1
Kinematyka punktu materialnego
Wykład IV
2
Kinematyka zajmuje się ruchem ciał bez badania przyczyn tego ruchu.
Ruchem ciała nazywamy zjawisko polegające na zmianie w czasie połoŜenia tego
ciała względem innego ciała, które umownie przyjmujemy za nieruchome.
W zagadnieniach technicznych za nieruchome ciało przyjmujemy Ziemię i
względem niej badamy ruch ciał.
Z ciałem nieruchomym wiąŜemy układ współrzędnych, który nazywamy układem
odniesienia.
Ruch jest zjawiskiem względnym i zaleŜy od przyjętego układu odniesienia.
Badanie ruchu polega na badaniu zmiany w czasie połoŜenia ciała w przyjętym
układzie odniesienia.
Czas traktujemy jako pojęcie pierwotne.
Pojęcia wstępne
3
KINEMATYKA
Punktu
Ruch prostoliniowy
Ruch krzywoliniowy
Bryły sztywnej
Ruch post
ę
powy
Ruch obrotowy
Ruch płaski
Ruch kulisty
Ruch ogólny
4
Pojęcie toru punktu
Torem punktu
(trajektorią) nazywamy
miejsce geometryczne
chwilowych połoŜeń
punktu
x
x
y
y
z
z
O
A
Tor punktu
5
Równania ruchu punktu
Oznaczmy przez x, y, z współrzędne punktu A
poruszającego się względem przyjętego układu
odniesienia. Współrzędne te zaleŜą od czasu, czyli
są funkcjami zmiennej t.
(t)
f
x
1
=
(t)
f
y
2
=
(t)
f
z
3
=
Równania te nazywamy kinematycznymi
równaniami ruchu lub skończonymi równaniami
ruchu.
6
Równania ruchu punktu
Równania ruchu są więc zarazem równaniami
parametrycznymi toru punktu. Rugując z nich
parametr
t
otrzymujemy równanie toru.
0
z)
y,
f(x,
=
2
7
Ruch punktu na płaszczyźnie
Równania ruchu punktu w układzie kartezjańskim
tor punktu
x
x
y
y
O
A
f(x,y)=0
(t)
f
x
1
=
(t)
f
y
2
=
8
Promień wektor
Ruch punktu moŜna
opisać za pomocą
promienia wodzącego r
x
y
z
r
O
A
A
(t)
r
r
=
( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
r
+
+
=
9
Współrzędne sferyczne
W
układzie
sferycznym
za
współrzędne punktu przyjmujemy:
•długość promienia wodzącego r
•kąt pomiędzy płaszczyzną zx i
płaszczyzną OzA
•kąt pomiędzy płaszczyzną xy i
promieniem wodzącym r.
x
y
z
ϕ
ψ
r
O
A
A
(t)
f
r
1
=
(t)
f
2
=
ϕ
(t)
f
ψ
3
=
10
Współrzędne sferyczne
Transformacja współrzędnych sferycznych do układu
kartezjańskiego
( )
( )
ψ
cos
cos
r
x
⋅
⋅
=
ϕ
( )
( )
ψ
cos
sin
r
y
⋅
⋅
=
ϕ
( )
ψ
sin
r
z
⋅
=
11
Współrzędne biegunowe
W układzie biegunowym
jako
współrzędne punktu przyjmujemy:
•długość promienia wodzącego r
•kąt biegunowy
(t)
f
r
1
=
(t)
f
2
=
ϕ
x
x
y
y
O
A
r
ϕ
)
cos(
r
x
ϕ
⋅
=
)
sin(
r
y
ϕ
⋅
=
Transformacja układu współrzędnych
12
Współrzędne walcowe
W układzie walcowym za
współrzędne punktu przyjmujemy:
•współrzędna kartezjańska z
•długość promienia wodzącego r
•kąt pomiędzy płaszczyzną xz i
promieniem wodzącym r.
