Wykład 2
Model ekonometryczny
Wykład 2
Model ekonometryczny
2
Przykłady empiryczne:
1. Makroekonomiczna funkcja konsumpcji
C=C(Y), C – konsumpcja, Y – dochód
lnC=
β
0
+
β
1
lnY
C=
β
0
+
β
1
Y
Dochód i konsumpcja w Wielkiej
Brytanii, 1948-1985 (mln GBP)
0
20000
40000
60000
80000
100000
0
20000
40000
60000
80000
100000
dochód
k
o
n
s
u
m
p
c
j
a
Log naturalne dochodu i konsumpcji w
Wielkiej Brytanii, 1948-1985 (mln GBP)
10,4
10,6
10,8
11,0
11,2
11,4
10
10,5
11
11,5
dochód
k
o
n
s
u
m
p
c
j
a
3
Przykłady empiryczne:
2. Ceny domów jednorodzinnych w miateczku uniwersyteckim w San
Diego
Y=Y(X), Y – cena (tys. dol. USA), X – powierzchnia (sqft)
lnY=
β
0
+
β
1
lnX
Y=
β
0
+
β
1
X
150
200
250
300
350
400
450
500
550
1500
2000
2500
3000
c
e
n
a
stopy kwadratowe
cena- powierzchnia domu
Y = 52,4 + 0,139X
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6
6,1
6,2
6,3
7
7,2
7,4
7,6
7,8
8
ln
(c
e
n
a
)
ln(stopy kwadratowe)
cena-powierzchnia domu
Y = -0,508 + 0,830X
4
Przykłady empiryczne:
3. Dochód i wydatki na ochron
ę
zdrowia w USA
Y=Y(X), Y – wydatki (mld dol. USA) , X – dochód (mld dol. USA)
lnY=
β
0
+
β
1
lnX
Y=
β
0
+
β
1
X
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
100
200
300
400
500
600
700
w
y
d
at
k
i
dochód
Wydatki na ochronę zdrowia w USA, 1993
Y = 0,326 + 0,142X
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
ln
(w
y
d
a
tk
i)
ln(dochód)
Wydatk na ochronę zdrowia w USA, 1993
Y = -1,92 + 0,998X
5
Jak interpretuje si
ę
parametry strukturalne?
Niech
Y=F(X),
Y – zmienna zale
ż
na, endogeniczna (skutek)
X – zmienna niezale
ż
na, egzogeniczna (przyczyna)
Co obserwujemy (zazwyczaj ex-post)?:
∆
X
→∆
Y
W zapisie formalnym – ró
ż
niczka zupełna
∆
Y=F
X
∆
X
,
F
X
=lim
∆
X
→
0
[F(X+
∆
X)-F(X)]/
∆
X= lim
∆
X
→
0
∆
Y/
∆
X (pochodna cz
ą
stkowa)
Dla Y=
β
0
+
β
1
X:
∆
Y=
β
1
∆
X,
β
1
=
∆
Y/
∆
X
– wielko
ść
kra
ń
cowa
[zwi
ę
kszenie X o jednostk
ę
skutkuje zmian
ą
Y o
β
1
jednostek]
6
Jak interpretuje si
ę
parametry strukturalne, c.d.?
Niech
G(Y)=F(X),
Y – zmienna zale
ż
na, endogeniczna (skutek)
X – zmienna niezalezna, egzogeniczna (przyczyna)
G, F – funkcje
Co obserwujemy?:
∆
X
→∆
Y
W zapisie formalnym – ró
ż
niczka zupełna
G
Y
∆
Y=F
X
∆
X
,
G
Y
=lim
∆
Y
→
0
[G(Y+
∆
Y)-G(Y)]/
∆
Y,
F
X
=lim
∆
X
→
0
[F(X+
∆
X)-F(X)]/
∆
X – pochodne cz
ą
stkowe
Dla lnY=
β
0
+
β
1
lnX:
∆
Y/Y=
β
1
(
∆
X/X),
β
1
=(
∆
Y/Y)/(
∆
X/X)
– elastyczno
ść
[jednoprocentowe zwi
ę
kszenie X skutkuje zmian
ą
Y o
β
1
pro-
cent]
7
Jak interpretuje si
ę
parametry strukturalne, c.d.?
