WYKŁAD 3

WYKŁAD 3

I. DYNAMIKA PUNKTU

I. DYNAMIKA PUNKTU

MATERIALNEGO

MATERIALNEGO

1. Zasady Dynamiki Newtona (I, II i

1. Zasady Dynamiki Newtona (I, II i

III).

III).

2. Dynamika ruchu punktu

2. Dynamika ruchu punktu

materialnego po okręgu.

materialnego po okręgu.

3.

3.

Praca.

Praca.

4.

4.

Moc.

Moc.

5.

5.

Energia.

Energia.

II. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

II. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

1.

1.

Pojęcie bryły sztywnej. Rodzaje ruchów

Pojęcie bryły sztywnej. Rodzaje ruchów

bryły sztywnej.

bryły sztywnej.

2.

2.

Moment siły. Moment bezwładności.

Moment siły. Moment bezwładności.

Twierdzenie Steinera.

Twierdzenie Steinera.

3.

3.

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego.

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego.

4.

4.

Moment pędu.

Moment pędu.

5.

5.

Pierwsza zasada dynamiki ruchu

Pierwsza zasada dynamiki ruchu

obrotowego.

obrotowego.

6.

6.

Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego.

Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego.

7.

7.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego.

8.

8.

Analogie pomiędzy ruchem prostoliniowym i

Analogie pomiędzy ruchem prostoliniowym i

obrotowym.

obrotowym.

III. ZASADY ZACHOWANIA W

III. ZASADY ZACHOWANIA W

MECHANICE

MECHANICE

1.

1.

Zasada zachowania pędu.

Zasada zachowania pędu.

2.

2.

Zasada zachowania momentu pędu.

Zasada zachowania momentu pędu.

3.

3.

Zasada zachowania energii.

Zasada zachowania energii.

IV. Druga młodość nadprzewodników

IV. Druga młodość nadprzewodników

– nadprzewodniki

– nadprzewodniki

wysokotemperaturowe

wysokotemperaturowe

I. DYNAMIKA PUNKTU

I. DYNAMIKA PUNKTU

MATERIALNEGO

MATERIALNEGO

Dynamika

Dynamika

Zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał.

Zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał.

Podstawę dynamiki stanowią trzy zasady podane przez

Podstawę dynamiki stanowią trzy zasady podane przez

Izaaka Newtona w 1687 r.

Izaaka Newtona w 1687 r.

Pierwsza zasada dynamiki (zasada

Pierwsza zasada dynamiki (zasada

bezwładności)

bezwładności)

Istnieje taki układ odniesienia, w którym jeżeli na ciało

Istnieje taki układ odniesienia, w którym jeżeli na ciało

nie działa żadna siła, lub siły działające na to ciało

nie działa żadna siła, lub siły działające na to ciało

równoważą się, to ciało zachowuje stan spoczynku lub

równoważą się, to ciało zachowuje stan spoczynku lub

porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Taki układ nazywamy

Taki układ nazywamy

inercyjnym

inercyjnym

.

.

Prawo to orzeka, że ciało nie przyspiesza samo z

Prawo to orzeka, że ciało nie przyspiesza samo z

siebie; przyspieszenie musi być narzucone z zewnątrz.

siebie; przyspieszenie musi być narzucone z zewnątrz.

Ciała spoczywające dążą do przebywania w stanie

Ciała spoczywające dążą do przebywania w stanie

spoczynku, ciała poruszające się dążą do utrzymania

spoczynku, ciała poruszające się dążą do utrzymania

tego ruchu bez zmiany prędkości. Ten opór ciał wobec

tego ruchu bez zmiany prędkości. Ten opór ciał wobec

zmian stanu ruchu nazywa się

zmian stanu ruchu nazywa się

bezwładnością (inercją)

bezwładnością (inercją)

.

.

 

0

.

0

F

i















const

v

I zasada jest przełamaniem dogmatu
Arystotelowskiego, że wszystkie ciała muszą się
zatrzymać gdy nie ma sił zewnętrznych.
I zasadę dynamiki nazywa się też

zasadą

bezwładności

.

Bezwładnością

nazywamy

własność ciała objawiającą się tym, że ciało nie
zmienia ani kierunku, ani wartości swej
prędkości, gdy nic na nie nie oddziałuje.

Przykłady
bezwładn

ośc

i

Druga zasada dynamiki

Druga zasada dynamiki

Jeżeli na ciało o masie m działają siły

Jeżeli na ciało o masie m działają siły

niezrównoważone o wypadkowej F, to ciało porusza

niezrównoważone o wypadkowej F, to ciało porusza

się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem a,

się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem a,

takim że a = F/m.

takim że a = F/m.

