Wszelkie prawa do zada

ń

, plików i instrukcji s

ą

zastrze

ż

one, nikt poza prowadz

ą

cymi zaj

ę

cia i studentami IA na AGH

nie ma prawa ich wykorzystywa

ć

. A tych co maj

ą

takie prawa, prosz

ę

, aby nie umieszczali ich w innym miejscu w sieci.

INTERPOLACJA

to poszukiwanie

wartości pomiędzy więzami

Interpolacja jest zagadnieniem polegającym na znalezieniu funkcji, która na tyle dobrze

przybliżałaby inną, nieznaną, aby możliwe było wykorzystanie jej do obliczenia wartości f (x) dla

dowolnego x

i

nie będącego X.

yi=interp1(X,Y,xi,method) interpoluje wartości funkcji w punktach xi

X - wektor wartości X danych pomiarowych
Y - wektor wartości y=f(X) danych pomiarowych
xi - zwiększona ilość wartości X ( wielkość wektora X < wartości wektora xi)
yi - wartości interpolowane Y dla punktów xi daną metodą
method - metoda interpolacji
method = 'nearest' – metoda przybliżania wartości punktów przy pomocy wartości
najbliższego punktu
method = 'linear' - metoda przybliżania wartości punktów przy pomocy linii utworzonej
pomiędzy dwoma poszczególnymi punktami
method = 'spline' - metoda przybliżania wartości punktów przy pomocy wielomianu 3-go stopnia
pomiędzy punktami
method = 'pchip' or 'cubic' - metoda przybliżania wartości punktów przy pomocy wielomianu 3-
go stopnia Hermita

Zad 1. Dla następujących

danych X=0:1:10; Y=sin(X) oraz xi=0:0.25:10 w jednym oknie

i na 4 wykresach proszę narysować (za pomocą czerwonej *) wartości pomiaru i wynik interpolacji

( za pomocą ciągłej linii).

W tytule proszę podać metodę interpolacji.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

metoda:nearest

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Spline

yi = spline(X,Y,xi)

w wywołaniu mamy

wektor węzłów (muszą być uporządkowane rosnąco), wektor wartości funkcji interpolowanej

w węzłach oraz wektor wartości zmiennej niezależnej, dla których ma być obliczona funkcja

interpolująca.

wynikiem jest

wektor, którego kolejnymi współrzędnymi są wartości funkcji interpolującej

w wyspecyfikowanych punktach. W przypadku funkcji spline jest to funkcja

sklejana sześcienna.

pchip- interpolacja wielomianowa Hermite’a

yi = pchip(X,Y,xi)

Zad 2. Proszę wyliczyć 5 wartości z krokiem co 1 dla dowolnej funkcji wykładniczej, logarytmicznej

i dla dowolnego wielomianu. Proszę dla każdej funkcji osobno porównać na wykresie interpolację za

pomocą funkcji

spline

interp1(….’spline’) i pchip. Proszę dołożyć legendę.

Funkcje interp2, interpn
to funkcje interpolujące w 2 wymiarach.

Zad 3. Za pomocą wcześniej poznanych metod interpolacji (

nearest

itp.) wykorzystując funkcje

interpolujące w dwóch wymiarach proszę przeprowadzić interpolację obrazka, który składa się
z wylosowanych wartości pixeli.

Prosz

ę

sobie przypomnie

ć

co oznaczaj

ą

poszczególne

polecenia i prosz

ę

narysowa

ć

poni

ż

sze obrazy w przestrzeni 3D.

figure(2)

subplot(2,2,1)

S=(3*rand(20,20));

imshow(S)

colormap

jet(16)

xi=1:0.1:20;

yi=1:0.1:20;

[X Y]=meshgrid(xi,yi);

S1=interp2(S,X,Y,

'spline'

);

subplot

222

imshow(S1)

colormap

jet(16)

itp…

Zad 3A – dodatkowe – jak będziecie mieli czas to proszę do niego wrócić. Proszę interpolować

dowolnie wybraną przez Państwa funkcję z=f(x,y).

aproksymacja wielomianami

Aproksymacja to dopasowanie/przybliżenie/ zastępowanie jednych wielkości drugimi.

p=polyfit(x,y,r); - to aproksymacja za pomocą wielomianu
x, y – serie danych,
r – zadany stopień, wielomianu przybliżającego

przypomnienie z pierwszych zajęć – funkcja polyval oblicza wartość wielomianu o współczynnikach

zawartych w wektorze p ( wektor p uzyskujemy z polyfit) w punktach zawartych w wektorze xi .

yi = polyval(p,xi);

Niech poszukiwana jest krzywa opisana równaniem F(x) dla zadanej liczby punktów ( x

i

, y

i

).

Aproksymacja stosowana jest wówczas, gdy ilość zadanych punktów m jest mniejsza od ilości

nieznanych współczynników n krzywej F(x). Zwykle nie można przeprowadzić krzywej przez wszystkie

punkty. Poszukiwana jest wówczas najbliższa krzywa w sensie minimum kwadratu błędu:

Zad 4. Na jednym wykresie proszę za pomocą wielomianów o stopniu 0,1,2 ,3,4,5 przybliżyć

następujące dane X=1:5 y=sin(X).

aproksymacja za pomocą narzędzia
cftool

Zad 5. Proszę aproksymować X=1:5 Y=cos(X) za pomocą narzędzia cftool.

Uwaga! Zmienne X i Y muszą być w pamięci komputera/ w przestrzeni Matlab’a.

1.

Wstawiamy dane do Data

2.

Wykorzystując przycisk Fiting poszukujemy funkcji aproksymującej. Wartości współczynników

wpisane są do okna Result.

3.

Zmieniając

type of fit

proszę poszukać funkcji, która najlepiej aproksymuje naszą funkcję.

aproksymacja za pomocą polecenia fit

f=fit(x,y, method)

zad 6. Niech x=1:5 a dla y proszę wylosować 5 liczb całkowitych o średniej 4 i odchyleniu

standardowym 3.

Proszę wyświetlić wartości jakie zwraca funkcja fit dla 3 dowolnych metod aproksymacji

wymienionych na stronie:

http://www.mathworks.com/help/curvefit/list-of-library-models-for-curve-and-surface-fitting.html

np.

f=fit(x,y,’exp1’) itp

Proszę za pomocą wyliczonych przez funkcję fit wartości narysować wykresy funkcji otrzymanych

z aproksymacji.

Wskazówka:

dla General model Exp1:

f(x) = a*exp(b*x) % wzór fukcji aproksymującej

Coefficients (with 95% confidence bounds):

a = 2.593 (-8.487, 13.67) %aby użyć tej wartości należy napisać: f.a

b = -0.9712 (-4.394, 2.452) %aby użyć tej wartości należy napisać: f.b

jeśli chcemy narysować aproksymowany y to musimy go wyliczyć:

y_aprosymowany=f.a*exp(f.b*x);

EKSTRAPOLACJA to poszukiwanie
wartości poza zakresem więzów

Ekstrapolacja korzysta z poleceń interpolacji i aproksymacji.

zad 6. Cd proszę za pomocą interpolacji wielomianem i aproksymacji wybranymi wcześniej funkcjami

wyliczyć 3 kroki do tyłu ( dla x=-2,-1,0) i trzy kroki do przodu ( dla x=6,7,8). Wyniki proszę przedstawić

na kolejnym wykresie.