Wykład 2

Drgania swobodne tłumione

W rzeczywistych układach drgających mamy do czynienia ze zjawiskiem
rozpraszania energii. Nie jest spełniona zasada zachowania energii
mechanicznej.
Drganie układów liniowych z uwzględnieniem rozproszenia energii możemy
opisać równaniem:

- siła tłumienia drgań, która

wprowadzona została w celu
uwzględnienia efektu
rozproszenia energii.

F(t) - siła wymuszająca, którą na razie

(drgania swobodne)
przyjmujemy równą zero.

W rzeczywistych konstrukcjach mechanicznych przyjmujemy założenie że

siła

tłumienia

jest

proporcjonalna do prędkości drgań

.

c – stały współczynnik tłumienia

Model tłumienia opisany tym równaniem nosi nazwę tłumienie wiskotyczne
(płynne).

Korzyści wynikające z zastosowania modelu wiskotycznego
1. zachowanie liniowości równania różniczkowego drgań


2. model ten jest właściwym opisem rzeczywistego rozpraszania energii drgań
mechanicznych.

Rozwiązanie równania różniczkowego drgań (rozwiązanie ogólne) możemy
przedstawić w postaci:



A, B

są stałymi całkowania, wynikającymi z podanych warunków
początkowych

)

(t

F

kx

F

x

m

d

=

+

+

&&

d

F

x

c

F

d

&

=

0

=

+

+

kx

x

c

x

m

&

&&

t

s

t

s

Be

Ae

x

2

1

+

=

F(t)

Uwaga: przypadki podawania

błędnych

adresów e–mail

W celu otrzymania kopii materiałów, należy wysłać pocztę na adres:

[e-mail]

są pierwiastkami równania charakterystycznego, wyznaczanymi
według wzoru:

Uwzględniając te pierwiastki, rozwiązanie równania różniczkowego przyjmie
postać:







Funkcja przemieszczenia x zależy od wyrażenia występującego pod
pierwiastkiem i rozróżniamy przypadki:

1.

W takim przypadku wykładniki mają wartości
dodatnie, zaś rozwiązanie x jest sumą funkcji
wykładniczych (nieokresowych), czyli nie ma drgań.

2.

W takim przypadku funkcja wykładnicza przyjmuje

następującą postać

i funkcję tę możemy zapisać

Częstość drgań swobodnych tłumionych

2

1

, s

s

0

2

2

1

2

2

/

1

>

−













±

−

=

s

m

k

m

c

m

c

s

















+

=

⋅

−













−

⋅

−













−

t

m

k

m

c

t

m

k

m

c

m

c

Be

Ae

e

x

2

2

2

2

2

0

2

2

>

−













m

k

m

c

0

2

2

<

−













m

k

m

c















⋅













−

±















⋅













−

=

⋅













−

t

m

c

m

k

j

t

m

c

m

k

e

t

m

c

m

k

j

2

2

2

2

sin

2

cos

2

t

m

c

m

k

ω

=













−

2

2

2

2

2

2

n

t

n

m

k

m

c

ω

ω

ω

=

=













−

Układ fizyczny, w którym obserwujemy rozproszenie energii, wykonuje drgania
tłumione o częstości kołowej

ω

t

, opisanej podanym wzorem. Z zależności tej

wynika, że

częstość

ω

t

jest mniejsza od częstości

ω

n

.

W rzeczywistych układach drgających różnica między tymi częstościami jest
nieznaczna, dochodząca do 2–3%

3.

Przypadek ten określa stan graniczny pomiędzy
ruchem drgającym, czyli okresowym, a ruchem
nieokresowym.
Jest to warunek, przy którym zanikają drgania
mechaniczne.

Zwiększenie współczynnika tłumienia c od 0 aż do wartości spełniających
warunek 3 spowoduje zanik drgań.

Tłumienie spełniające ten warunek nosi nazwę: tłumienie krytyczne.