Korzystając z pojęcia pędu (p = mv) równanie

Korzystając z pojęcia pędu (p = mv) równanie

drugiej zasady dynamiki Newtona można zapisać w

drugiej zasady dynamiki Newtona można zapisać w

postaci:

postaci:

Czyli siła działająca na ciało jest równa pochodnej

Czyli siła działająca na ciało jest równa pochodnej

pędu względem czasu. Jest to bardziej ogólna

pędu względem czasu. Jest to bardziej ogólna

postać II zasady dynamiki. Istnieją bowiem zjawiska

postać II zasady dynamiki. Istnieją bowiem zjawiska

fizyczne w których masa zmienia się podczas ruchu

fizyczne w których masa zmienia się podczas ruchu

(np. masa rakiety maleje w miarę ubywania

(np. masa rakiety maleje w miarę ubywania

paliwa).

paliwa).

m

F

a

F



















0

F

i

 

dt

dp

dt

mv

d

dt

dv

m

ma









F

Trzecia zasada dynamiki

Trzecia zasada dynamiki

Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą F

Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą F

AB

AB

, to

, to

ciało B działa na ciało A siłą F

ciało B działa na ciało A siłą F

BA

BA

równą co do

równą co do

wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną,

wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną,

co wyrażamy wzorem:

co wyrażamy wzorem:

Siły te są jednakowe co do

Siły te są jednakowe co do

wielkości i skierowane

wielkości i skierowane

przeciwnie, lecz nie znoszą

przeciwnie, lecz nie znoszą

się ani nie równoważą,

się ani nie równoważą,

gdyż przyłożone są do

gdyż przyłożone są do

różnych ciał.

różnych ciał.

Siły akcji i reakcji

Siły akcji i reakcji

BA

AB

F

F









Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu

Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu

Zgodnie z

I zasadą dynamiki

tylko ruch jednostajny

prostoliniowy może zachodzić bez działania sił, zatem

ruch po okręgu wymaga istnienia siły (także ruch

jednostajny po okręgu).

W ruchu po okręgu musi wystąpić niezrównoważona

siła skierowana do środka toru ruchu (do środka

okręgu).

W ruchu ciała po okręgu występuje przyspieszenie

normalne (dośrodkowe):

Zgodnie zatem z II zasadą dynamik na ciało

poruszające się jednostajnie po okręgu musi działać

siła:

Siła ta skierowana do środka okręgu, nazywa się siłą

dośrodkową.

r

v

r

n

2

2







a

r

v

m

r

m

ma

F

n

n

2

2









Dynamika ruchu punktu materialnego po

Dynamika ruchu punktu materialnego po

okręgu

okręgu

We wszystkich przypadkach ruchu po okręgu

stwierdza się istnienie siły dośrodkowej.

Inne przykłady:

• gdy pociąg porusza się po zakrzywionym torze, to siłę

dośrodkową stanowi sprężyste oddziaływanie

zewnętrznej szyny;

• w ruchu Księżyca wokół Ziemi siłą dośrodkową jest

przyciąganie grawitacyjne Ziemi.

Na odważnik przymocowany do sznurka i

wprawiony w ruch po okręgu działa siła

dośrodkowa za pośrednictwem napiętego

sznurka.

Siła dośrodkowa jest podstawą działania

wszystkich wirówek. Np. na bieliznę

działa siła dośrodkowa, a na wodę nie.

Siła dośrodkowa jest za mała, by

utrzymać błoto na oponie i dlatego

odrywa się ono wzdłuż linii prostych.

Dynamika ruchu punktu materialnego po

Dynamika ruchu punktu materialnego po

okręgu

okręgu

Gdy na ciało poruszające się po

okręgu w pewnej chwili przestaje

działać siła dośrodkowa, to zgodnie z I

zasadą dynamiki ruch ciała nie ustaje,

lecz trwa dalej jako ruch jednostajny i

prostoliniowy wzdłuż stycznej do toru

kołowego; np. grudki błota odlatują od

koła rowerowego po stycznej,

podobnie jak iskry z tarczy

szlifierskiej.

Zgodnie z III zasadą dynamik działaniu

siły dośrodkowej na ciało poruszające

się po okręgu musi towarzyszyć

działanie siły o tej samej wartości na

więzy. Przez więzy rozumiemy te ciała,

które wymuszają ruch ciała po okręgu

(ręka, szyna kolejowa, Ziemia). Siłę

działającą na więzy nazywamy siłą

odśrodkową reakcji F

r

. Siła ta jest

przyczyną zużywania się łożysk .

Praca

Praca

Praca W stałej siły F wyraża się iloczynem skalarnym

Praca W stałej siły F wyraża się iloczynem skalarnym

siły F i wektora przesunięcia s czyli:

siły F i wektora przesunięcia s czyli:

Jest więc wielkością skalarną

Jest więc wielkością skalarną

Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego:

Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego:

gdzie

gdzie





kąt między kierunkami siły i przesunięcia

kąt między kierunkami siły i przesunięcia

Pracę wykonuje tylko składowa F

Pracę wykonuje tylko składowa F

t

t

styczna do przesunięcia s

styczna do przesunięcia s







 s

F

W

s

F

s

F

t











cos

W

Praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie,

jak i ujemne.
Praca jest dodatnia, gdy  < 90

o

, a ujemna – gdy  >

90

o

. Praca jest równa 0, gdy kierunek siły jest

prostopadły do kierunku przesunięcia ( = 90

o

).

