10.1.
10.1.
10.1.
10.1. Funkcję rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego można zapisać w formie:
( )
kT
mv
e
Cv
v
f
2
2
2
−
=
, gdzie C jest pewną stałą a m jest masą cząsteczki. Jest to jednocześnie rozkład
prawdopodobieństwa znalezienia w gazie o temperaturze T cząstek o prędkości v.
Wyprowadź wzór oraz oblicz najbardziej prawdopodobną prędkość wodoru i tlenu jeśli
K
T
300
=
.
mol
kg
mol
g
H
3
10
2
2
2
−
⋅
=
=
µ
,
mol
kg
mol
g
O
3
10
32
32
2
−
⋅
=
=
µ
,
(
)
mol
kg
J
R
⋅
= 31
,
8
.
Naszkicuj wykres f(V) obu gazów.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
( )
kT
mv
e
Cv
v
f
2
2
2
−
=
warunek istnienia maksimum funkcji:
0
=
∂
∂
v
f
(
)
−
=
∂
∂
∂
∂
⋅
=
⋅
+
⋅
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
−
kT
mv
v
Ce
v
f
v
p
e
e
v
e
v
kT
mv
e
C
v
f
v
h
e
u
v
h
u
h
v
u
C
v
h
u
C
v
f
kT
mv
p
p
kT
mv
kT
mv
kT
mv
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
2
µ
µ
RT
v
k
N
R
N
m
m
kT
v
m
kT
v
kT
mv
kT
mv
v
Ce
A
A
kT
mv
2
;
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
⇒
=
−
−
[ ]
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
s
m
s
kg
m
kg
kg
mol
mol
kg
K
m
N
mol
kg
K
mol
kg
J
RT
v
2
2
2
µ
dla wodoru:
dla wodoru:
dla wodoru:
dla wodoru:
s
m
RT
v
H
92
,
1578
002
,
0
300
31
,
8
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
µ
dla tlenu:
dla tlenu:
dla tlenu:
dla tlenu:
s
m
RT
v
O
73
,
394
032
,
0
300
31
,
8
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
µ
10.2.
10.2.
10.2.
10.2. Funkcję rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego można zapisać w formie:
( )
kT
mv
e
Dv
v
f
2
2
2
−
=
, gdzie D jest pewną stałą, a m jest masą cząsteczki. Jest to jednocześnie
rozkład prawdopodobieństwa znalezienia w gazie o temperaturze T cząstek o prędkości v.
Wyprowadź wzór oraz oblicz najbardziej prawdopodobną prędkość cząstek azotu gdy
temperatura gazu wynosi
K
T
300
1
=
i
K
T
900
1
=
. Naszkicuj wykres f(v) gazu w obu
temperaturach.
mol
kg
mol
g
N
3
10
28
28
2
−
⋅
=
=
µ
,
(
)
mol
kg
J
R
⋅
= 31
,
8
.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
warunek istnienia maksimum funkcji:
0
=
∂
∂
v
f
(
)
−
=
∂
∂
∂
∂
⋅
=
⋅
+
⋅
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
−
kT
mv
v
De
v
f
v
p
e
e
v
e
v
kT
mv
e
D
v
f
v
h
e
u
v
h
u
h
v
u
D
v
h
u
D
v
f
kT
mv
p
p
kT
mv
kT
mv
kT
mv
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
2
µ
µ
RT
v
k
N
R
N
m
m
kT
v
m
kT
v
kT
mv
kT
mv
v
De
A
A
kT
mv
2
;
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
⇒
=
−
−
dla T
dla T
dla T
dla T
1111
::::
s
m
RT
v
N
98
,
421
028
,
0
300
31
,
8
2
2
2
1
=
⋅
⋅
=
=
µ
dla T
dla T
dla T
dla T
2222
::::
s
m
RT
v
N
13
,
231
028
,
0
900
31
,
8
2
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
µ
3.2.4.
3.2.4.
3.2.4.
3.2.4. Znaleźć wartość najbardziej prawdopodobną energii drobin gazu doskonałego.
Rozwiązanie:
( )
( )
kT
E
e
E
kT
E
f
−
−
⋅
=
2
/
3
2
π
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
szukamy maksimum
0
=
∂
∂
E
f
E- energia kinetyczna drobiny gazu.
