Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl –

12

–

[e-mail]

4.

Zasada prac wirtualnych dla ciała doskonale sztywnego
(nieodkształcalnego) znajdującego się
w stanie równowagi (przypadek statyki)

Jest to wariant ogólnej zasady zachowania energii znanej z fizyki.

4.1. Przemieszczenia

wirtualne

Ponieważ rozważamy zagadnienia statyczne, to ciała nie wykonują ruchu.
Można jednak wyobrazić sobie pewien „mały” ruch i otrzymane zeń zależności
przyjąć za podstawę analizy zachowania się ciała.

Def.
Przemieszczenie wirtualne, czasem używa się określenia „przemieszczenie przy-
gotowane” (zob. S. Banach, Mechanika w zakresie szkół akademickich [1947]) –
jest to dowolne (pewne wyobrażalne) odchylenie od położenia równowagi
spełniające następujące warunki (zob. Błąd! Nie można odnaleźć źródła odsy-
łacza.):

a) jest nieskończenie małe

0

(

)

L

δ 

;

b) jest niezależne od sił obciążających;
c) jest zgodne z więzami geometrycznymi.

Rys. 4.1 Przemieszczenie wirtualne

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl –

13

–

[e-mail]

4.2. Zasada prac wirtualnych jest alternatywnym sformułowaniem

warunku równowagi pewnego układu sił działającego na ciało

Tw.
Zasada Prac Wirtualnych.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi ciała sztywnego jest by
praca wszystkich sił

na przemieszczeniach wirtualnych

i

P

i

δ (zob. Rys. 4.2)

była równa zeru

i

i

i

L

P

δ

=

⋅

∑

, gdzie

i

i

P

δ – para sprzężona. (4.1)

Rys. 4.2 Sprzężona para siła-przemieszczenie

W przypadku płaskiego układu sił (Rys. 4.3), przyjmując pewien kartezjański
układ współrzędnych

( , , )

x y z

, możemy zapisać następujące równania równo-

wagi:

.

(4.2)

0,

0,

0

i x

i y

i o

P

P

M

=

=

∑

∑

∑

=

Rys. 4.3 Płaski układ sił działający na ciało

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl –

14

–

[e-mail]

4.3. Zasady prac wirtualnych wynikają z rachunku wariacyjnego
W płaskim układzie sił równania równowagi wynikają z zapisanej wzorem (4.1)
zasady prac wirtualnych.

Przy szczególnym przyjęciu przemieszczenia wirtualnego ciała (Tab. 4.1),

tzn. przyjmując pewien kartezjański układ współrzędnych

( , , )

x y z

można zapi-

sać je w poniższy sposób.

przemieszczenie wirtualne

wynikające równanie równowagi

translacja ciała wzdłuż osi x

0

i x

P

=

∑

translacja ciała wzdłuż osi

y

0

i y

P

=

∑

rotacja ciała wokół punktu

O

0

i o

M

=

∑

Tab. 4.1

Przemieszczenie ciała sztywnego ma trzy możliwe uogólnione składowe

,

,

x

y

o

δ δ ϕ . Można, zatem rozdzielić ruch (na składowe) i rozpatrywać niezależ-

nie stany przemieszczeń uogólnionych (przemieszczenie w kierunku x , prze-
mieszczenie w kierunku , obrót względem punktu ).

y

O

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl –

15

–

[e-mail]

Przemieszczenie wirtualne ciała w kierunku x –

x

δ

Rys. 4.4

0

i

i

ix

x

x

ix

i

i

i

P

P

P

δ

δ

δ

⋅ =

⋅

=

⋅

=

∑

∑

∑

, gdzie

x

δ – dowolne,

0

ix

i

P

=

∑

. (4.3)

Przemieszczenie wirtualne ciała w kierunku –

y

y

δ

Rys. 4.5

0

i

i

iy

y

y

iy

i

i

i

P

P

P

δ

δ

δ

⋅ =

⋅

=

⋅

=

∑

∑

∑

, gdzie

y

δ – dowolne,

0

iy

i

P

=

∑

. (4.4)

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl –

16

–

[e-mail]

Obrót wirtualny ciała względem punktu

O

–

o

ϕ

Rys. 4.6

cos

ix

i

r

α

=

,

sin

iy

i

r

α

=

,

i

o

r

ϕ

∆ = ⋅ ,

sin

ix

i

iy

o

r

δ

α

ϕ

=

⋅ ∆ = ⋅ ,

cos

iy

i

ix

o

r

δ

α

ϕ

=

⋅ ∆ = ⋅ ,

(

)

(

)

(

)

0

i

i

ix

ix

iy

iy

ix iy o

iy ix o

i

i

i

o

ix iy

iy ix

o

io

i

i

P

P

P

P r

P r

P r

P r

M

δ

δ

δ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

=

+

=

+

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

(4.5)

Sprawdzenie słuszności zasady prac wirtualnych dla ciała sztywnego na przy-
kładzie wirtualnego przemieszczenia o kąt

1

o

ϕ



(obrót względem punktu O )

Teza
Z zasady prac wirtualnych (4.1) wynika warunek równowagi (4.5).

0

i

i

io

i

i

i

i

i

P

M

P

δ

ρ

⇒

=

∑

∑

∑

= .

Katedra Mechaniki Budowli

Wykład

Mechanika Budowli 1 [C16]

Politechnika Gdańska

2006

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl –

17

–

[e-mail]

Rys. 4.7

cos

cos

0

i

i

i

i

i

i i

i

o

i

i

io

i

i

i

i

i

P

P

P r

P

M

δ

α

ϕ

α

ϕ

ρ

ϕ

=

∆

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

(4.6)

Zapisana powyżej (4.1) zasada prac wirtualnych słuszna jest również w przy-
padku układów połączonych ciał sztywnych.

4.4. Przykład

Korzystając z powyższego twierdzenia można wyznaczyć moment zginający w belce swobodnie
podpartej w miejscu przyłożenia siły. (Przykład ze str. 2 – notatki BR).