Np. praca wykonana przez siłę ciężkości jest

dodatnia przy spadku ciała, ujemna – przy

podnoszeniu do góry, a równa zeru – przy

przesuwaniu ciała po torze poziomym.
Jeżeli wartość F

t

nie jest stała, lecz zależy od

położenia ciała, wówczas należy rozpatrywać

różniczkę pracy dW, będącą iloczynem siły F

t

i

różniczki przesunięcia ds:

W przypadku najogólniejszym, gdy tor, po którym się

przesuwa ciało, jest krzywoliniowy, pracę definiuje

się za pomocą całki krzywoliniowej jako:

gdzie A i B – punkty początkowy i końcowy toru.

ds

F

t





dW

ds

F

B

A







W

Praca

Praca

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul J:

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul J:

Dżul jest to praca wykonana podczas przesunięcia

Dżul jest to praca wykonana podczas przesunięcia

punktu materialnego pod wpływem działania siły

punktu materialnego pod wpływem działania siły

1 N na odległość

1 N na odległość

1 m w kierunku działania siły.

1 m w kierunku działania siły.

Jednostki pracy stosowane w innych układach:

Jednostki pracy stosowane w innych układach:

1 kGm = 9,80665 J

1 kGm = 9,80665 J

1 erg = 1 dyna x 1 cm = 10

1 erg = 1 dyna x 1 cm = 10

-7

-7

J

J

Gdyby sztangista był wyższy,

Gdyby sztangista był wyższy,

musiałby

musiałby

wykonać większą pracę, aby

wykonać większą pracę, aby

podnieść

podnieść

sztangę.

sztangę.

2

2

1

1

1J

s

m

kg

m

N









Moc

Moc

Jest to wielkość wskazująca jaka pracę może

Jest to wielkość wskazująca jaka pracę może

wykonać dany układ w jednostce czasu.

wykonać dany układ w jednostce czasu.

Moc średnia:

Moc średnia:

Moc chwilowa:

Moc chwilowa:

Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]: moc

Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]: moc

jest równa jednemu watowi, jeżeli stała siła

jest równa jednemu watowi, jeżeli stała siła

wykonuje pracę jednego dżula w czasie 1 sekundy:

wykonuje pracę jednego dżula w czasie 1 sekundy:

1 W = 1 J/1 s = 1 J/s

1 W = 1 J/1 s = 1 J/s

Inne jednostki spoza układu SI:

Inne jednostki spoza układu SI:

1 kGm/s = 9,80655 W

1 kGm/s = 9,80655 W

1 KM = 75 kGm/s = 736 W

1 KM = 75 kGm/s = 736 W

t

W







P

v

F

dt

ds

F

dt

dW

t

W

t

t

t

















0

lim

P

Energia

Energia

Energia kinetyczna

Rozważmy ruch prostoliniowy punktu materialnego,
zachodzący pod wpływem działania siły F. Ruch ten
jest jednostajnie przyspieszony, z prędkością
początkową v

1

i po przebyciu drogi s prędkością

końcową v

2

. Praca siły F:

Energię kinetyczną punktu materialnego o masie m
poruszającego się z prędkością v określamy wzorem:

Praca siły powodującej ruch punktu jest równa
przyrostowi jego energii kinetycznej:

W = E

k2

– E

k1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

mv

mv

a

v

v

ma

mas

s

F

W

t













2

2

mv

E

k



Siły zachowawcze

W polu siły ciężkości (skierowanym

pionowo w dół) przesuwa się punkt

materialny po torze zamkniętym

ABCDA. Chcemy obliczyć pracę tej

siły po torze zamkniętym ABCDA:

W

AB

= -mgh;

W

BC

= 0;

W

CD

= mgh;

W

DA

= 0.

Zatem:

W

ABCDA

= 0.

Siłę nazywamy zachowawczą albo potencjalną,

jeżeli jej praca po dowolnym torze zamkniętym jest

równa zeru.

Siła ciężkości jest siłą zachowawczą. Zachowawczą

jest też siła sprężystości. Nie jest siłą

zachowawczą siła tarcia, siła oporu powietrza, siła

oporu (lepkość) cieczy.
Z faktu, że praca siły zachowawczej po drodze

zamkniętej równa się zeru, wynika ważny wniosek:

Praca siły zachowawczej nie zależy od kształtu

drogi, a tylko od wyboru punktu początkowego i

końcowego.