(
)
( )
−
=
∂
∂
∂
∂
⋅
=
⋅
+
⋅
−
=
∂
∂
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
−
−
−
kT
E
e
E
e
E
f
E
p
e
e
E
e
E
kT
e
C
E
f
kT
C
E
h
e
u
E
h
u
h
E
u
C
E
h
u
C
E
f
kT
E
kT
E
p
p
kT
E
kT
E
kT
E
2
2
2
1
1
2
,
2
/
3
π
π
2
2
2
1
0
2
1
kT
E
kT
E
kT
E
E
e
kT
E
E
kT
E
=
=
=
⇒
=
−
−
10.3.
10.3.
10.3.
10.3. Ocenić ciśnienie i koncentrację powietrza na wysokości:
a/ 0m npm, b/ 2499m npm, c/ 4807m npm, d/ 8850m npm.
Założyć, że przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od wysokości przy
czym
2
81
,
9
s
m
g
=
,
C
T
p
°
= 7
.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
RT
p
RT
p
V
m
V
m
RT
p
m
n
V
nRT
p
nRT
pV
µ
ρ
µ
ρ
ρ
µ
µ
=
⇒
=
=
=
=
=
=
;
;
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
0
;
;
'
p
C
Ce
h
p
h
F
C
RT
g
h
p
stala
F
h
F
F
dh
h
p
h
p
h
F
dh
h
p
RT
g
dh
h
RT
p
g
dh
h
g
gdh
h
Sdh
V
s
gV
h
S
Q
p
h
RT
g
h
h
h
h
h
h
=
=
−
=
←
∞
−
∞
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∫
∫
∫
∫
∫
∫
µ
µ
µ
µ
ρ
ρ
ρ
koncentracja:
h
RT
g
A
e
V
Tk
pV
Nk
R
N
N
nR
T
pV
V
N
µ
η
η
η
η
−
=
⇒
⋅
=
=
=
=
=
0
1
;
a/
a/
a/
a/
( )
3
25
0
10
6
,
2
;
1000
0
−
⋅
=
=
m
hPa
p
η
b/
b/
b/
b/
(
)
0
0
74
,
0
;
74
,
0
2499
η
η
=
=
p
m
p
c/
c/
c/
c/
(
)
0
0
55
,
0
;
55
,
0
4807
η
η
=
=
p
m
p
d/
d/
d/
d/
(
)
0
0
33
,
0
;
33
,
0
8850
η
η
=
=
p
m
p
10.4
10.4
10.4
10.4 Czy na Mount Evereście można zagotować jajko na twardo? Założenia:
1/ ścinanie białka zachodzi w temperaturze
C
T
°
−
=
72
60
,
2/ związek temperatury wrzenia wody z ciśnieniem powietrza przy powierzchni wody jest
następujący:
x
x
T
T
p
p
A
1
1
ln
1
0
0
−
=
gdzie:
Pa
Pa
p
5
4
0
10
10
81
,
9
≈
⋅
=
,
K
T
373
0
=
,
K
A
34950
=
, a T
x
jest temperaturą wrzenia wody
pod ciśnieniem p
x
, przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od wysokości
przy czym
2
81
,
9
s
m
g
=
,
C
T
p
°
= 7
.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
(
)
g
K
T
mol
kg
J
R
m
h
p
8
,
28
280
31
,
8
8850
=
=
⋅
=
=
µ
R
k
m
kN
R
A
µ
=
=
( )
0
0
33
,
0
p
e
p
h
p
h
RT
g
=
⋅
=
−
µ
C
K
A
T
p
p
A
T
T
x
x
°
=
=
−
=
−
=
−
=
72
345
33
,
0
ln
34950
1
373
1
33
,
0
ln
1
1
ln
1
1
1
0
0
0
// czyli tak na ścisk, uda się, albo nie uda. W sensie, jest cień szansy.
10.5.
10.5.
10.5.
10.5. Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza spada do połowy swej wartości przy
powierzchni morza? Założyć, że przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą
od wysokości. Dane:
2
81
,
9
s
m
g
=
,
C
T
p
°
= 10
,
hPa
p
1000
0
=
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
( )
km
p
p
g
RT
h
p
e
p
h
p
h
RT
g
77
,
5
ln
5
,
0
0
0
0
=
=
⋅
=
⋅
=
−
µ
µ
11.1.
