące poruszającego się punktu P odniesione do ruchomego
układu odniesienia
Wielkości kinematyczne unoszenia to wielkości kinematyczne
przynależne temu punktowi ruchomego układu odniesienia, który
w danej chwili pokrywa się z punktem P.
Inaczej mówiąc są to wielkości opisujące ruch układu ruchomego
względem nieruchomego.
5
Ruch punktu P w
układzie stałym
nazwiemy ruchem
bezwzględnym.
Ruch punktu P w
ruchomym układzie
ruchomym nazwiemy
ruchem względnym.
Ruch układu
ruchomego
względem układu
stałego nazwiemy
ruchem unoszenia.
Ruch złożony punktu
P
A
P
r
r
ρ
+
=
x
y
z
ξ
η
ζ
A
O
P
r
A
r
P
P
ρ
6
Prędkość w ruchu złożonym punktu
P
A
P
r
r
ρ
+
=
P
A
P
r
r
ρ
&
&
&
+
=
P
A
P
P
r
t
r
ρ
ω
ρ
×
+
+
∂
∂
=
&
&
Prędkość punktu wyrażamy jako pochodną promienia
wektora
Uwzględniając reguły różniczkowania wektorów otrzymamy:
2
7
Ruch złożony punktu
P
P
P
u
w
b
υ
υ
υ
+
=
u
w
b
υ
υ
υ
+
=
W ruchu złożonym punktu prędkość bezwzględna punktu
jest sumą geometryczną wektorów prędkości względnej i
prędkości unoszenia.
lub uogólniając oznaczenia
Zazwyczaj prędkości względna i unoszenia nie są
wzajemnie prostopadłe
8
Prędkość w ruchu złożonym
b
υ
Gdzie:
prędkość bezwzględna (prędkość punktu P
względem układu nieruchomego)
w
υ
prędkość względna (prędkość punktu P
względem układu ruchomego)
u
υ
prędkość unoszenia, czyli prędkość punktu tego
punktu układu ruchomego (obliczana względem
układu nieruchomego), z którym w danej chwili
pokrywa się ruchomy punkt P.
9
Ruch złożony punktu
u
w
b
υ
υ
υ
+
=
Zazwyczaj prędkości względna i unoszenia nie są wzajemnie
prostopadłe:
w
υ
u
υ
α
b
υ
α
υ
υ
υ
υ
υ
cos
2
u
w
2
u
2
w
b
+
+
=
Moduł wektora prędkości bezwzględnej wyznaczamy w takim
przypadku z następującej zależności:
10
Przyspieszenie w ruchu złożonym
u
w
b
υ
υ
υ
+
=
Przyspieszenie punktu wyrażamy jako pochodną wektora
prędkości
( )
b
b
b
a
υ
υ
dt
d
=
=
&
c
u
w
b
a
a
a
a
+
+
=
W ruchu złożonym przyspieszenie punktu jest sumą geometryczną
(wektorową) przyspieszenia względnego, przyspieszenia unoszenia
i przyspieszenia Coriolisa.