Posta
ć
liniowa: Y=
β
0
+
β
1
X
β
1
– wielko
ść
kra
ń
cowa
kra
ń
cowa skłonno
ść
do konsumpcji
[zwi
ę
kszenie dochodu o 1 mln GBP skutkuje zmian
ą
konsump-
cji o
β
1
mln GBP]
cena kra
ń
cowa
[zwi
ę
kszenie powierzchni domu o jedn
ą
sqft skutkuje zmian
ą
jego ceny o
β
1
tys. dol. USA]
Kra
ń
cowa skłonno
ść
do wydatków na ochron
ę
zdrowia
[zwi
ę
kszenie dochodu o 1 mld dol. USA skutkuje zmian
ą
wy-
datków na ochron
ę
zdrowia o
β
1
mld dol. USA]
8
Jak interpretuje si
ę
parametry strukturalne, c.d.?
Posta
ć
logarytmiczna: lnY=
β
0
+
β
1
lnX
β
1
– elastyczno
ść
elastyczno
ść
dochodowa konsumpcji
[jednoprocentowe zwi
ę
kszenie dochodu skutkuje zmian
ą
kon-
sumpcji o
β
1
procent]
Elastyczno
ść
ceny (powierzchniowa/wzgl. powierzchni)
[jednoprocentowe zwi
ę
kszenie powierzchni domu skutkuje
zmian
ą
jego ceny o
β
1
procent]
elastyczno
ść
dochodowa wydatków na ochron
ę
zdrowia
[jednoprocentowe zwi
ę
kszenie dochodu skutkuje zmian
ą
wy-
datków na ochron
ę
zdrowia o
β
1
procent]
9
Model ekonometryczny:
Makroekonomiczna funkcja konsumpcji
C
t
=
β
0
+
β
1
Y
t
C
t
– konsumpcja w okresie/chwili t
Y
t
– dochód w okresie/chwili t
C
t
=
β
0
+
β
1
Y
t
+
ξ
t
ξ
t
– skladnik losowy (bł
ą
d pomiaru)
Dochód i konsumpcja w Wielkiej Brytanii,
1948-1985 (mln GBP)
0
20000
40000
60000
80000
100000
0
20000
40000
60000
80000
100000
dochód
k
o
n
s
u
m
p
c
j
a
10
Model ekonometryczny, c.d.
Y=Y(X
1
,X
2
,…,X
K
,
ξ
)
Y
– zmienna zale
ż
na, endogeniczna (regresand)
X
1
, X
2
, …,X
K
– zmienna niezale
ż
na, egzogeniczna (regresor)
ξ
– składnik losowy (bł
ą
d pomiaru)
Y
t
=
β
0
+
β
1
X
1t
+
β
2
X
2t
+…+
β
K
X
Kt
+
ξ
t
(zapis skalarny)
t – numer obserwacji (t=1,2,...,T)
=
⋮
1
2
T
Y
Y
Y
Y
,
=
…
…
⋮
⋮
⋮
⋮
…
11
1K
21
2K
T1
TK
1 X
X
1 X
X
X
1 X
X
,
0
1
K
β
β
β =
β
⋮
,
1
2
T
ξ
ξ
ξ =
ξ
⋮
= β + ξ
Y
X
(zapis macierzowy)
11
Model ekonometryczny, c.d.
Składnik losowy
ξ
ξ = ξ + ξ + + ξ
σ
…
2
t
t1
t 2
tn
~N(0,
)
[centralne tw. graniczne: Lindeberg-Levy, Lindeberg-Feller]
ξ =
t
E( )
0 ,
ξ
ξ = σ
2
t
Var( )
– parametry struktury stochastycznej
12
Zało
ż
enia modelowe
•
numeryczne
> +
T
K
1
[dla modelu z jedn
ą
zmienn
ą
obja
ś
niaj
ą
c
ą
]
= +
rz(X)
K 1,
= φ
+ φ
+ + φ
+ + φ
/
…
…
j
1
1
2
2
j-1
j-1
K
K
X
X
X
X
X
13
Zało
ż
enia modelowe, c.d.
•
stochastyczne
j
X – nielosowe, ustalone w powtarzalnych próbach
ξ =
t
E( )
0
ξ
ξ = ξ
ξ
= σ
2
2
t
t
t
Var( )
E[ -E( )]
ξ ξ =
ξ
ξ ξ
ξ
= ξ ξ =
t
s
t
t
s
s
t
s
Cov( ,
)
E{[ -E( )][
-E(
)]}
E(
)
0 [for
=/
t
s
]
ξ
ξ
σ
2
t
~ N(0,
)
14
Konsekwencje:
•
= β + β
+ + β
+ ξ =
…
t
0
1
t1
K
tK
t
E(Y )
E(
X
X
)
β + β
+ + β
+ ξ = β + β
+ + β
…
…
0
1
t1
K
tK
t
0
1
t1
K
tK
E(
X
X ) E( )
X
X
•
ξ
=
= ξ = σ
2
2
2
t
t
t
t
Var(Y )
E[Y -E(Y )]
E(
)
•
=
= ξ ξ =
t
s
t
t
s
s
t
s
Cov(Y , Y )
E{[Y -E(Y )][Y -E(Y )]}
E(
)
0
[dla
=/
t
s
]
•
ξ
β + β
+ + β
σ
…
2
t
0
1
t1
K
K
Y ~ N(
X
X ,
)
15
Konsekwencje, c.d.