11.1.
11.1.
11.1. W zamkniętej butelce o objętości V
0
=500cm
3
znajduje
się
powietrze o temperaturze T
1
=27
0
C i ciśnieniu p
1
=1000 hPa.
Po
pewnym czasie słońce ogrzało butelkę do temperatury
T
2
=57
0
C. Oblicz liczbę cząsteczek gazu znajdującego się w
butelce, końcowe ciśnienie powietrza oraz ciepło pobrane
przez gaz. Narysuj wykres p(V).
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Szukamy:
?
=
N
?
2
=
p
?
=
Q
Końcowe ciśnienie:
Końcowe ciśnienie:
Końcowe ciśnienie:
Końcowe ciśnienie:
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
;
T
T
p
p
T
p
T
p
const
V
V
T
V
p
T
V
p
=
=
=
=
=
Pa
p
5
2
10
1
,
1
⋅
=
Liczba cząsteczek gazu:
Liczba cząsteczek gazu:
Liczba cząsteczek gazu:
Liczba cząsteczek gazu:
23
2
2
2
2
10
12
,
0
⋅
=
=
=
=
=
RT
VN
p
nN
N
RT
V
p
n
nRT
pV
A
A
Ciepło pobrane przez gaz:
Ciepło pobrane przez gaz:
Ciepło pobrane przez gaz:
Ciepło pobrane przez gaz:
J
T
T
R
n
dT
C
m
Q
U
pdV
U
W
U
Q
V
V
V
47
,
12
)
(
3
5
0
1
2
2
1
=
−
=
=
+
∆
=
+
∆
=
+
∆
=
∫
µ
11.2.
11.2.
11.2.
11.2. Butla gazowa o objętości V
1
=0,3m
3
wytrzymuje ciśnienie p
kr
=10
7
Pa. Znajduje się w niej
m=3369g azotu o temperaturze T
1
=27
0
C. Obliczyć ciśnienie gazu w temperaturze T
1
. Jeśli w
wyniku pożaru butla ogrzeje się to w jakiej temperaturze nastąpi jej rozerwanie? Masa
molowa azotu: μ
p
=28g.
Pa
V
RT
m
p
R
m
T
V
p
p
p
6
1
1
1
1
1
1
10
3
,
0
028
,
0
300
31
,
8
369
,
3
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
µ
µ
K
p
T
p
T
T
p
T
p
kr
kr
kr
kr
3000
1
1
1
1
=
=
=
11.3.
11.3.
11.3.
11.3. W procesie izobarycznym n=2 mole wodoru o temperaturze T
1
=300K i ciśnieniu
p
1
=10
6
Pa, zmniejszyło swoją objętość k=2 razy. Oblicz temperaturę końcową, pracę i ciepło
występujące w tym procesie. Przedstaw pracę na wykresie p(V).
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Przemiana izobaryczna – p = const
?
?
?
2
10
300
2
6
1
1
=
=
=
=
=
=
Q
W
T
k
Pa
p
K
T
K
k
T
kV
V
T
V
V
T
T
kV
V
T
V
T
V
150
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
=
=
=
=
=
=
(
)
(
)
(
)
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
V
V
p
T
T
n
C
dV
p
T
T
n
C
dV
p
U
W
U
Q
V
V
V
V
V
V
−
+
+
=
+
+
=
+
∆
=
+
∆
=
∫
∫
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1246
1
1
1
1
9146
nRT
V
p
J
k
nRT
k
V
p
V
V
p
W
J
T
T
n
C
Q
V
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
+
=
Praca została wykonana nad gazem, stąd ujemne wartości.
11.7.
11.7.
11.7.
11.7. W wyniku szybkiego rozprężeniu n=2 moli tlenu jego objętość wzrosła s=4 razy.
Obliczyć przyrost energii wewnętrznej tego gazu jeśli jego ciśnienie początkowe wynosiło
p
1
=8,31 x 10
6
Pa a temperatura T
1
=300K.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
zakładamy, że nie wystąpiła wymiana ciepła z otoczeniem - Przemiana adiabatyczna
?