Jeżeli:


Bezwymiarowy współczynnik tłumienia

(dzeta)

w takim stanie są drgania mechaniczne

stan graniczny określony tłumieniem krytycznym

nie ma drgań w tym stanie

0

2

2

=

−













m

k

m

c

m

k

c

m

k

m

c

kr

kr

⋅

=

=

−













2

0

2

2

n

kr

n

m

c

m

k

ω

ω

2

=

=

n

kr

m

c

c

c

ω

ζ

2

=

=

1

1

1

>

=

<

ζ

ζ

ζ

W przypadku ruchu oscylacyjnego, dla którego

ζ

< 1 rozwiązanie równania

różniczkowego możemy zapisać w postaci

(

)

=

+

⋅

−

=

−

ϕ

ω

ζ

ζω

t

Xe

x

n

t

n

2

1

sin

(

)

(

)

[

]

t

c

t

c

e

n

n

t

n

ω

ζ

ω

ζ

ζω

2

2

2

1

1

cos

1

sin

−

+

−

=

−

Po uwzględnieniu warunków początkowych, podobnie jak przy drganiach
nietłumionych, otrzymamy rozwiązanie w postaci:







Aby zaistniały drgania swobodne tłumione, przynajmniej jeden z warunków
początkowych musi być

≠0

Sinusoida gasnąca ograniczona jest obwiednią będącą funkcją wykładniczą.

(

)

(

)















−

+

−

⋅

−

+

=

−

t

x

t

x

x

e

x

n

n

n

n

t

n

ω

ζ

ω

ζ

ζ

ω

ζω

ζω

2

0

2

2

0

0

1

cos

1

sin

1

&

Wykres przedstawia sinusoidę
gasnącą, której okres drgań
(tłumionych) podany jest
wzorem i jest dłuższy od
okresu drgań nietłumionych.

n

T

ω

ζ

π

2

1

2

−

=

Efekt rozpraszania energii
„wydłuża” sinusoidę.

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0

2

4

6

8

10

t

n

Xe

ςω

−

−

t

n

Xe

ςω

−

ϕ

sin

0

X

x =

t

Ruch przy tłumieniu krytycznym
W takim przypadku rozwiązanie równania różniczkowego przy uwzględnieniu
warunków początkowych przyjmuje postać















Niezależnie od rodzajów ekstremów lokalnych (min. lub max.) obserwujemy
asymptotyczną (nieokresową) zbieżność przy t dążącym do

∞.

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Rozważmy funkcję opisującą drgania tłumione





Rozważmy dwie wartości tej funkcji

gdzie:





Otrzymujemy wówczas

(

)

[

]

0

0

0

x

t

x

x

e

x

n

t

n

+

+

=

−

ω

ω

&

x

t

0

0

x&

0

0

=

x&

0

0

x&

Przebieg funkcji zależy od
warunku początkowego
narzuconego na prędkość

przy założeniu, że x

0

>0

0

x&

(

)

ϕ

ω

ζ

ζω

+

−

=

−

t

Xe

x

n

t

n

2

1

sin

( )

(

)

τ

+

=

=

t

x

x

t

x

x

2

1

n

ω

ζ

π

τ

2

1

2

−

=

W szczególnym przypadku, czas t

1

określony dla pierwszego maksimum

krzywej gaśnięcia. Stanowi temu odpowiada przemieszczenie x

1

. Wówczas czas

odpowiadający drugiemu maximum wynosi t

1

+

τ

, zaś odpowiednia amplituda

wynosi x

2

. Obliczamy następujące wyrażenie

Dla małych

ζ

⇒

δ

≅ 2

π

ζ

Współczynnik

δ

(delta) oznacza logarytmiczny dekrement tłumienia i mierzy

szybkość zanikania drgań swobodnych tłumionych. W przypadku niewielkich
tłumień jest on proporcjonalny do bezwymiarowego współczynnika

ζ

. Celowość

wprowadzenia współczynnika

δ

uzasadnia łatwy sposób jego wyznaczenia na

podstawie obserwacji sinusoidy gasnącej. Znając współczynnik

δ

możemy

wyznaczyć współczynnik

ζ

, który określa rozproszenie energii w układzie.

Identyfikacja współczynnika tłumienia w układzie drgającym realizowana w
następujących etapach:
I. Wzbudzenie drgań tłumionych i obserwacja krzywej gaśnięcia







II. Wyznaczenie amplitud w maksimach lokalnych x

1

, x

2

III. Obliczenie współczynnika

(

)

(

)

[

]

ϕ

τ

ω

ζ

ϕ

ω

ζ

τ

ζω

ζω

+

+

−

=

+

−

=

+

−

−

1

2

)

(

2

1

2

1

1

sin

1

sin

1

1

t

Xe

x

t

Xe

x

n

t

n

t

n

n

(

)