Energia potencjalna

Energia potencjalna

Energią potencjalną ciała w punkcie P względem

punktu O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła

zachowawcza przy przesunięciu tego ciała od

punktu P do punktu O.

Wartość energii potencjalnej zależy od wyboru

punktu odniesienia O.
Grawitacyjną energię potencjalną określamy jako

pracę siły ciężkości mg na pionowym torze o

wysokości h, zatem:

Energia potencjalna sprężystości jest równa:

gdzie x oznacza dowolne odkształcenie ciała

(wydłużenie, skrócenie itp.).

mgh

E

p



2

2

1

kx

E

p



Energia potencjalna

Energia potencjalna

Energia potencjalna kuli o ciężarze 10 N jest taka

sama
(i równa 30 J) we wszystkich trzech przypadkach,

gdyż praca podniesienia jej na wysokość 3 m jest

niezależna od tego, czy:
(a) została podniesiona siłą 10 N;
(b) została wtoczona siłą 6 N po równi pochyłej o

długości 5 m;
(c) została wniesiona siłą 10 N po trzech schodach o
wysokości 1 m każdy.
W ruchu poziomym (przy braku tarcia) nie jest

wykonywana żadna praca.

II. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

II. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Pojęcie bryły sztywnej

Pojęcie bryły sztywnej

Bryła sztywna to ciało, które pod działaniem sił nie

Bryła sztywna to ciało, które pod działaniem sił nie

ulega odkształceniom, tzn. odległości dwóch

ulega odkształceniom, tzn. odległości dwóch

dowolnych punktów takiego ciała pozostają stałe.

dowolnych punktów takiego ciała pozostają stałe.

Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i

Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i

zależności słuszne dla układu punktów

zależności słuszne dla układu punktów

materialnych.

materialnych.

Rodzaje ruchów bryły sztywnej

Rodzaje ruchów bryły sztywnej

Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje

Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje

ruchów prostych:

ruchów prostych:

postępowy i obrotowy

postępowy i obrotowy

.

.

Ruchem postępowym

Ruchem postępowym

bryły sztywnej nazywamy

bryły sztywnej nazywamy

ruch, w którym dowolny odcinek łączący dwa

ruch, w którym dowolny odcinek łączący dwa

punkty bryły , np. A i B, zachowuje stale położenie

punkty bryły , np. A i B, zachowuje stale położenie

do siebie równoległe. Wszystkie punkty bryły

do siebie równoległe. Wszystkie punkty bryły

zakreślają takie same

zakreślają takie same

tory, mają jednakowe

tory, mają jednakowe

prędkości i przyspieszenia.

prędkości i przyspieszenia.

Ruch bryły sztywnej

Ruch bryły sztywnej

sprowadza się do

sprowadza się do

ruchu punktu

ruchu punktu

materialnego (najczęściej

materialnego (najczęściej

jest to środek masy).

jest to środek masy).

Ruch obrotowy

Ruch obrotowy

bryły charakteryzuje się tym, że

bryły charakteryzuje się tym, że

wszystkie punkty bryły poruszają się po

wszystkie punkty bryły poruszają się po

okręgach, których środki leżą na jednej prostej.

okręgach, których środki leżą na jednej prostej.

Prostą tą nazywamy osią obrotu. Punkty

Prostą tą nazywamy osią obrotu. Punkty

znajdujące się na osi obrotu są nieruchome, a

znajdujące się na osi obrotu są nieruchome, a

pozostałe punkty poruszają się po łukach

pozostałe punkty poruszają się po łukach

okręgów.

okręgów.

Poszczególne punkty bryły charakteryzuje ta

Poszczególne punkty bryły charakteryzuje ta

sama prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.

sama prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.

Natomiast prędkości liniowe punktów bryły

Natomiast prędkości liniowe punktów bryły

sztywnej są proporcjonalne do odległości punktu

sztywnej są proporcjonalne do odległości punktu

od osi obrotu (v =

od osi obrotu (v =





r).

r).

W życiu codziennym najczęściej

W życiu codziennym najczęściej

mamy do czynienia z ruchami

mamy do czynienia z ruchami

złożonymi. Możemy je rozłożyć

złożonymi. Możemy je rozłożyć

na ruch postępowy i obrotowy,

na ruch postępowy i obrotowy,

względem odpowiednio

względem odpowiednio

wybranego układu odniesienia.

wybranego układu odniesienia.

Przykładem takiego ruchu

Przykładem takiego ruchu

może być ruch toczącej się

może być ruch toczącej się

po podłodze piłki.

po podłodze piłki.

W ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość

siły, ale także jej kierunek i punkt przyłożenia.
Wielkość wywołującą ruch obrotowy nazywamy

momentem siły

, który definiujemy następująco:

Momentem siły

F względem punktu O osi obrotu

nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego

r punktu przyłożenia siły F i tej siły (początek r

leży w punkcie O).

Wartość bezwzględna momentu siły wynosi:

Moment siły bywa też nazywany momentem

obrotowym.
Jednostką momentu siły jest niutonometr (Nm).