300
10
31
,
8
4
2
1
6
1
=
∆
=
⋅
=
=
=
U
K
T
Pa
p
s
n
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
5
7
2
;
p
nRT
V
nR
T
V
p
T
V
p
V
V
p
p
V
p
V
p
pV
i
i
C
C
const
pV
V
p
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
+
=
=
=
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
=
−
−
=
−
=
−
=
∆
−
=
−
=
∆
=
+
∆
=
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
s
V
p
s
V
V
p
V
V
V
p
U
sV
V
V
V
V
p
dV
V
V
p
dV
V
V
p
U
pdV
W
U
W
U
Q
s
V
V
V
V
V
V
11.10
11.10
11.10
11.10
.
.
.
.
Masę m = 160 g tlenu ogrzewa się od T
1
= 50°C do T
2
= 60°C. Obliczyć ilość
pobranego ciepła i zmianę energii wewnętrznej tlenu w przypadku, gdy ogrzewanie
zachodziło:
a) izochorycznie,
b) izobarycznie.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
(
)
?
?
8
,
28
31
,
8
333
60
323
50
16
,
0
160
1
1
=
∆
=
=
⋅
=
=
=
=
=
=
=
U
Q
g
mol
kg
J
R
K
C
T
K
C
T
kg
g
m
µ
o
o
a/ Izochorycznie -
const
V
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
2
5
2
5
2
5
T
T
mR
U
Q
m
n
T
T
mR
T
T
nR
T
T
n
C
U
V
−
=
∆
=
=
−
=
−
=
−
=
∆
µ
µ
µ
b/ izobarycznie -
const
p
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
7
2
5
2
5
T
T
mR
T
T
n
C
U
W
Q
m
n
T
T
mR
T
T
nR
T
T
n
C
U
p
V
−
=
−
=
∆
+
=
=
−
=
−
=
−
=
∆
µ
µ
µ
11.14.
11.14.
11.14.
11.14.
Oblicz wydajność silnika pracującego w cyklu pokazanym na rysunku. Dane: T
1
=600K,
T
2
=900K, T
3
=600K, gaz jednoatomowy - κ=1,67.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
1-2
–
przemiana
izobaryczna
const
p
=
(
)
1
2
2
1
T
T
n
C
Q
p
−
=
−
2-3
–
przemiana
izochoryczna
const
V
=
(
)
2
3
3
2
T
T
n
C
Q
V
−
=
−
3-4
–
przemiana
izobaryczna
const
p
=
(
)
3
4
4
3
T
T
n
C
Q
p
−
=
−
4-1 – przemiana izochoryczna
const
V
=
(
)
4
1
1
4
T
T
n
C
Q
V
−
=
−
p
V
T
1
1
p
1
V
K
T
600
3
=
2
1
p
2
V
K
T
900
2
=
3
2
p
2
V
K
T
600
3
=
4
2
p
1
V
?
4
=
T
K
K
T
T
T
p
T
T
T
p
p
T
p
T
T
T
p
p
T
V
p
T
V
p
T
V
p
T
V
p
400
900
600
600
:
3
2
2
3
1
1
2
3
1
1
1
1
2
4
2
3
1
2
3
2
2
2
2
1
4
1
2
1
1
1
=
=
=
=
=
=
⇒
=
→
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
4
1
1
2
4
1
3
4
2
3
1
2
4
1
1
2
4
1
3
4
2
3
1
2
1
4
2
1
T
T
T
T
C
T
T
T
T
T
T
T
T
C
T
T
C
T
T
C
n
T
T
C
T
T
C
T
T
C
T
T
C
n
Q
Q
W
C
C
C
C
V
V
V
p
V
p
V
p
V
p
V
p
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
=
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
+
=
=
=
−
−
κ
κ
κ
η
κ
κ
8.2.
8.2.
8.2.
8.2. W stronę nieruchomej masy m przedstawionej na rysunku 8.1. porusza się z prędkością -
v ciało o masie m i zderza się z nią centralnie. Jak długo trwa ruch masy zamocowanej do
nieważkiej sprężyny o współczynniku sprężystości k w przypadku, kiedy a) zderzenie mas
jest sprężyste b) zderzenie mas jest niesprężyste, a masy trwale przylegają do siebie? Ile
wynosi okres drgań w obu przypadkach? Tarcie zaniedbać.
8.3.
8.3.
8.3.
8.3. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne. W odległościach x
1
i x
2
od położenia równowagi
jej prędkości wynoszą v
1
i v
2
. Znaleźć amplitudę i częstość drgań cząstki.