11
Przyspieszenie w ruchu złożonym
b
a
u
a
w
a
w
c
2
υ
ω
×
=
a
przyspieszenie bezwzględne czyli przyspieszenie punktu
P względem nieruchomego układu odniesienia
przyspieszenie unoszenia czyli przyspieszenie punktu
układu ruchomego z którym w danej chwili pokrywa się
punkt P
przyspieszenie względne, czyli przyspieszenie punktu P
względem układu ruchomego
przyspieszenie Coriolisa
Określa wpływ ruchu względnego na ruch
unoszenia i odwrotnie
12
Przyspieszenie Coriolisa
w
υ
ω
const
=
w
υ
onst
c
=
ω
a
h
0
a
w
=
0
=
ε
Ruch względny – ruch postępowy prostoliniowy
suwaka po pręcie
Ruch unoszenia – ruch obrotowy pręta
3
13
Przyspieszenie Coriolisa
a
a
h
h
∆
+
w
v
ω
'
w
v
'
w
v
w
v
w
v
∆
const
v
w
=
onst
c
=
ω
Wektor prędkości względnej
doznał przyrostu pomimo, że:
14
Przyspieszenie Coriolisa
u
v
ω
a
a
h
h
∆
+
'
u
v
onst
c
=
ω
Wektor prędkości unoszenia doznał
przyrostu wartości pomimo, że:
a
u
h
v
⋅
=
ω
(
)
a
a
'
u
h
h
v
∆
ω
+
⋅
=
'
u
v
u
v
15
Przyspieszenie Coriolisa
Przyspieszenie Coriolisa jest równe zero w następujących
przypadkach:
0
w
=
υ
0
=
ω
ω
υ
II
w
prędkość względna jest równa zeru
prędkość kątowa ruchu unoszenia jest równa zeru,
czyli ruch unoszenia jest ruchem postępowym
wektor prędkości kątowej ruchu unoszenia jest
równoległy do wektora prędkości ruchu
względnego
16
ω
Przyspieszenie Coriolisa
ω
υ
II
w
wektor prędkości kątowej ruchu unoszenia jest
równoległy do wektora prędkości ruchu
względnego
w
v
Ruch płaski bryły
18
Mechanizm korbowo-wodzikowy
4
19
Ruch płaski bryły materialnej
0
π
A
A
π
0
π
π
II
Ruchem płaskim ciała sztywnego (bryły materialnej) nazywamy taki ruch
podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach
równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.
20
Ruch płaski bryły materialnej
A’’
A
B’’
B’
B
ϕ
W ruchu płaskim można przeprowadzić przekrój płaski z położenia
początkowego w położenie końcowe za pomocą dwóch ruchów
składowych:
- postępowego (przesunięcie równoległe)
- obrotowego (dookoła bieguna)
21
Ruch płaski bryły materialnej
środek obrotu zastępczego
C
A’’
B’’
A
B
ϕ
Drugi ze sposobów polega
na wykonaniu tylko ruchu
obrotowego dookoła
pewnego punktu, w którym
przecinają się symetralne
odcinków AB.
Punkt ten zwany jest
ś
rodkiem obrotu
zastępczego.
22
Ruch płaski bryły materialnej
chwilowy środek obrotu
S
ϕ
A
C
B
A
v
C
v
A
h
B
h
C
h
C
C
B
B
A
A
h
v
h
v
h
v
=
=
B
v
Chwilowy środek obrotu leży w punkcie
przecięcia normalnych do torów wszystkich
punktów poruszającego się przekroju lub
inaczej mówiąc na przecięciu się prostych
prostopadłych do kierunków wektorów
prędkości wszystkich punktów należących
do rozpatrywanego przekroju.
23
Ruch płaski bryły materialnej
chwilowy środek obrotu
B
S
0
v
S
=
⋅
=
s
m
h
v
i
i
ω
Prędkość punktu przekroju w ruchu płaskim jest
proporcjonalna do odległości tego punktu od
chwilowego środka obrotu
Gdzie:
ω
– prędkość kątowa przekroju w ruchu płaskim,
h
i
– odległość punktu bryły od chwilowego środka obrotu
24
O
o
v
C
Ruch płaski bryły materialnej – przykład 3
Wyznaczyć prędkość punktów B i C tarczy kołowej o promieniu
r pokazanej na rysunku
ω
B
v
B
S – chwilowy środek obrotu
C
v
r
v
o
=
ω
5
25
Ruch płaski bryły materialnej
B
A
B
v
A
v
BA
v
A
v
ω
BA
A
B
v
v
v
+
=
AB
A
B
r
v
v
×
+
=
ω
Prędkość punktu w ruchu płaskim
jest sumą geometryczną prędkości
ruchu postępowego i prędkości
ruchu obrotowego dookoła
obranego bieguna.
