METODY

NUMERYCZNE

Metody Numeryczne

Wykład 2/1

dr inż. Mirosław Dziewoński

e-mail:

[e-mail]

Pok. 151

Metody Numeryczne

Wykład 2/2

Aproksymacja funkcji

jednej zmiennej

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/3

Dana jest

funkcja jednej zmiennej

gdzie

( )

y

f x



[ , ]

x

a b



Funkcja ta podana jest w postaci

wzoru analitycznego

lub w postaci

zbioru punktów

1

1

2

2

( )

,

(

)

, ... ,

(

)

n

n

f x

y

f x

y

f x

y







Celem aproksymacji

jest dobór takiej funkcji

0

( ,

, ... ,

),

[ , ]

k

F x p

p

x

a b



aby w sensie przyjętego kryterium funkcja ta możliwie

dokładnie

odtwarzała przebieg funkcji

f (x).

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/4

Jeżeli funkcja dana jest w postaci dyskretnej (zbioru punktów) to

aproksymację nazywamy

punktową

, a jeżeli w postaci wzoru

analitycznego, to mówimy o

aproksymacji integralnej

.

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/5

Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej zmiennej konstruuje

się tak, aby

zminimalizować

różnice pomiędzy wartościami danej funkcji

f (x)

w punktach

(x

i

, y

i

)

,

i = 1, 2 ,…, n

a wartościami funkcji

F (x, p

0

, …, p

k

)

w tych samych punktach.

Wprowadzamy pojęcie odchyłki:

0

( ,

, ... ,

)

min ,

1, 2,...,

i

i

k

i

F x p

p

y

i

n



 





Należy tak dobrać parametry

p

0

, …, p

k

wzoru empirycznego, aby

spełnione było kryterium minimalizacji odchyłki.

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/6

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/7

W literaturze można spotkać następujące

kryteria minimalizacji

odchyłek

• metoda wybranych punktów,

• metoda średnich,

• metoda sumowania bezwzględnych wartości,

•

metoda najmniejszych kwadratów.

Metoda najmniejszych kwadratów

Wykład 2/8

Kryterium tej metody polega na takim doborze współczynników funkcji

F (x, p

0

, …, p

k

)

, aby





2

2

0

0

1

1

(

, ... ,

)

( ,

, ... ,

)

min

n

n

k

i

i

k

i

i

i

S p

p

F x p

p

y



















Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/9

Rozpatrujemy zbiór punktów

1

1

2

2

( ,

), ( ,

), ..., ( ,

)

n

n

x y

x

y

x

y

którego aproksymacją ma być funkcja liniowa

0

1

y

p

p x





Zgodnie z kryterium metody najmniejszych kwadratów





2

0

1

0

1

1

(

,

)

min

n

i

i

i

S p p

p

p x

y













Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/10

Warunkiem koniecznym dla istnienia ekstremum funkcji dwóch

zmiennych jest zerowanie się odpowiednich pochodnych cząstkowych:

0

1

0

0

1

1

(

,

)

0

(

,

)

0

S p p

p

S p p

p

























Otrzymujemy zatem następujący układ równań:









0

1

1

0

0

1

1

1

2

0

2

0

n

i

i

i

n

i

i

i

i

S

p

p x

y

p

S

p

p x

y

x

p









 

















 





 









Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/11

Układ ten można zapisać w następującej postaci:

0

1

1

1

2

0

1

1

1

1

n

n

i

i

i

i

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

p n

p

x

y

p

x

p

x

x y







































lub macierzowo:

1

1

0

2

1

1

1

1

n

n

i

i

i

i

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

n

x

y

p

p

x

x

x y



























 













 









 





















 



Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/12

Rozwiązując układ równań dowolną metodą można obliczyć parametry

p

0

i

p

1

np.:

1

X P

Y

P

X

Y



   



Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/13

Przykład 1:

Dla zbioru punktów

( ,

),

1, 2, ... ,

i

i

i

P x y

i

n



dobrać wzór aproksymujący w postaci:

2

0

1

2

y

p

p x

p x







Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/14

Wykorzystując kryterium metody najmniejszych kwadratów





2

2

0

1

2

0

1

2

1

(

,

,

)

= min

n

i

i

i

i

S p p p

p

p x

p x

y













możemy zapisać następujący układ równań:













2

0

1

2

1

0

2

0

1

2

1

1

2

2

0

1

2

1

2

2

1

0

2

0

2

0

n

i

i

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

i

S

p

p x

p x

y

p

S

p

p x

p x

y

x

p

S

p

p x

p x

y

x

p







 

 







 





 

 







 





 

 























Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/15

Zapis macierzowy:

2

1

1

1

0

2

3

1

1

1

1

1

2

2

3

4

2

1

1

1

1

n

n

n

i

i

i

i

i

i

n

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

x

x

y

p

x

x

x

p

x y

p

x

x

x

x y















































 









 













 









 

 















































Z powyższego układu równań wyznacza się

p

0

, p

1

, p

2

.