?
?
,
,
2
1
2
1
=
=
ω
A
v
v
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
=
−
=
−
=
−
=
⋅
−
=
−
−
=
⇒
−
=
+
=
−
=
−
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
1
cos
cos
sin
1
sin
cos
ω
υ
ω
ω
υ
ω
ω
υ
ω
ω
υ
ω
ω
υ
ω
υ
ω
υ
ϕ
ω
ϕ
ω
A
x
A
x
A
A
A
A
x
A
A
A
x
A
A
x
x
x
x
x
A
t
A
x
t
otrzymujemy równanie z 2 niewiadomymi, wyciągamy
2
ω
:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
υ
ω
υ
ω
υ
ω
ω
υ
ω
ω
ω
υ
ω
Wstawiamy do
2
2
x
:
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
A
x
A
A
x
x
−
−
−
−
−
=
υ
υ
υ
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
ϕ
ω
ω
υ
ϕ
ω
ω
ω
−
−
=
∂
∂
=
−
=
+
=
t
A
t
x
t
t
A
t
x
t
A
t
A
t
x
sin
cos
sin
cos
2
1
i porządkujemy by wyciągnąć A:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
−
−
=
−
=
−
−
+
=
−
+
=
−
−
+
=
−
+
−
−
=
−
−
x
x
A
A
x
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
A
x
x
A
A
x
A
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
=
+
−
−
−
−
=
−
+
−
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
ω
υ
υ
υ
υ
υ
ω
tylko coś mi z tym „-„ nie terere
8.7*.
8.7*.
8.7*.
8.7*. Ile wynosi okres małych drgań kulki A w układzie złożonym z wahadła matematycznego
i nieważkiej sprężyny? Osobno wahadło matematyczne ma okres małych drgań T
1
, a kulka A
podwieszona tylko do sprężyny ma okres drgań T
2
.
g
l
T
π
2
1
=
osobno
k
m
T
π
2
1
=
kulki podwieszonej do sprężyny
ϕ
ϕ
π
ω
ω
mg
F
mg
F
T
x
x
m
k
m
F
t
x
≈
=
=
−
=
−
=
=
∂
∂
sin
2
2
2
2
przybliżenie dla bardzo małych drgań
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
sin
sin
sin
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
m
k
l
g
ml
kl
mg
t
t
ml
kl
mg
t
l
t
kl
mg
l
t
t
x
lm
kl
mg
t
m
l
I
Fl
M
I
M
t
kl
mg
kl
mg
t
x
kl
ka
F
l
a
+
⋅
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
∂
∂
−
=
−
=
∂
∂
−
−
=
∂
∂
⇒
∂
∂
=
+
−
∂
∂
=
∂
∂
≈
+
−
=
∂
∂
=
−
=
=
=
∂
∂
+
−
=
−
−
=
∂
∂
−
=
−
=
=
π
π
π
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
tu coś nie halloo
8.10*.
8.10*.
8.10*.
8.10*. Wyobraźmy sobie tunel wydrążony w Ziemi wzdłuż jej osi obrotu. W chwili t = 0 ciało A
zaczyna spadać swobodnie z powierzchni Ziemi w głąb tunelu, a ciało B zaczyna spadać w
głąb tunelu z odległości r = R
Z
/2 od środka Ziemi. Obliczyć czas t, po którym ciała się
spotkają i wskazać miejsce spotkania. Zaniedbać opór powietrza oraz założyć, że Ziemia jest
jednorodną kulą o promieniu R
Z
= 6400 km.
8.26.
8.26.
8.26.
8.26. W pewnym ośrodku wzdłuż osi y przemieszcza się monochromatyczna harmoniczna
fala płaska o długości λ. Znaleźć różnicę faz drgań cząstek ośrodka znajdujących się na
równoległych płaszczyznach A i B odległych od siebie o Δy. Płaszczyzny te są prostopadłe
do osi y.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Płaszczyzna A:
(
)
( )
A
A
s
ky
t
s
s
ϕ
ϕ
ω
cos
cos
0
0
=
+
−
=
Płaszczyzna B:
(
)
(
)
( )
B
B
s
y
y
k
t
s
s
ϕ
ϕ
ω
cos
cos
0
0
=
+
∆
+
−
=
y
k
y
k
ky
t
y
k
ky
t
A
B
∆
−
=
∆
=
∆
−
=
−
+
−
+
∆
−
−
=
∆
−
=
∆
λ
π
ϕ
λ
π
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
„-„ oznacza, że drgania w B są opóźnione w fazie o
y
∆
⋅
λ
π
2
w stosunku do A.