Ruch płaski traktowany jako złożenie ruchu postępowego
i obrotowego
AB
v
AB
v
BA
BA
⋅
=
⊥
ω
26
Ruch płaski bryły materialnej
A
v
ω
A
S
B
ω
A
v
AS
=
BS
v
B
⋅
=
ω
B
v
BS
v
AS
v
B
A
=
Chwilowy środek obrotu możemy wykorzystać do wyznaczania
prędkości punktów bryły w ruchu płaskim
Kierunek wektora prędkości v
B
jest
prostopadły do BS, a wartość
wyznaczany z zależności
27
Ruch płaski bryły materialnej – przykład 2
Wyznaczyć prędkość punktu B mechanizmu pokazanego na
rysunku
ω
A
v
A
B
B
v
A
v
BA
v
28
Plan prędkości
A
v
A
B
B
v
Prędkość dowolnego punktu przekroju w ruchu płaskim można
wyznaczyć korzystając z planu prędkości
O
C
v
C
A
v
Oa
=
a
b
B
v
Ob
=
c
C
v
Oc
=
Wielobok abc jest podobny do wieloboku
ABC i obrócony względem niego o kąt
90
o
w stronę obrotu chwilowego
b
a
v
AB
=
ac
v
AC
=
bc
v
BC
=
29
Ruch płaski bryły materialnej – przykład
Wyznaczyć prędkość punktu C mechanizmu pokazanego na
rysunku jeżeli AC=0,25·AB
A
v
A
B
C
O
a
b
c
S – chwilowy środek obrotu
ω
Przyspieszenie w ruchu płaskim
6
31
Ruch płaski bryły materialnej
Przyspieszenie znajdujemy jako pochodną wektora prędkości
AB
A
B
r
v
v
×
+
=
ω
AB
AB
A
B
r
r
v
v
&
&
&
&
×
+
×
+
=
ω
ω
(
)
AB
AB
A
B
r
r
a
a
×
×
+
×
+
=
ω
ω
ε
Przyspieszenie dowolnego punktu B określa zależność:
32
Ruch płaski bryły materialnej
(
)
4
43
4
42
1
3
2
1
n
BA
t
BA
a
AB
a
AB
A
B
r
r
a
a
×
×
+
×
+
=
ω
ω
ε
Przyspieszenie dowolnego punktu B określa zależność:
Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu płaskim jest
sumą geometryczną przyspieszenia ruchu postępowego (bieguna),
przyspieszenia stycznego i przyspieszenia normalnego we
względnym ruchu obrotowym wokół bieguna
33
Ruch płaski bryły materialnej
A
B
A
a
Rozpatrzmy przekrój bryły poruszającej się ruchem płaskim.
Znane jest przyspieszenie punktu A. Poszukujemy
przyspieszenia punktu B
34
Ruch płaski bryły materialnej
A
B
A
a
A
a
n
BA
a
n
BA
t
BA
A
B
a
a
a
a
+
+
=
t
BA
a
AB
a
AB
a
2
n
BA
n
BA
⋅
=
ω
AB
a
AB
a
t
BA
t
BA
⋅
=
⊥
ε
35
Ruch płaski bryły materialnej
A
B
A
a
A
a
n
BA
a
n
BA
t
BA
A
B
a
a
a
a
+
+
=
BA
a
BA
a
t
36
Ruch płaski bryły materialnej
A
B
A
a
A
a
n
BA
a
BA
A
B
a
a
a
+
=
BA
a
B
a
BA
a
t
7
37
Ruch płaski bryły materialnej
2
n
BA
2
t
BA
BA
a
a
a
+
=
(
)
(
)
2
AB
2
2
AB
BA
r
r
a
⋅
+
⋅
=
ω
ε
4
2
AB
BA
r
a
ω
ε
+
⋅
=
2
g
t
ω
ε
α
=
38
Ruch płaski bryły materialnej
A
B
A
a
A
a
n
BA
a
BA
a
BA
a
t
α
4
2
AB
BA
r
a
ω
ε
+
⋅
=
2
g
t
ω
ε
α
=
39
Ruch płaski bryły materialnej
A
ε
ω
A
a
Wyznaczanie przyspieszenia punktu bryły z wykorzystaniem
chwilowego środka przyspieszeń
Zakładamy, że znamy
przyspieszenie jednego
punktu bryły oraz jej
prędkość i
przyspieszenie kątowe
40
Ruch płaski bryły materialnej
α
Dla przekroju bryły w ruchu płaskim możemy znaleźć punkt, którego
przyspieszenie w danej chwili jest równe zero. Punkt ten nazywamy
chwilowym środkiem przyspieszeń.