F

r

M



sin

M

rF



Moment bezwładności

Moment bezwładności

W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę

W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę

odgrywa sposób rozmieszczenia masy bryły wokół

odgrywa sposób rozmieszczenia masy bryły wokół

osi obrotu. Wielkością charakteryzującą tę

osi obrotu. Wielkością charakteryzującą tę

własność bryły jest moment bezwładności.

własność bryły jest moment bezwładności.

Momentem bezwładności I bryły względem danej

Momentem bezwładności I bryły względem danej

osi nazywamy sumę iloczynów mas

osi nazywamy sumę iloczynów mas

poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich

poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich

odległości od danej osi, a więc:

odległości od danej osi, a więc:

Jednostką momentu bezwładności jest 1 kg m

Jednostką momentu bezwładności jest 1 kg m

2

2

.

.

Moment bezwładności ciał o tej samej masie i tym

Moment bezwładności ciał o tej samej masie i tym

samym promieniu zależy od ich kształtu.

samym promieniu zależy od ich kształtu.

2

1

I

i

n

i

i

r

m







Moment bezwładności

Moment bezwładności

Im większy moment bezwładności,

Im większy moment bezwładności,

tym trudniej zmienić stan ruchu

tym trudniej zmienić stan ruchu

obrotowego, zatrzymać obrót

obrotowego, zatrzymać obrót

lub wprawić w ruch obrotowy.

lub wprawić w ruch obrotowy.

Fakt ten jest np. wykorzystywany

Fakt ten jest np. wykorzystywany

przez cyrkowych linoskoczków,

przez cyrkowych linoskoczków,

którzy dla utrzymania równowagi

którzy dla utrzymania równowagi

posługują się długimi drążkami.

posługują się długimi drążkami.

Podczas biegu mocno zginamy

Podczas biegu mocno zginamy

nogi w kolanach, zmniejszając

nogi w kolanach, zmniejszając

tym samym ich moment

tym samym ich moment

bezwładności.

bezwładności.

Moment bezwładności

Moment bezwładności

Momenty bezwładności niektórych brył

Momenty bezwładności niektórych brył

Moment bezwładności

Moment bezwładności

Ciała mające większe momenty bezwładności (przy

Ciała mające większe momenty bezwładności (przy

tej samej masie) silniej przeciwstawiają się ruchowi

tej samej masie) silniej przeciwstawiają się ruchowi

obrotowemu.

obrotowemu.

Które ciało stoczy się szybciej po równi pochyłej:

Które ciało stoczy się szybciej po równi pochyłej:

pełny walec czy pierścień o tej samej masie i tej

pełny walec czy pierścień o tej samej masie i tej

samej średnicy zewnętrznej?

samej średnicy zewnętrznej?

Pełny walec stacza się po równi pochyłej szybciej

Pełny walec stacza się po równi pochyłej szybciej

niż pierścień o tej samej masie i tej samej średnicy

niż pierścień o tej samej masie i tej samej średnicy

zewnętrznej, ponieważ pierścień ma większy

zewnętrznej, ponieważ pierścień ma większy

moment bezwładności (masa pierścienia skupiona

moment bezwładności (masa pierścienia skupiona

na jego obwodzie, daleko od osi obrotu) i jego

na jego obwodzie, daleko od osi obrotu) i jego

przyspieszenie jest mniejsze.

przyspieszenie jest mniejsze.

Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera

Aby obliczyć moment bezwładności

Aby obliczyć moment bezwładności

względem dowolnej osi, nie przecho-

względem dowolnej osi, nie przecho-

dzącej przez środek masy bryły,

dzącej przez środek masy bryły,

posługujemy się

posługujemy się

twierdzeniem Steinera

twierdzeniem Steinera

:

:

Moment bezwładności

Moment bezwładności

I

I

bryły

bryły

względem dowolnej osi jest równy

względem dowolnej osi jest równy

sumie momentu bezwładności

sumie momentu bezwładności

I

I

0

0

względem osi równoległej

względem osi równoległej

przechodzącej przez środek

przechodzącej przez środek

masy bryły oraz iloczynu

masy bryły oraz iloczynu

masy tej bryły

masy tej bryły

m

m

i kwadratu

i kwadratu

odległości

odległości

a

a

obu osi, czyli:

obu osi, czyli:

Jakob Steiner (1796-1863),

Jakob Steiner (1796-1863),

szwajcarski matematyk.

szwajcarski matematyk.

W 1834 na uniwersytecie w

W 1834 na uniwersytecie w

Berlinie

Berlinie

została utworzona

została utworzona

dla niego katedra

dla niego katedra

geometrii.

geometrii.