(t)
f
r
2
=
(t)
f
3
=
ϕ
(t)
f
z
1
=
x
y
z
z
ϕ
r
O
A
A
3
13
Współrzędne walcowe
Transformacja współrzędnych walcowych do układu
kartezjańskiego
)
cos(
r
x
ϕ
⋅
=
)
sin(
r
y
ϕ
⋅
=
z
z
=
14
Współrzędna naturalna
JeŜeli dany jest tor punktu
(równanie toru ruchu punktu)
to połoŜenie punktu w
przestrzeni moŜemy określić
przez podanie współrzędnej
s(t)
mierzonej wzdłuŜ toru
od pewnego nieruchomego
punktu A
o
x
y
z
O
O
A
S(t)
A
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
S
2
1
t
t
2
2
2
∫
+
+
±
=
f(t)
S
=
15
Opis ruchu punktu za pomocą promienia wektora
Niech połoŜenie punktu A jest
określone za pomocą promienia
wektora r poprowadzonego z
nieruchomego punktu O.
x
y
z
O
A
( )
t
r
r
A
A
=
( )
t
r
A
16
Opis ruchu punktu
PołoŜenie punktu A w chwili t+
∆
t
określamy za pomocą promienia
wektora r
A
, poprowadzonego równieŜ
z nieruchomego punktu O.
x
y
z
O
O
O
A
r(t)=r
r(t+
∆
t)=r
∆
r
A
A
A
r
∆
r
r
A
A
+
=
0
r
∆
(t)
r
∆
t)
(t
r
+
=
+
17
Prędkość punktu materialnego
Wektor prędkości
punktu w danej
chwili jest równy
pochodnej wektora
promienia wodzącego
względem czasu.
Wektor prędkości
υ
punktu leŜy na stycznej
do toru i ma kierunek
ruchu punktu A.
r
dt
r
d
t
r
lim
0
t
&
=
=
=
→
∆
∆
υ
∆
x
y
z
O
A
( )
t
r
A
υ
18
Prędkość punktu
dt
r
d
=
υ
k
υ
j
υ
i
υ
υ
z
y
x
+
+
=
x
dt
dx
υ
x
&
=
=
y
dt
dy
υ
y
&
=
=
z
dt
dz
υ
z
&
=
=
Składowe prędkości są równe pochodnym względem czasu
odpowiednich współrzędnych poruszającego się punktu.
4
19
Składowe prędkości w układzie kartezjańskim
x
x
y
y
z
z
O
A
υ
υ
υ
υ
2
z
2
y
2
x
υ
υ
υ
υ
+
+
=
20
WyraŜenie prędkości za pomocą współrzędnej naturalnej
Prędkością
υυυυ
punktu A nazywamy wektor, którego wartość
bezwzględna równa jest wartości bezwzględnej pochodnej drogi
punktu A względem czasu, skierowany wzdłuŜ stycznej do toru
rozpatrywanego punktu, w tę stronę, w którą w danej chwili
punkt się porusza.
x
y
τ
z
O
A
υ
21
Wektor prędkości
gdzie: wersor wektora prędkości o kierunku stycznym
do toru
τ
dt
dS
∆
t
∆
S
lim
υ
0
∆
t
=
=
→
τ
dt
dS
υ
=
22
Prędkość w biegunowym układzie współrzędnych
W układzie biegunowym prędkość
rozkładamy na dwie składowe:
• prędkość promieniowa
υ
r
•prędkość obwodowa
υ
ϕ
dt
dr
r
=
υ
dt
d
r
ϕ
υ
ϕ
=
x
y
O
A
r
ϕ
ϕ
υ
υ
υ
+
=
r
2
2
r
ϕ
υ
υ
υ
+
=
r
υ
ϕ
υ
υ
23
Hodograf
Krzywą będącą miejscem geometrycznym końców wektora b(t)
wykreślonych z jednego punktu nazywamy hodografem funkcji
wektorowej b(t)
x
y
z
b(t1)
b=b(t)
b(t2)
b(t)
b(t+ t)
∆
O
24
Przyspieszenie punktu materialnego
r
dt
r
d
dt
d
a
2
2
&
&
=
=
=
υ
x
y
z
O
A
( )
t
r
A
υ
a
Przyspieszenie punktu równe
jest pochodnej geometrycznej
wektora prędkości punktu
względem czasu.