Wektor przyspieszenia dowolnego punktu jest nachylony pod stałym kątem
do odcinka łączącego dany punkt ze środkiem przyspieszeń, a odległość tego
punktu wyznaczamy z zależności:
4
2
A
a
AM
ω
ε
+
=
2
ω
ε
α
=
tg
M - chwilowy środek
przyspieszeń
A
ε
ω
A
a
41
Przyspieszenie dowolnego punktu bryły sztywnej poruszającej się ruchem
płaskim ma wartość proporcjonalną do odległości tego punktu od środka
przyspieszeń, a wektor przyspieszenia jest nachylony pod stałym kątem do
odcinka łączącego dany punkt ze środkiem przyspieszeń.
Ruch płaski bryły materialnej
M - chwilowy środek
przyspieszeń
α
M
α
A
B
ε
ω
A
a
B
a
4
2
B
BM
a
ω
ε
+
=
2
ω
ε
α
=
tg
42
Ruch płaski
W ogólnym przypadku ruchu płaskiego bryły
chwilowy środek obrotu i chwilowy środek przyspieszeń
nie pokrywają się
Są to dwa różne punkty. Przyspieszenie chwilowego
ś
rodka obrotu jest różne od zera. Podobnie prędkość
chwilowego środka przyspieszeń jest różna od zera
8
43
Plan przyspieszeń
A
a
A
B
B
a
Przyspieszenie dowolnego punktu przekroju w ruchu płaskim
można wyznaczyć korzystając z planu przyspieszeń
O
C
a
C
A
a
Oa
=
a
b
B
a
Ob
=
c
C
a
Oc
=
Wielobok abc jest podobny do wieloboku
ABC i obrócony względem niego o kąt
180
o
-
α
w stronę obrotu lub przeciwną w
zalezności, czy ruch jest przyspieszony,
czy opóźniony
b
a
a
AB
=
ac
a
AC
=
bc
a
BC
=
k
44
Metoda analityczna wyznaczania prędkości
X
Z
Y
y
x
z
A
B
B
r
ρ
A
r
X
A
Y
A
Y
B
X
B
ϕ
y
B
x
B
Położenie układu Axyz w dowolnej chwili, względem nieruchomego
układu współrzędnych OXYZ jest opisane następującymi równaniami
ruchu:
),
(t
X
X
A
A
=
),
(t
Y
Y
A
A
=
-ruch post
ę
powy
)
(t
ϕ
ϕ
=
-ruch obrotowy
45
Ruch dowolnego punktu B figury płaskiej w układzie nieruchomym
jest opisany za pomocą promienia-wektora r
B
ρ
+
=
A
B
r
r
Prędkość punktu B wynosi:
dt
d
dt
r
d
dt
r
d
A
B
B
ρ
υ
+
=
=
B
A
dt
d
×
=
×
=
ω
ρ
ω
ρ
46
Ostatecznie otrzymamy następujący wzór na prędkość punktu B
j
X
X
v
i
Y
Y
v
v
A
B
AY
A
B
AX
B
)]
(
[
)]
(
[
−
+
+
−
−
=
ω
ω
Składowe prędkości punktu B w układzie nieruchomym są równe
)
(
A
B
AX
BX
Y
Y
v
v
−
−
=
ω
(
)
A
B
AY
BY
X
X
v
v
−
+
=
ω
47
Składowe prędkości w układzie ruchomym wynoszą
y
v
v
v
Ay
Ax
Bx
ω
ϕ
ϕ
−
+
=
sin
cos
x
v
v
v
Ax
Ay
By
ω
ϕ
ϕ
+
−
=
sin
cos
Bezwzględną wartość prędkości punktu B obliczamy ze wzoru
2
2
2
2
By
Bx
BY
BX
B
v
v
v
v
v
+
=
+
=
48
Równania określające położenie chwilowego środka obrotu w
układzie nieruchomym
0
)
(
=
−
−
A
S
AX
Y
Y
v
ω
0
)
(
=
−
+
A
S
AY
X
X
v
ω
( )
t
f
v
Y
Y
AX
A
S
1
=
+
=
ω
( )
t
f
v
X
X
AY
A
S
2
=
−
=
ω
Rugując czas z powyższych równań uzyskamy równanie
krzywej zwanej centroidą stałą
9
49
Po wykorzystaniu wzorów na składowe prędkości w układzie
ruchomym, otrzymamy równania określające położenie chwilowego
ś
rodka obrotu w układzie ruchomym