Aproksymacja funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/16

Przykład 2:

Dla zbioru punktów

( ,

),

1, 2, ... ,

i

i

i

P x y

i

n



dobrać wzór aproksymujący w postaci:

2

0

1

2

2

1

y

b

b

b x

x

 



Aproksymacja funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/17

Wykorzystując kryterium metody najmniejszych kwadratów

2

2

0

1

2

0

1

2

2

1

1

( , ,

)

= min

n

i

i

i

i

S b b b

b

b

b x

y

x

























zapisujemy następujący układ równań:

2

0

1

2

2

1

0

2

0

1

2

2

2

1

1

2

2

0

1

2

2

1

2

1

2

1

0

1

1

2

0

1

2

0

n

i

i

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

i

S

b

b

b x

y

b

x

S

b

b

b x

y

b

x

x

S

b

b

b x

y

x

b

x















 







 

























 



































 































Aproksymacja funkcji jednej zmiennej

Wykład 2/18

Zapis macierzowy:

Z powyższego układu równań wyznacza się

b

0

, b

1

, b

2

.

2

2

1

1

1

0

1

2

4

2

1

1

1

2

2

4

2

1

1

1

1

1

1

n

n

n

i

i

i

i

i

i

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

n

x

y

x

b

y

n

b

x

x

x

b

x

n

x

x y











































 









 













 









 

 











































Metody Numeryczne

Wykład 2/19

Interpolacja funkcji

jednej zmiennej

Interpolacja - definicja

Wykład 2/20

Dana jest funkcja:





0

( ) ,

,

n

y

f x

x

x x





dla której znamy tablicę jej wartości

0

0

1

1

( )

, ( )

, ..., (

)

n

n

f x

y

f x

y

f x

y







Wartości tworzące

n +1

par punktów

0

0

1

1

( ,

),( ,

), ...,( ,

)

n

n

x y

x y

x y

zwane są

węzłami interpolacji

.

Interpolacja - definicja

Wykład 2/21

Celem interpolacji jest wyznaczenie takiej funkcji

W(x)

, aby:

0

0

1

1

( )

,

( )

,...,

(

)

n

n

W x

y W x

y

W x

y







Funkcja ta nazywana jest

wielomianem interpolacyjnym

i węzłach

interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja

y = f (x)

.

Interpolacja - definicja

Wykład 2/22

Wielomian interpolacyjny definiuje się jako

kombinację liniową

n + 1

funkcji bazowych i współczynników

a

i

0

( )

( )

n

i

i

i

W x

a

x









a

i

–

współczynniki wielomianu interpolacyjnego



i

(x)

–

przyjęte

funkcje bazowe

Interpolacja - definicja

Wykład 2/23

Definiując:

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

(

)

(

) ...

(

)

( )

( )

...

( )

...

...

...

...

(

)

(

) ...

(

)

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x













































X

0

1

n

y

y

y

 

 

 



 

 

 

Y

0

1

n

a

a

a

 

 

 



 

 

 

A





0

1

2

( ),

( ),

( ),...,

( )

n

x

x

x

x

 







Φ

1

( )

W x



 

X Y

wtedy:



XA

Y

Interpolacja naturalna

Wykład 2/24

Funkcje bazowe:

0

2

0

1

2

( )

1,

( )

,

( )

, ...,

( )

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x



















Postać wielomianu interpolacyjnego:

2

0

1

2

( )

...

n

n

W x

a

a x

a x

a x







 

Interpolacja naturalna

Wykład 2/25

2

0

1 0

2

0

0

0

2

0

1 1

2 1

1

1

2

0

1

2

...

...

...

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a x

a x

a x

y

a

a x

a x

a x

y

a

a x

a x

a x

y





 







 







 



Opierając się na warunku koniecznym istnienia interpolacji:

można zapisać, że

 

A X

Y

0

0

1

1

1

...

1

...

...

...

...

...

1

...