2

2

2

1

1

2

1

2

ln

ln

ln

1

1

ζ

πζ

ω

ζ

π

ζω

τ

ζω

δ

τ

ζω

τ

ζω

ζω

−

=

−

=

=

=

=

=

+

−

−

n

n

n

t

t

n

n

n

e

Xe

Xe

x

x

2

1

ln

x

x

=

δ

0

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂

x

U

x

D

x

T

x

T

dt

d

&

&

IV. Określenie współczynnika



V. Wyznaczenie współczynnika tłumienia


Realizacja eksperymentalna identyfikacji tłumienia w układzie















Drgania swobodne tłumione w ruchu zależnym

• Nie jest spełniona zasada zachowania energii mechanicznej

• Dla ruchu drgającego wzdłuż współrzędnej uogólnionej x stosujemy

równanie Lagrange’a II rodzaju:

Energia kinetyczna:

Funkcja rozproszenia Energia

potencjalna:

energii

(dyssypacji):

2

2

1

x

m

T

&

=

2

2

1

x

c

D

&

=

2

2

1

kx

U

=

W rezultacie, otrzymujemy równanie dynamiki układu zredukowanego:

π

δ

ζ

2

=

n

kr

m

c

c

ω

ζ

ζ

2

=

⋅

=

,

0

=

+

+

kx

x

c

x

m

&

&&

( )

( )







=

=

0

0

0

0

x

x

x

x

&

&

WARUNKI

POCZĄTKOWE

c

k


m

Komputer z kartą pomiarową

Czujnik bezwładnościowy – piezoelektryczny

(mierzy przyśpieszenia masy drgającej) do 20 kHz

Idea:
- uderzenie młotkiem testowym (zadany

warunek początkowy)

- obserwacja drgań na ekranie komputera

W rezultacie:

δ

i

różne dla i =1,…,k

Wzmacniacz ładunku

Układ drgający o 1 stopniu swobody:
Dane:

m

1

=2 kg

r

1

=0.05 m

m

2

=1.5 kg

r

2

=0.1 m

m

3

=3 kg

k

1

=1

×10

4

N/m

k

2

=2

×10

4

N/m

c

1

=100 Ns/m

Energia potencjalna:

2

2

2

1

1

2

1

2

1

x

k

x

k

U

+

=

Energia kinetyczna:

2

3

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

m

r

m

r

m

x

m

T

&

&

&

&

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

=

ϕ

ϕ

Funkcja rozproszenia energii:

2

1

1

2

1

x

c

D

&

=

x – współrzędna uogólniona

Równania więzów:

2

2

r

x

=

ϕ

2

1

x

x

=

1

1

2r

x

=

ϕ

2

2

2

1

2

1

4

1

2

1

kx

x

k

k

k

U

=













+

=

43

42

1

2

2

3

2

1

2

1

2

1

8

3

2

1

x

m

x

m

m

m

m

T

&

&

4

4

4

3

4

4

4

2

1

=













+

+

=

2

2

1

2

1

4

1

2

1

x

c

x

c

c

D

&

&

3

2

1

=













⋅

=

( )

( )

m/s

1

0

m

1

.

0

0

=

=

x

x

&

m

1

, r

1

m

2

, r

2

m

3

k

1

k

2

ϕ

1

ϕ

2

c

1

x

1

x

Drgania imaka nożowego podczas toczenia ortogonalnego

Masa imaka: m=24 kg

Sztywność zamocowania
imaka:

k

1

=1.5

×10

7

N/m

Tłumienie zamocowania

imaka:

c=1500 Ns/m

Opór

właściwy

skrawania:

k

s

=4

×10

8

N/m

2

Szerokość
skrawania:

b=2.8 mm

Zadana

grubość warstwy

skrawanej:

h

D

=0.2 mm

Uwaga:

k

2

=b k

s

jest

dodatkową sztywnością

w

układzie

Na imak oddziałuje zmienna w czasie siła skrawania:

(

)

x

h

b

k

F

D

s

s

−

=

Równanie dynamiki przyjmie postać:

s

F

x

k

x

c

x

m

=

+

+

1

&

&&

,

a po przekształceniu oraz pominięciu po prawej stronie stałej składowej:

D

s

s

bh

k

F

=

– postać:

{

0

2

1

=





















+

+

+

x

k

k

bk

k

x

c

x

m

s

43

42

1

&

&&

Jest to równanie drgań swobodnych tłumionych układu o jednym stopniu
swobody.

x

c

ϕ

k

s

h

D

≡ f

b

f

l

d

k

1

n

0

m

Podstawa

imaka

Imak

nożowy

Przedmiot

obrabiany

x

2

x

1