0
sin
cos
=
−
+
y
v
v
Ay
Ax
ω
ϕ
ϕ
0
sin
cos
=
+
−
x
v
v
Ax
Ay
ω
ϕ
ϕ
st
ą
d
ω
ϕ
ϕ
cos
sin
Ay
Ax
v
v
x
−
=
ω
ϕ
ϕ
sin
cos
Ay
Ax
v
v
y
+
=
50
Przyspieszenie punktu B otrzymamy różniczkując wzór na
prędkość tego punktu względem czasu
)
(
a
a
dt
d
dt
d
dt
v
d
dt
v
d
a
A
A
B
ρ
ω
ω
ρ
ε
ρ
ω
ρ
ω
×
×
+
×
+
=
×
+
×
+
=
=
Ostatecznie wzór na przyspieszenie punktu B ma postać
2
A
B
a
a
ω
ρ
ρ
ε
−
×
+
=
Metoda analityczna wyznaczania przyspieszenia
51
Metoda analityczna obliczania przyspieszeń w ruchu płaskim
polega na zastosowaniu poprzednio wyprowadzonych wzorów lub
na zróżniczkowaniu prędkości rozważanego punktu B ciała
sztywnego
)
(
A
B
AX
BX
Y
Y
v
v
−
−
=
ω
)
(
A
B
AY
BY
X
X
v
v
−
+
=
ω
Składowe przyspieszenia punktu B w układzie nieruchomym
wynoszą
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
A
B
A
B
AY
BY
A
B
A
B
AX
BX
Y
Y
X
X
a
a
X
X
Y
Y
a
a
−
−
−
+
=
−
−
−
−
=
ω
ε
ω
ε
52
Warto
ść
przyspieszenia bezwzgl
ę
dnego obliczamy ze wzoru
2
2
BY
BX
B
a
a
a
+
=
Ruch kulisty bryły
54
Ruch kulisty bryły materialnej
O
x
z
y
Ruchem kulistym nazywamy, ruch ciała sztywnego, którego jeden punkt,
zwany środkiem ruchu kulistego, jest unieruchomiony.
Na rysunku przedstawiono ciało
sztywne, dla którego środkiem ruchu
kulistego jest punkt O, obrany jako
początek nieruchomego układu
współrzędnych Oxyz.
Torami punktów rozpatrywanego
ciała są pewne krzywe leżące na
powierzchniach kul o wspólnym
ś
rodku w punkcie O.
10
55
Ruch kulisty bryły materialnej
O
x
z
y
Z położenia początkowego do położenia następnego, sąsiedniego można
przeprowadzić bryłę za pomocą obrotu dookoła osi przechodzącej przez pkt O,
zwanej chwilową osią obrotu.
Chwilowa oś obrotu, to prosta
związana z bryłą, której
wszystkie punkty mają w danej
chwili prędkości równe 0
Chwilowa o
ś
obrotu
ω
56
Przykład ruchu kulistego
Ś
rodek ruchu
kulistego
Chwilowa oś obrotu
57
O
x
z
y
Ruch kulisty bryły materialnej
ξ
η
ζ
Aby określić położenie
ciała względem
nieruchomego układu
współrzędnych, z ciałem
tym zwiążemy prostokątny
układ współrzędnych
którego początkiem jest
ś
rodek ruchu kulistego.
ξηζ
O
58
Ruch kulisty bryły materialnej
kąty Eulera
- kąt nutacji
- kąt precesji
- kąt obrotu własnego
N - oś węzłów
N
ϑ
ψ
ϕ
Położenie układu ruchomego, a tym samym i położenie w
przestrzeni związanego z nim ciała, jest jednoznacznie
określone za pomocą trzech kątów noszących nazwę kątów
Eulera.
59
Kąt , zwany kątem nutacji, jest
kątem między osią O układu
związanego z ciałem, a osią Oz
nieruchomego układu
współrzędnych.
Kąt nutacji
N
ϑ
ζ
60
Kąt
ψ
, czyli kąt precesji, zawarty
jest między osią Ox a prostą ON
będącą śladem płaszczyzny O
ξη
na nieruchomej płaszczyźnie Oxy.
Prosta ON nosi nazwę linii
węzłów i jest prostopadła do
płaszczyzny przesuniętej przez
osie
i Oz.