Wektor przyspieszenia jest
styczny do hodografu prędkości
i zwrócony w stronę środka
krzywizny toru punktu.
Jako początek wektora
przyspieszenia przyjmuje się
punkt, którego przyspieszenie
wyznaczamy.
5
25
Przyspieszenie punktu
2
2
dt
r
d
dt
d
a
=
=
υ
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
+
+
=
x
dt
x
d
a
2
2
x
&
&
=
=
Składowe przyspieszenia są równe drugim pochodnym względem
czasu odpowiednich współrzędnych poruszającego się punktu.
y
dt
y
d
a
2
2
y
&
&
=
=
z
dt
z
d
a
2
2
z
&
&
=
=
26
Przyspieszenie w biegunowym układzie
współrzędnych
W
układzie
biegunowym
przyspieszenie
rozkładamy
na
dwie składowe:
• przyspieszenie promieniowe a
r
•przyspieszenie obwodowe a
ϕ
2
2
2
r
dt
d
r
dt
r
d
a
−
=
ϕ
dt
dr
dt
d
2
dt
d
r
a
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
x
y
O
A
r
ϕ
ϕ
a
a
a
r
+
=
2
2
r
a
a
a
ϕ
+
=
r
a
ϕ
a
a
27
Naturalny układ współrzędnych
Układ trzech osi: stycznej zwróconej w stroną ruchu, normalnej
głównej zwróconej w stronę środka krzywizny toru i binormalnej
zwróconej tak aby te osie w podanej kolejności tworzyły układ
prawy nazywamy naturalnym układem współrzędnych
Opisany układ jest układem
ruchomym związanym z
poruszającym się punktem.
Płaszczyzna
ś
ciśle styczna
normalna główna
binormalna
styczna
0
τ
0
b
0
n
28
Przyspieszenie w naturalnym układzie współrzędnych
Wektor przyspieszenia punktu leŜy w płaszczyźnie ściśle
stycznej do toru.
n
t
a
a
a
+
=
( ) ( )
2
n
2
t
a
a
a
+
=
0
n
0
t
n
a
a
a
+
=
τ
NiezaleŜnie od kształtu toru, przyspieszenie punktu w układzie
naturalnym ma tylko dwie wzajemnie prostopadłe składowe:
styczną i normalną. Składowa binormalna jest równa zero.
29
Przyspieszenie w naturalnym układzie
współrzędnych
ρ
υ
2
n
a
=
υ
υ
&
=
=
dt
d
a
t
Przyspieszenie styczne powoduje zmianę modułu wektora
prędkości. Przyspieszenie styczna ma kierunek wektora
prędkości
Przyspieszenie normalne powoduje zmianę kierunku wektora
prędkości i jest skierowane w stronę środka krzywizny toru
Gdzie:
υ
– prędkość punktu,
ρ
- promień
krzywizny toru
30
Podział ruchów punktu materialnego
Ze względu na przyspieszenie normalne moŜemy
wyróŜnić
•
ruch prostoliniowy a
n
=0
•
ruch krzywoliniowy a
n
≠≠≠≠
0
6
31
Podział ruchów punktu materialnego
ruch jednostajny:
S
v
S
v
t
t
o
o
Podział ze względu na przyspieszenie styczne
0
a
t
=
o
o
t
dt
dS
const
0
dt
d
a
υ
υ
υ
υ
υ
=
=
=
=
=
=
o
o
o
S
t
S
dt
dS
+
=
=
υ
υ
32
Podział ruchów punktu materialnego
S
v
a
a t =const
S
v
t
t
t
o
o
ruch jednostajnie zmienny:
• ruch jednostajnie
przyspieszony
• ruch jednostajnie opóźniony
const
a
t
=
o
t
t
a
υ
υ
+
⋅
=
o
o
2
t
S
t
2
t
a
S
+
+
⋅
=
υ
0
a
t
>
0
a
t
<
33
Podział ruchów punktu materialnego
ruch niejednostajnie zmienny:
( )
t
a
a
t
t
=
dt
a
t
∫
=
υ
dt
s
∫
=
υ