2

0

I

ma

I 



Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego

Rozważmy obracającą się bryłę sztywną, składającą

się z punktów materialnych m

1

, m

2

, ... , m

n

, na które

działają siły F

1

, F

2

, ... , F

n

, a r

1

, r

2

, ... , r

n

są

promieniami punktów materialnych. Wypadkowy

moment sił M działających na rozważaną bryłę

wyniesie:

Słownie

drugą zasadę dynamiki Newtona ruchu

obrotowego

można wyrazić następująco:

Jeśli na pewne ciało, które posiada pewien swój

moment bezwładności I zadziałają zewnętrzne siły,

które wywrą na to ciało pewien wypadkowy moment

siły M, to w wyniku tego działania ciało będzie

obracać się z przyspieszeniem kątowym  takim, że































I

r

m

r

m

r

m

r

a

m

r

F

r

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

2

2

M



I



M











I

M

Moment pędu (kręt)

Moment pędu (kręt)

Moment pędu L punktu materialnego o masie m i

wektorze wodzącym r, poruszającego się z

prędkością v względem osi obrotu odległej o r od

tego punktu definiujemy wzorem:

Moment pędu bryły jest sumą momentów pędu

wszystkich jego punktów, czyli:

Moment pędu bryły równa się iloczynowi jej

prędkości kątowej  i momentu bezwładności I.

Jednostką momentu pędu jest 1 kgm

2

/s.











I

r

m

r

m

i

i

i

i







2

2

L



I



L



2

mr

rmv

p

r

L









Moment pędu (kręt)

Moment pędu (kręt)

Posługując sie pojęciem momentu pędu można

inaczej wyrazić

drugą zasadę dynamiki Newtona

:

Pochodna momentu pędu L bryły względem czasu t

jest równa momentowi siły M działającej na tę

bryłę.

Mamy bowiem:

Dlaczego łatwiej zachować równowagę na rowerze

jadącym niż stojącym?

Podczas ruchu koła roweru mają pewien moment

pędu. Przewrócić rower znaczy: zmienić jego

moment pędu, a to wymaga przyłożenia znacznie

większego momentu sił niż w przypadku roweru

nieruchomego.

 

dt

dL

dt

I

d

dt

Id

I

M















Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego

Rozważmy bryłę sztywną mogącą się obracać bez tarcia

wokół stałej osi. Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu

obrotowego (M=I), jeżeli na bryłę tę będzie działał

moment siły M, to wywoła on ruch obrotowy bryły z

określonym przyspieszeniem kątowym .

Przypuśćmy, że na obracającą się bryłę nie działa żaden

moment siły, tzn. M=0. Wtedy, ponieważ bryła jest

sztywna i jej moment bezwładności jest stały i różny od

zera, przyspieszenie kątowe musi być równe zeru.

Oznacza to, że prędkość kątowa obracającej się bryły,

na którą nie działa moment siły, nie ulega zmianie.
Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego mówi, że:

Bryła sztywna nie poddana działaniu momentu siły

pozostaje nieruchoma lub wykonuje ruch obrotowy

jednostajny.

Słuszność tej zasady można sprawdzić obserwując koło

o dużej masie, zamocowane na łożyskach. Koło takie

wprawione w ruch obrotowy, zachowuje ten ruch bez

zmiany tym dłużej, im lepsze są łożyska.

Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego

Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego

Istnienie momentu siły działającego na daną bryłę

jest zawsze wynikiem oddziaływania na nią innej

bryły.
Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego mówi,

że:

Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym momentem

siły M

AB

, to bryła B działa na A momentem M

BA

równym co do wartości, lecz przeciwnie

skierowanym:

Słuszność tej zasady można sprawdzić obserwując

działanie silników; np. w chwili uruchomienia

silnika samochodu można zauważyć, że blok silnika

ulega pewnemu skręceniu w kierunku przeciwnym

do obrotu wału. Dzieje się tak dlatego, że

wprawienie w ruch obrotowy wału silnika wymaga

działania momentu siły, jednocześnie zaś działa

przeciwnie skierowany moment na korpus silnika.

BA

AB

M

M





Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Bryła sztywna wprawiona w ruch obrotowy ma energię

kinetyczną. Energie tę obliczamy, sumując energie

kinetyczne poszczególnych punktów bryły. Energia

dowolnego i-tego punktu bryły o masie m

i

wynosi:

Energia kinetyczna całej bryły:

Energia kinetyczna ruchu obrotowego jest równa

połowie iloczynu momentu bezwładności i kwadratu

prędkości kątowej.
Analogia do wzoru na energię kinetyczną punktu

materialn.













2

2

2

2

k

2

1

2

1

E

i

i

i

i

i

r

m

r

m

E





2

k

2

1

E



I



2

2

2

2

1

2

1



i

i

i

i

i

r

m

v

m

E





Analogia między ruchem postępowym i

Analogia między ruchem postępowym i

obrotowym

obrotowym

Analogia między ruchem postępowym i

Analogia między ruchem postępowym i

obrotowym

obrotowym

III. ZASADY ZACHOWANIA W

III. ZASADY ZACHOWANIA W

MECHANICE

MECHANICE

ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICE

ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICE

Zasadami

zachowania

nazywa

się

prawa

stwierdzające,

że

jakaś

wielkość

fizyczna

pozostaje stała w czasie.