Kąt precesji
N
ζ
O
11
61
Kąt
ϕ
, zwany kątem obrotu
własnego, jest kątem, który
tworzy oś O
ξ
z linią węzłów
ON.
Ponieważ położenie układu
określone jest za pomocą trzech
parametrów przeto ciało sztywne
o unieruchomionym jednym
punkcie ma trzy stopnie
swobody.
Kąt obrotu własnego
N
ζηζ
O
62
Prędkość w ruchu kulistym bryły materialnej
ϑ
ω
ϕ
ω
ψ
ω
ϑ
ϕ
ψ
&
&
&
=
=
=
;
;
prędkość kątowa precesji
prędkość kątowa obrotu własnego
prędkość kątowa nutacji
ψ
ω
ϕ
ω
ϑ
ω
ϑ
ϕ
ψ
ω
ω
ω
ω
+
+
=
Prędkość kątowa ruchu kulistego
63
Ruch kulisty bryły materialnej
N
0
const
const
=
=
=
ϑ
ϕ
ψ
ω
ω
ω
Ruch kulisty ciała sztywnego,
który charakteryzuje się tym,
ż
e kąt nutacji jest stały, a
prędkości obrotu własnego
i precesji są stałe, nazywamy
precesja regularną
64
Przykład ruchu kulistego
Chwilowa oś obrotu
ψ
ω
ω
ϕ
ω
65
Prędkość punktu w ruchu kulistym bryły
u - chwilowa oś obrotu
r
v
×
=
ω
'
r
v
⋅
=
ω
Prędkość dowolnego punktu w ruchu kulistym
określa zależność:
Moduł wektora prędkości wyznaczamy ze wzoru
66
Przyspieszenie punktu bryły w ruchu kulistym
)
r
ω
(
dt
d
v
a
×
=
=
&
r
r
a
&
&
×
+
×
=
ω
ω
v
r
a
×
+
×
=
ω
ε
d
o
a
a
a
+
=
Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu
kulistym:
12
67
Ruch kulisty bryły materialnej
x
z
y
Prosta przechodząca przez
ś
rodek ruchu O, na której leży
wektor
ε
nazywa się chwilową
osią przyspieszenia kątowego
Chwilowa oś obrotu
ω
Chwilowa oś przyspieszenia
kątowego
ε
dt
d
ω
ε
=
Przyspieszenie kątowe
O
68
Przyspieszenie obrotowe w ruchu kulistym
r
a
o
×
=
ε
Przyspieszenie obrotowe:
'
r
a
1
o
⋅
=
ε
Wartość przyspieszenia
obrotowego
Gdzie: r
1
’
- odległość danego punktu od osi przyspieszenia
kątowego
Kierunek przyspieszenia obrotowego jest prostopadły
do płaszczyzny przechodzącej przez oś przyspieszenia i
dany punkt, a zwrot taki, aby wektory
εεεε
, r, a
o
tworzyły
układ prawy
69
Przyspieszenie doosiowe w ruchu kulistym
v
a
d
×
=
ω
Przyspieszenie doosiowe:
1
2
r
a
d
⋅
=
ω
Wartość przyspieszenia
doosiowego
Gdzie: r
1
- odległość danego punktu od chwilowej osi obrotu
Kierunek przyspieszenia doosiowego jest prostopadły do
chwilowej osi obrotu, a zwrot przyspieszenia jest zawsze do osi
70
Ruch kulisty bryły materialnej
O
x
z
y
Chwilowa oś obrotu
Chwilowa oś przyspieszenia
kątowego
ε
ω
r
1
r
1
’
.
.
.
d
a
o
a
a
d
o
a
a
a
+
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wykl kin 4
6 wykl kin
wykl kin 3
wykl 8 Mechanizmy
Stomatologia czesc wykl 12
Wykł 1 Omówienie standardów
Wykl 1
KOMPLEKSY POLAKOW wykl 29 03 2012
Wykł 1B wstępny i kinematyka
Ger wykł II
Wykł BADANIA KLINICZNO KONTROLNE I PRZEKROJOWE
Wykł 05 Ruch drgający
podstawy prawa wykl, Prawo dz 9
łuszczyca wykł
więcej podobnych podstron