[Makroekonomiczna funkcja konsumpcji]
•
(
) ( )
t
0
1
t
t
0
1
t
t
0
1
t
E(C )
E(
Y
)
E
Y
E
Y
= β + β
+ ξ =
β + β
+
ξ = β + β
[
konsumpcja w okresie/chwili t zale
ż
y (przeci
ę
tnie rzecz bio-
r
ą
c) liniowo od dochodu w okresie/chwili t
]
•
ξ
=
= ξ = σ
2
2
2
t
t
t
t
Var(C )
E[C -E(C )]
E(
)
[
wariancja konsumpcji w okresie/chwili t jest równa wariancji
składnika losowego
]
•
=
= ξ ξ =
t
s
t
t
s
s
t
s
Cov(C ,C )
E{[C -E(C )][C -E(C )]}
E(
)
0
[for
=/
t
s ]
[
konsumpcja w okresie/chwili t i okresie/chwili s jest nieskore-
lowana
]
•
ξ
β + β
σ
2
t
0
1
t
C ~ N(
Y ,
)
[
konsumpcja w okresie/chwili t ma rozkład normalny ze
ś
red-
ni
ą
β + β
0
1
t
Y
i wariancj
ą
ξ
σ
2
; normalno
ść
+ nieskorelowanie =
niezale
ż
no
ść
]
16
Konsekwencje, c.d.
[Makroekonomiczna funkcja konsumpcji]
•
= β + β
+ ξ = β + β
t
0
1
t
t
0
1
t
E(C )
E(
Y
)
Y
[
konsumpcja w okresie/chwili t zale
ż
y (przeci
ę
tnie rzecz bio-
r
ą
c) liniowo od dochodu w okresie/chwili t
]
•
ξ
=
= ξ = σ
2
2
2
t
t
t
t
Var(C )
E[C -E(C )]
E(
)
[
wariancja konsumpcji w okresie/chwili t równa jest wariancji
składnika losowego (bł
ę
du pomiarowego)
]
Dochód i konsumpcja w Wielkiej Brytanii,
1948-1985 (mln GBP)
0
20000
40000
60000
80000
100000
0
20000
40000
60000
80000
100000
dochód
k
o
n
s
u
m
p
c
j
a
17
Konsekwencje, c.d.
[Ceny domów jednorodzinnych w miasteczku uniwersyteckim w San
Diego]
•
= β + β
+ ξ = β + β
t
0
1
t
t
0
1
t
E(Y )
E(
X
)
X
[
cena domu t zale
ż
y (przeci
ę
tnie rzecz bior
ą
c) liniowo od jego
powierzchni
]
•
ξ
=
= ξ = σ
2
2
2
t
t
t
t
Var(Y )
E[Y -E(Y )]
E(
)
[
wariancja ceny domu t jest równa wariancji składnika losowego
(ładu pomiaru)
]
•
=
= ξ ξ =
t
s
t
t
s
s
t
s
Cov(Y , Y )
E{[Y -E(Y )][Y -E(Y )]}
E(
)
0
[dla
=/
t
s ]
[
cena domu t I cena domu s s
ą
nieskorelowane
]
•
ξ
β + β
σ
2
t
0
1
t
Y ~ N(
X ,
)
[
cena domu t ma rozkład normalny ze
ś
redni
ą
β + β
0
1
t
Y
i warian-
cj
ą
ξ
σ
2
; normalno
ść
+ nieskorelowanie = niezale
ż
no
ść
]
18
Konsekwencje, c.d.
[Ceny domów jednorodzinnych w miasteczku uniwersyteckim w San
Diego]
•
= β + β
+ ξ = β + β
t
0
1
t
t
0
1
t
E(Y )
E(
X
)
X
[
cena domu t zale
ż
y (przeci
ę
tnie rzecz bior
ą
c) liniowo od jego
powierzchni
]
•
ξ
=
= ξ = σ
2
2
2
t
t
t
t
Var(Y )
E[Y -E(Y )]
E(
)
[
wariancja ceny domu t jest równa wariancji składnika losowego
(bł
ę
du pomiaru)
]
150
200
250
300
350
400
450
500
550
1500
2000
2500
3000
c
e
n
a
stopy kwadratowe
cena- powierzchnia domu
Y = 52,4 + 0,139X
19
Konsekwencje, c.d.
