10.1.
10.1.
10.1.
10.1. Funkcję rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego można zapisać w formie:
( )
kT
mv
e
Cv
v
f
2
2
2
−
=
, gdzie C jest pewną stałą a m jest masą cząsteczki. Jest to jednocześnie rozkład
prawdopodobieństwa znalezienia w gazie o temperaturze T cząstek o prędkości v.
Wyprowadź wzór oraz oblicz najbardziej prawdopodobną prędkość wodoru i tlenu jeśli
K
T
300
=
.
mol
kg
mol
g
H
3
10
2
2
2
−
⋅
=
=
µ
,
mol
kg
mol
g
O
3
10
32
32
2
−
⋅
=
=
µ
,
(
)
mol
kg
J
R
⋅
= 31
,
8
.
Naszkicuj wykres f(V) obu gazów.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
( )
kT
mv
e
Cv
v
f
2
2
2
−
=
warunek istnienia maksimum funkcji:
0
=
∂
∂
v
f
(
)
−
=
∂
∂
∂
∂
⋅
=
⋅
+
⋅
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
−
kT
mv
v
Ce
v
f
v
p
e
e
v
e
v
kT
mv
e
C
v
f
v
h
e
u
v
h
u
h
v
u
C
v
h
u
C
v
f
kT
mv
p
p
kT
mv
kT
mv
kT
mv
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
2
µ
µ
RT
v
k
N
R
N
m
m
kT
v
m
kT
v
kT
mv
kT
mv
v
Ce
A
A
kT
mv
2
;
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
⇒
=
−
−
[ ]
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
s
m
s
kg
m
kg
kg
mol
mol
kg
K
m
N
mol
kg
K
mol
kg
J
RT
v
2
2
2
µ
dla wodoru:
dla wodoru:
dla wodoru:
dla wodoru:
s
m
RT
v
H
92
,
1578
002
,
0
300
31
,
8
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
µ
dla tlenu:
dla tlenu:
dla tlenu:
dla tlenu:
s
m
RT
v
O
73
,
394
032
,
0
300
31
,
8
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
µ
10.2.
10.2.
10.2.
10.2. Funkcję rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego można zapisać w formie:
( )
kT
mv
e
Dv
v
f
2
2
2
−
=
, gdzie D jest pewną stałą, a m jest masą cząsteczki. Jest to jednocześnie
rozkład prawdopodobieństwa znalezienia w gazie o temperaturze T cząstek o prędkości v.
Wyprowadź wzór oraz oblicz najbardziej prawdopodobną prędkość cząstek azotu gdy
temperatura gazu wynosi
K
T
300
1
=
i
K
T
900
1
=
. Naszkicuj wykres f(v) gazu w obu
temperaturach.
mol
kg
mol
g
N
3
10
28
28
2
−
⋅
=
=
µ
,
(
)
mol
kg
J
R
⋅
= 31
,
8
.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
warunek istnienia maksimum funkcji:
0
=
∂
∂
v
f
(
)
−
=
∂
∂
∂
∂
⋅
=
⋅
+
⋅
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
−
kT
mv
v
De
v
f
v
p
e
e
v
e
v
kT
mv
e
D
v
f
v
h
e
u
v
h
u
h
v
u
D
v
h
u
D
v
f
kT
mv
p
p
kT
mv
kT
mv
kT
mv
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
2
µ
µ
RT
v
k
N
R
N
m
m
kT
v
m
kT
v
kT
mv
kT
mv
v
De
A
A
kT
mv
2
;
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
⇒
=
−
−
dla T
dla T
dla T
dla T
1111
::::
s
m
RT
v
N
98
,
421
028
,
0
300
31
,
8
2
2
2
1
=
⋅
⋅
=
=
µ
dla T
dla T
dla T
dla T
2222
::::
s
m
RT
v
N
13
,
231
028
,
0
900
31
,
8
2
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
µ
3.2.4.
3.2.4.
3.2.4.
3.2.4. Znaleźć wartość najbardziej prawdopodobną energii drobin gazu doskonałego.
Rozwiązanie:
( )
( )
kT
E
e
E
kT
E
f
−
−
⋅
=
2
/
3
2
π
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
szukamy maksimum
0
=
∂
∂
E
f
E- energia kinetyczna drobiny gazu.