8.27*.
8.27*.
8.27*.
8.27*. W jednorodnym ośrodku sprężystym o gęstości ρ
0
rozchodzi się fala płaska
( )
(
)
kx
t
s
t
x
s
−
=
ω
cos
,
0
Sporządzić wykresy dla
ω
π
=
t
a) zależności
( ) (
)( ) (
)( )
x
x
s
x
t
s
x
s
∂
∂
∂
∂
,
,
( )
(
)
(
)
(
)
kx
t
s
kx
t
s
t
s
kx
s
t
x
s
−
−
=
−
−
=
∂
∂
−
=
ω
ω
ω
ω
π
sin
sin
cos
,
0
0
0
(
)
(
)
kx
ks
kx
t
ks
x
s
−
=
−
=
∂
∂
π
ω
sin
sin
0
0
??
b) zaznaczyć na wykresie dla s=0 kierunki prędkości cząstek ośrodka dla fali podłużnej i
poprzecznej,
??
c) zależności gęstości ośrodka ρ(x) dla fali podłużnej.
8.28.
8.28.
8.28.
8.28. Wykazać, że ogólne równanie fali płaskiej w postaci
( )
(
)
ϕ
ω
+
−
=
r
k
t
s
t
r
s
r
r
r
cos
,
0
spełnia równanie falowe.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
=
∂
∂
⋅
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
s
y
s
x
s
r
s
t
s
f
f
υ
υ
(
)
(
)
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
+
−
−
=
∂
∂
+
−
−
=
∂
∂
r
k
t
s
t
s
r
k
t
s
t
s
r
r
r
r
cos
sin
2
0
2
2
0
z
z
y
y
x
x
z
y
x
e
k
e
k
e
k
k
e
z
e
y
e
x
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+
+
=
+
+
=
( )
(
)(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
+
−
−
−
=
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
=
z
k
y
k
x
k
t
s
t
r
s
z
k
y
k
x
k
t
s
t
r
s
e
z
e
y
e
x
e
k
e
k
e
k
t
s
t
r
s
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
cos
,
cos
,
cos
,
0
0
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(
)
(
)
(
)
(
)
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
+
+
−
−
−
−
=
∂
∂
+
+
−
−
−
−
=
∂
∂
+
+
−
−
−
−
=
∂
∂
+
−
−
−
−
=
∂
∂
z
k
y
k
x
k
t
s
k
z
s
z
k
y
k
x
k
t
s
k
y
s
z
k
y
k
x
k
t
s
k
x
s
z
k
y
k
x
k
t
s
k
x
s
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
z
y
x
x
cos
cos
cos
sin
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
π
ϕ
ω
λ
π
υ
ϕ
ω
υ
ϕ
ω
υ
υ
+
−
−
=
+
−
−
=
=
+
−
=
+
−
−
=
=
+
−
+
+
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
kr
t
s
kr
t
s
T
kr
t
s
kr
t
k
s
kr
t
e
k
e
k
e
k
s
z
s
y
s
x
s
f
f
z
z
y
y
x
x
f
f
cos
cos
2
cos
2
cos
cos
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
r
r
r
T
k
f
λ
υ
λ
π
=
=
;
2
c.n.d.
8.29.
8.29.
8.29.
8.29. W zamocowanej na końcach strunie o długości b = 120 cm wytworzono falę stojącą. W
punktach odległych od siebie o d
1
= 15 cm i d
2
= 5 cm amplituda tej fali jest równa A
1
= 3,5
mm. Znaleźć maksymalną amplitudę tej fali. Której harmonicznej odpowiada ta fala?
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
?