(iii)

energii
W mechanice znamy trzy zasady zachowania:
(i) pędu

(ii) momentu pędu

Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu

Rozważmy układ punktów materialnych o masach

Rozważmy układ punktów materialnych o masach

m

m

1

1

, m

, m

2

2

, …, m

, …, m

n

n

, na które działają siły zewnętrzne F

, na które działają siły zewnętrzne F

1

1

,

,

F

F

2

2

, …, F

, …, F

n

n

. Według II zasady dynamiki Newtona dla

. Według II zasady dynamiki Newtona dla

dowolnego (i-tego) punktu zachodzi zależność:

dowolnego (i-tego) punktu zachodzi zależność:

,

,

która dla wszystkich punktów (sumowanie)

która dla wszystkich punktów (sumowanie)

przyjmuje postać:

przyjmuje postać:

,

,

tzn. suma wszystkich sił zewnętrznych działających

tzn. suma wszystkich sił zewnętrznych działających

na układ (suma sił wewnętrznych jest równa 0) jest

na układ (suma sił wewnętrznych jest równa 0) jest

równa sumie zmian w czasie pędów punktów

równa sumie zmian w czasie pędów punktów

materialnych (pędu całkowitego układu). Czyli:

materialnych (pędu całkowitego układu). Czyli:

dt

dp

a

m

F

i

i

i

i





















n

i

i

n

i

i

n

i

i

p

dt

d

dt

dp

F

1

1

1

dt

dp

F

z



Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu

Jest to twierdzenie o pędzie całkowitym:

Jest to twierdzenie o pędzie całkowitym:

Pochodna pędu całkowitego p układu względem

Pochodna pędu całkowitego p układu względem

czasu t jest równa wypadkowej sił zewnętrznych F

czasu t jest równa wypadkowej sił zewnętrznych F

z

z

działających na układ.

działających na układ.

Konsekwencją tego jest następująca relacja:

Konsekwencją tego jest następująca relacja:

gdy F

gdy F

z

z

= 0, to p = const

= 0, to p = const

Zależność ta wyraża

Zależność ta wyraża

zasadę zachowania pędu

zasadę zachowania pędu

, która

, która

mówi, że:

mówi, że:

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na

układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd

układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd

całkowity tego układu jest stały.

całkowity tego układu jest stały.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu:

Zgodnie z zasadą zachowania pędu:

Jeżeli wypadkowa sił wewnętrznych działających na

Jeżeli wypadkowa sił wewnętrznych działających na

układ jest równa zeru, to pęd układu w stanie

układ jest równa zeru, to pęd układu w stanie

początkowym jest równy pędowi układu w stanie

początkowym jest równy pędowi układu w stanie

końcowym.

końcowym.

Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu

PRZYKŁADY

PRZYKŁADY

Człowiek

wyskakujący

na ląd ze stojącej na
wodzie

łódki

–

pęd

układu (łódka-człowiek)
pozostaje stały (równy
zeru).

Działanie śruby okrętowej –
nadanie

wodzie

pędu

skierowanego

w

tył,

wskutek

czego

statek

uzyskuje pęd skierowany
do przodu. Podobnie działa
śmigło

samolotu

i

śmigłowca;

Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu

PRZYKŁADY

PRZYKŁADY

Zjawisko odrzutu przy
użyciu

broni

palnej

(pęd uzyskany przez
karabin

w

chwili

wystrzału jest równy
co

do

wartości

bezwzglę-dnej pędowi
pocisku);

Działanie

silników

odrzuto-wych

i

rakietowych

(pęd

unoszony przez gazy
spalinowe jest równy co
do

wartości

bezwzględnej

pędowi

uzyskanemu

przez

samolot lub rakietę).

Zasada zachowania momentu pędu (krętu)

Zasada zachowania momentu pędu (krętu)

Twierdzenie

o

momencie

pędu

(kręcie)

Twierdzenie

o

momencie

pędu

(kręcie)

całkowitym:

całkowitym:

Pochodna momentu pędu (krętu) całkowitego

Pochodna momentu pędu (krętu) całkowitego

układu względem czasu jest równa momentowi

układu względem czasu jest równa momentowi

wypadkowemu sił zewnętrznych:

wypadkowemu sił zewnętrznych:

Natomiast siły wewnętrzne układu nie mają

Natomiast siły wewnętrzne układu nie mają

wpływu na całkowity moment pędu układu

wpływu na całkowity moment pędu układu

(podobnie jak w zasadzie zachowania pędu).

(podobnie jak w zasadzie zachowania pędu).