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x



























X

0

1

n

y

y

y

 

 

 



 

 

 

Y

0

1

n

a

a

a

 

 

 



 

 

 

A

Interpolacja naturalna

Wykład 2/26

Przykład
Dla podanych węzłów zapisz:
•

macierze układu równań, z których wyznacza się

współczynniki wielomianu interpolacyjnego dla interpolacji

wielomianowej

•

wielomian interpolacyjny

Węzły:

0

0

1

1

2

2

(1,3)

( 2,5)

(4,7)

( ,

)

( ,

)

( ,

)

x y

x y

x y



Interpolacja naturalna

Wykład 2/27

0

1

2

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

2

2

2

2

2

2

x

x

x

a

y

x

x

x

a

y

x

x

x

a

y



    



    







    



    

   





0

1

2

0

0

1

2

1

0

1

2

2

1

1

1

3

( 2)

( 2)

( 2)

5

4

4

4

7

a

a

a



    



    













    



    

   





0

1

2

1

1

1

3

1

2

4

5

1

4

16

7

a

a

a



    



    









    



    



    

Interpolacja naturalna

Wykład 2/28

1







A

X

Y

0

1

2

1

1

3,

,

3

3

a

a

a



 



2

0

1

2

( )

W x

a

a x

a x







2

1

1

( )

3

3

3

W x

x

x

 



Interpolacja Lagrange’a

Wykład 2/29

0

1

2

3

1

0

2

3

1

( )

(

)(

)(

)......................(

)

( )

(

)(

)(

)......................(

)

....................................................................................

( )

(

)

n

n

i

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x































2

1

1

1

2

3

1

(

)...(

)(

)...(

)

...................................................................................

( )

(

)(

)(

)....................(

)

i

i

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



























Dla każdej



i

(x), i = 0, 1, ..., n

brakuje składnika

(x - x

i

) !!!

Funkcje bazowe:

Interpolacja Lagrange’a

Wykład 2/30

Postać wielomianu interpolacyjnego:

0

0

1

1

0

1

2

1

0

2

0

1

1

( )

( )

( ) ...

( )

(

)(

)...(

)

(

)(

)...(

) ...

(

)(

)...(

)

n

n

n

n

n

n

W x

a

x

a

x

a

x

a x

x

x

x

x

x

a x

x

x

x

x

x

a x

x

x

x

x

x



 

 

  





















 









Interpolacja Lagrange’a

Wykład 2/31

Macierz

X

:

0

0

1

1

2

2

(

)

0

0

0

0

( )

0

0

0

0

(

)

0

0

0

0

(

)

n

n

x

x

x

x











































X

Dla punktu

x

i

wszystkie funkcje bazowe oprócz



i

(x)

zerują się,

bo występuje w nich składnik

(x - x

i

)

Interpolacja Lagrange’a

Wykład 2/32

Ponieważ macierz

X

ma tylko główną przekątną niezerową to:

0

0

0

0

1

0

2

0

0

0

1

1

1

1

0

1

2

1

1

1

1

2

1

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

( )

(

)(

)

(

)

(

)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

y

a

x

x

x

x

x

x

x

y

y

a

x

x

x

x

x

x

x

y

y

a

x

x

x

x

x

x

x







































Interpolacja Lagrange’a

Wykład 2/33

Przykład
Dla podanych węzłów zapisz:
•

macierze układu równań, z których wyznacza się

współczynniki wielomianu interpolacyjnego dla interpolacji

wielomianowej

•

wielomian interpolacyjny

Węzły:

0

0

1

1

2

2

( 2,3)

(0,5)

(2, 3)

( ,

)

( ,

)

( ,

)

x y

x y

x y





Interpolacja Lagrange’a

Wykład 2/34

0

0

1

1

2

2

( 2,3)

(0,5)

(2, 3)

( ,

)

( ,

)

( ,

)

x y

x y

x y





0

2

0

1

1

2

0

1

2

0

1

0

2

1

0

0

2

2

0

2

1

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

( )

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

W x

y

y

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x















































( 2) (

2)

( 2) (

0)

(

0)(

2)

( )

3

5

( 3)

( 2 0)( 2 2)

0 ( 2) (0 2)

( 2) (2 0)

x

x

x

x

x

x

W x

x

 



 











 

 

 

 



 



(

0)(

2)

(

2)(

2)

(

2)(

0)

( )

3

5

3

( 2 0)( 2 2)

(0 2)(0 2)

(2 2)(2 0)

x

x

x

x

x

x

W x



















 

 