[Dochód I wydatki na ochron
ę
zdrowia w USA]
•
= β + β
+ ξ = β + β
t
0
1
t
t
0
1
t
E(Y )
E(
X
)
X
[
wydatki na ochron
ę
zdrowia w stanie t zale
żą
(przeci
ę
tnie
rzecz biorac) liniowo od dochodu w stanie t
]
•
ξ
=
= ξ = σ
2
2
2
t
t
t
t
Var(Y )
E[Y -E(Y )]
E(
)
[
wariancja wydatków na ochron
ę
zdrowia w stanie t jest rów-
na wariancji skladnika losowego (bł
ę
du pomiaru)
]
•
=
= ξ ξ =
t
s
t
t
s
s
t
s
Cov(Y , Y )
E{[Y -E(Y )][Y -E(Y )]}
E(
)
0
[for
=/
t
s ]
[
wydatki na ochron
ę
zdrowia w stanie t i stanie s s
ą
nieskore-
lowane
]
•
ξ
β + β
σ
2
t
0
1
t
Y ~ N(
X ,
)
[
wydatki na ochron
ę
zdrowia w stanie t maj
ą
rozkład normal-
ny ze
ś
redni
ą
β + β
0
1
t
Y
i wariancj
ą
ξ
σ
2
; normalno
ść
+ niesko-
relowanie = niezale
ż
no
ść
]
20
Konsekwencje, c.d.
[dochód I wydatki na ochron
ę
zdrowia w USA]
•
= β + β
+ ξ = β + β
t
0
1
t
t
0
1
t
E(Y )
E(
X
)
X
[
wydatki na ochron
ę
zdrowia w stanie t zale
żą
(przeci
ę
tnie
rzecz bior
ą
c) liniowo od dochodu w stanie t
]
•
ξ
=
= ξ = σ
2
2
2
t
t
t
t
Var(Y )
E[Y -E(Y )]
E(
)
[
wariancja wydatków na ochron
ę
zdrowia w stanie t jest rów-
na wariancji skladnika losowego (bł
ę
du pomiaru)
]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
100
200
300
400
500
600
700
w
y
d
a
tk
i
(m
ld
d
o
l.
U
S
A
)
dochód (mld dol. USA)
wydatki wzgl
ę
dem dochodu
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
ln
w
y
d
a
tk
ó
w
(
m
ld
d
o
l.
U
S
A
)
ln dochodu (mld dol. USA)
ln wydatków wzgl
ę
dem ln dochodu
21
Hipotezy do weryfikacji
Popyt na masło
= β + β
+ β
+ β
+ ξ
t
0
1
t1
2
t 2
3
t
t
lnD
lnP
lnP
lnM
t
D
– miesi
ę
czna konsumpcja masła w gospodarstwie t (kg)
t1
t 2
P ,P
– przeci
ę
tna cena masła i margaryny płacona przez gospodar
stwo t (Pln/kg)
t
M
– miesi
ę
czny dochód gospodarstwa t (Pln)
β β β
1
2
3
,
,
– cenowa (własna, krzy
ż
owa) i dochodowa elastyczno
ść
popytu na masło
ξ =
t
E( )
0
(???)
ξ
ξ = σ
2
t
Var( )
rozproszenie konsumpcji masła nie zale
ż
y od jej ceny i
dochodu (!),
ξ ξ =
t
s
Cov( ,
)
0 (for
≠
t
s), brak efektu na
ś
ladownictwa (!)
stałe elastyczno
ś
ci popytu (!)
1
2
3
0
β + β + β =
(???)
22
Hipotezy do weryfikacji, c.d.
Makroekonomiczna funkcja produkcji
= β + β
+ β
+ ξ
t
0
1
t
2
t
t
ln Y
lnK
lnL
t
Y – PKB gał
ę
zi t (mld Pln)
t
K – nakład maj
ą
tku w gał
ę
zi t (mld Pln)
t
L
– nakład siły roboczej w gał
ę
zi t (tys. osób)
1
2
,
β β
–
elastyczno
ść
PKB wzgl
ę
dem nakładu maj
ą
tku i siły
roboczej
t
E( )
0
ξ =
,
2
t
Var(ln Y )
ξ
= σ
t
s
Cov(Y , Y )
0
=
ξ
β + β
+ β
σ
2
t
0
1
t
2
t
ln Y ~ N(
lnK
lnL ,
)
,
1
2
1
β + β ≤
(???)