Konsekwencją powyższego równania jest

Konsekwencją powyższego równania jest

następująca relacja:

następująca relacja:

gdy M

gdy M

z

z

= 0, to L = const.

= 0, to L = const.

dt

dL

M

z



Zasada zachowania momentu pędu (krętu)

Zasada zachowania momentu pędu (krętu)

Konsekwencją powyższego równania

Konsekwencją powyższego równania

jest następująca relacja:

jest następująca relacja:

gdy M

gdy M

z

z

= 0, to L = const.

= 0, to L = const.

Zależność ta wyraża zasadę zachowania

Zależność ta wyraża zasadę zachowania

momentu pędu (krętu), która mówi, że:

momentu pędu (krętu), która mówi, że:

Jeżeli moment wypadkowy sił zewnętrznych

Jeżeli moment wypadkowy sił zewnętrznych

działających na układ równa się zeru, to moment

działających na układ równa się zeru, to moment

pędu (kręt) całkowity tego układu jest stały.

pędu (kręt) całkowity tego układu jest stały.

Całkowity kręt układu wyraża się sumą:

Całkowity kręt układu wyraża się sumą:

,

,

a gdy prędkości kątowe poszczególnych brył są

a gdy prędkości kątowe poszczególnych brył są

równe, to:

równe, to:

dt

dL

M

z







i

i

I

L







I

I

L

i







Zasada zachowania momentu pędu

Zasada zachowania momentu pędu

(krętu)

(krętu)

PRZYKŁADY

PRZYKŁADY

Zmiany rozłożenia masy
ciała wokół osi obrotu
umożliwiają

skoczkowi

regulację

prędko-ści

obracania się jego ciała.
Podobne zjawisko
obserwu-jemy w jeździe
na lodzie przy
wykonywaniu piruetów.

Obrotowy

stołek:

kręt

układu

(człowiek + hantle)
pozostaje

stały:

zmniejszenie
momentu
bezwładności
(I=mr

2

)

wskutek

zbliżenia

han-tli

przyspiesza obrót).

Zasada zachowania momentu pędu

Zasada zachowania momentu pędu

(krętu)

(krętu)

PRZYKŁADY

PRZYKŁADY

Kot spadając
wielokrotnie
przemieszcza
swoje
kończyny

i

ogon, tak aby
nastąpiła
zmiana
momentu
bezwładności.
Nastąpi obrót
ciała,

ale

prędkość
kątowa

nie

ulegnie
zmianie.

Gimnastyk

może

zmieniać

prędkość

obrotową

przez

odpowiednią

zmianę

momentu
bezwładności

ciała,

gdyż moment pędu
musi być zachowany.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii

Układ odosobniony

Układ odosobniony

– układ na który nie dzia-

– układ na który nie dzia-

łają żadne siły zewnętrzne; w układzie odoso-

łają żadne siły zewnętrzne; w układzie odoso-

bnionym działają więc tylko siły wewnętrzne.

bnionym działają więc tylko siły wewnętrzne.

Jeżeli założymy, że siły te są zachowawcze,

Jeżeli założymy, że siły te są zachowawcze,

to takie układy nazywamy

to takie układy nazywamy

zachowawczymi

zachowawczymi

.

.

Siła zachowawcza

Siła zachowawcza

– jeśli jej praca po

– jeśli jej praca po

dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru.

dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru.

Energia mechaniczna

Energia mechaniczna

– suma energii

– suma energii

kinetycznej i potencjalnej.

kinetycznej i potencjalnej.

Zasada zachowania energii:

Zasada zachowania energii:

Energia mechaniczna układu odosobnionego i

Energia mechaniczna układu odosobnionego i

zachowawczego jest stała, to znaczy:

zachowawczego jest stała, to znaczy:

E

E

k

k

+ E

+ E

p

p

= const.

= const.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii

W przypadku układów niezachowawczych,

W przypadku układów niezachowawczych,

energia mechaniczna tych układów nie jest stała.

energia mechaniczna tych układów nie jest stała.

Przykład:

Przykład:

metalowa kulka wrzucona z pewnej wysokości do

metalowa kulka wrzucona z pewnej wysokości do

zbiornika z gęsta smołą. Analiza makroskopowa i

zbiornika z gęsta smołą. Analiza makroskopowa i

mikroskopowa.

mikroskopowa.

Ogólna zasada zachowania energii mówi, że:

Ogólna zasada zachowania energii mówi, że:

Całkowita energia (mechaniczna, elektryczna,

Całkowita energia (mechaniczna, elektryczna,

magnetyczna chemiczna, jądrowa itp.) układu

magnetyczna chemiczna, jądrowa itp.) układu

odosobnionego jest wielkością stałą.

odosobnionego jest wielkością stałą.

W układzie odosobnionym zachodzą tylko

W układzie odosobnionym zachodzą tylko

przemiany jednych form energii w inne.

przemiany jednych form energii w inne.