0035
,
0
05
,
0
15
,
0
2
,
1
max
1
2
1
=
=
=
=
=
A
m
A
m
d
m
d
m
b
st
d
d
λ
=
+
2
1
n
b
st
=
λ
rząd fali stojącej
2
1
2
1
1
d
d
b
d
d
b
b
n
k
+
=
+
=
=
π
π
π
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
−
+
−
+
+
=
+
+
+
−
+
−
+
+
+
+
−
=
+
+
+
=
+
−
=
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
sin
sin
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
02
2
1
01
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
kx
t
s
s
s
kx
t
kx
t
kx
t
kx
t
s
s
s
kx
t
s
s
kx
t
s
s
( )
( )
( )
( )
kx
x
A
A
kx
A
x
A
sin
sin
max
max
=
=
2
2
2
2
1
1
d
x
d
x
=
=
( )
(
)
⋅
+
=
=
∧
⋅
+
=
=
2
sin
sin
2
sin
sin
2
2
1
1
2
1
max
1
2
1
1
1
1
max
d
d
d
A
kx
A
A
d
d
d
A
kx
A
A
π
π
8.30.
8.30.
8.30.
8.30. W ośrodku o gęstości ρ wytworzono mechaniczną podłużną falę stojącą. Wychylenie
cząsteczek ośrodka opisane jest równaniem:
( )
( )
t
kx
s
s
ω
cos
cos
2
0
=
. Obliczyć średnią gęstość
energii kinetycznej i średnią gęstość energii potencjalnej ruchu falowego w węzłach i w
strzałkach.
Rozwiązanie:
dV
dE
E
dV
dE
V
E
E
k
k
k
k
dV
k
=
=
∆
∆
=
→0
lim
( )
( )
( )
t
s
s
t
kx
s
s
ω
ω
cos
2
cos
cos
2
0
0
=
=
( )
( )
( )
( )
p
k
k
k
k
k
E
s
E
t
s
E
t
Vs
E
t
s
m
E
m
E
t
s
dt
ds
=
=
=
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
−
=
=
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
sin
2
sin
2
2
1
sin
4
2
1
sin
2
ρω
ω
ρω
ω
ρ
ω
ω
υ
ω
ω
υ
8.32.
8.32.
8.32.
8.32. W trzech równoodległych punktach znajdujących się
na jednej prostej dokonano pomiaru natężenia fali
emitowanej przez to samo źródło punktowe. Gdzie znajduje
się źródło fali, jeżeli natężenie fali w punktach skrajnych jest
jednakowe, a w punkcie środkowym większe o p = 10%?
Odległość między punktem środkowym a punktami
skrajnymi wynosi a = 10 m. Przyjąć:
a) fale są kuliste,
b) b) fale są koliste.
,
01
,
0
10
%,
10
m
cm
a
p
=
=
=
(
)
2
2
1
2
3
1
1
d
a
x
p
I
I
I
I
+
=
+
=
=
2
~ A
I
a/ kuliste
(
)
(
)
(
)
p
a
d
p
a
d
a
d
p
d
d
d
a
p
d
d
a
p
C
d
C
p
I
d
C
I
d
I
d
a
C
I
I
d
a
x
I
r
I
=
=
=
−
+
+
=
+
+
+
/
=
/
+
=
=
+
=
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
~
1
~
1
~
1
~
1
~
b/ koliste
2
2
1
3
2
2
1
1
~
1
~
1
~
1
~
d
a
C
I
I
d
a
x
I
r
I
+
=
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
~
p
p
a
d
p
p
a
d
a
d
p
p
d
d
d
a
p
d
p
d
d
d
a
dp
d
d
a
p
d
d
a
p
C
d
C
p
I
d
C
I
d
I
+
=
+
=
=
−
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
/
=
/
+
=
=
8.33.
8.33.
8.33.
8.33. Punktowe źródło fal o mocy P znajduje się w środku walca o promieniu R i
wysokości h. Przyjmując, że ścianki walca całkowicie tłumią fale, obliczyć średni
strumień energii padający na boczną powierzchnię walca.
?
=
Φ
R
h
P
(
)
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
0
0
2
0
0
0
2
2
2
1
2
1
1
4
4
4
2
1
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
sin
1
1
2
1
2
1
sin
sin
4
sin
4
cos
2
2
cos
2
4
4
+
=
+
=
=
Φ
+
=
+
=
+
=
⋅
+
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
Φ
=
=
Φ
∫
h
R
P
h
R
r
r
P
dS
r
P
d
h
R
h
R
h
R
h
h
R
h
h
r
r
d
r
S
r
r
dS
dS
r
P
d
r
P
I
IdS
d
π
π
π
α
α
α
π
α
π
α
α
π
α
π
π
π
α
α