Aproksymacja oznacza przybliŜanie.
Funkcja aproksymująca powinna być określona na tym samym zbiorze argumentów, co funkcja aproksymowana.
W matematyce aproksymacja oznacza zastępowanie obiektów innymi obiektami, z reguły o prostszej strukturze.
Wykonanie aproksymacji wymaga określenia:
- funkcji aproksymowanej – zwykle funkcja dyskretna,
- zbioru funkcji, z których wybieramy funkcję aproksymującą,
- kryterium oceny jakość aproksymacji.
2
Kryterium określające jakość aproksymacji Jest to warunek osiągnięcia wartości minimalnej przez funkcję błędu, która jest zaleŜna od funkcji aproksymowanej i aproksymującej.
Interpolacja
Interpolacja jest szczególnym przypadkiem aproksymacji.
3
Dane są to wartości funkcji f (x) zapisane jako
y = f ( x ) i = 0, ,
1 2,..., n
i
i
NaleŜy znaleźć funkcję F (x) określonej klasy, która przyjmuje w węzłach interpolacji te same wartości co funkcja interpolowana y = f ( x ) i = 0, ,
1 2,..., n
i
i
czyli
F ( x ) = y i = ,
0 ,
1 ..., n
i
i
Interpolacja: odcinkami, wielomianami potęgowymi Lagrange’a, wielomianami Newtona, róŜnicami skończonymi, funkcjami sklejanymi 4
Interpolacja wielomianami Lagrange’a NaleŜy znaleźć dla danej funkcji f (·) taki wielomian potęgowy stopnia nie wyŜszego niŜ
n oznaczanego przez L ( )
n ⋅
którego wartości w n + 1 zadanych punktach x ,
i = ,
0 ,
1 ..., n
i
są równe odpowiednim wartościom funkcji, co oznacza, Ŝe L ( x ) = f ( x ) dla
i = ,
0 ,
1 ..., n
n
i
i
Punkty
x ,
i = ,
0 ,
1 ..., n
węzły interpolacji
i
5
L ( x)
( n)
= ∑ y ⋅ L ( x) n
i
i
i=0
−
−
− −
− +
−
( n)
( x
x )( x
x )....( x
x
)( x
x
)...( x
x )
L
( x)
0
1
i 1
i 1
n
=
i
( x − x )( x − x )...( x − x )( x
−
− x )...( x
+
− x )
i
0
i
1
i
i 1
i
i 1
i
n
Dla n = 2 i = 0, 1, 2 mamy
−
−
(2)
( x
x )( x
x )
L
( x)
1
2
=
−
−
0
(2)
( x
x )( x
x )
( x − x )( x − x ) L
( x)
0
2
=
0
1
0
2
1
( x − x )( x − x ) 1
0
1
2
−
−
(2)
( x
x )( x
x )
L
( x)
0
1
=
2
( x − x )( x − x ) 2
0
2
1
6
Dane
i
0
1
2
x
0
1
2
i
y
-1
0
3
i
7