(
)
( )
−
=
∂
∂
∂
∂
⋅
=
⋅
+
⋅
−
=
∂
∂
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
−
−
−
kT
E
e
E
e
E
f
E
p
e
e
E
e
E
kT
e
C
E
f
kT
C
E
h
e
u
E
h
u
h
E
u
C
E
h
u
C
E
f
kT
E
kT
E
p
p
kT
E
kT
E
kT
E
2
2
2
1
1
2
,
2
/
3
π
π
2
2
2
1
0
2
1
kT
E
kT
E
kT
E
E
e
kT
E
E
kT
E
=
=
=
⇒
=
−
−
10.3.
10.3.
10.3.
10.3. Ocenić ciśnienie i koncentrację powietrza na wysokości:
a/ 0m npm, b/ 2499m npm, c/ 4807m npm, d/ 8850m npm.
Założyć, że przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od wysokości przy
czym
2
81
,
9
s
m
g
=
,
C
T
p
°
= 7
.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
RT
p
RT
p
V
m
V
m
RT
p
m
n
V
nRT
p
nRT
pV
µ
ρ
µ
ρ
ρ
µ
µ
=
⇒
=
=
=
=
=
=
;
;
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
0
;
;
'
p
C
Ce
h
p
h
F
C
RT
g
h
p
stala
F
h
F
F
dh
h
p
h
p
h
F
dh
h
p
RT
g
dh
h
RT
p
g
dh
h
g
gdh
h
Sdh
V
s
gV
h
S
Q
p
h
RT
g
h
h
h
h
h
h
=
=
−
=
←
∞
−
∞
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∫
∫
∫
∫
∫
∫
µ
µ
µ
µ
ρ
ρ
ρ
koncentracja:
h
RT
g
A
e
V
Tk
pV
Nk
R
N
N
nR
T
pV
V
N
µ
η
η
η
η
−
=
⇒
⋅
=
=
=
=
=
0
1
;
a/
a/
a/
a/
( )
3
25
0
10
6
,
2
;
1000
0
−
⋅
=
=
m
hPa
p
η
b/
b/
b/
b/
(
)
0
0
74
,
0
;
74
,
0
2499
η
η
=
=
p
m
p
c/
c/
c/
c/
(
)
0
0
55
,
0
;
55
,
0
4807
η
η
=
=
p
m
p
d/
d/
d/
d/
(
)
0
0
33
,
0
;
33
,
0
8850
η
η
=
=
p
m
p
10.4
10.4
10.4
10.4 Czy na Mount Evereście można zagotować jajko na twardo? Założenia:
1/ ścinanie białka zachodzi w temperaturze
C
T
°
−
=
72
60
,
2/ związek temperatury wrzenia wody z ciśnieniem powietrza przy powierzchni wody jest
następujący:
x
x
T
T
p
p
A
1
1
ln
1
0
0
−
=
gdzie:
Pa
Pa
p
5
4
0
10
10
81
,
9
≈
⋅
=
,
K
T
373
0
=
,
K
A
34950
=
, a T
x
jest temperaturą wrzenia wody
pod ciśnieniem p
x
, przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od wysokości
przy czym
2
81
,
9
s
m
g
=
,
C
T
p
°
= 7
.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
(
)
g
K
T
mol
kg
J
R
m
h
p
8
,
28
280
31
,
8
8850
=
=
⋅
=
=
µ
R
k
m
kN
R
A
µ
=
=
( )
0
0
33
,
0
p
e
p
h
p
h
RT
g
=
⋅
=
−
µ
C
K
A
T
p
p
A
T
T
x
x
°
=
=
−
=
−
=
−
=
72
345
33
,
0
ln
34950
1
373
1
33
,
0
ln
1
1
ln
1
1
1
0
0
0
// czyli tak na ścisk, uda się, albo nie uda. W sensie, jest cień szansy.
10.5.
10.5.
10.5.
10.5. Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza spada do połowy swej wartości przy
powierzchni morza? Założyć, że przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą
od wysokości. Dane:
2
81
,
9
s
m
g
=
,
C
T
p
°
= 10
,
hPa
p
1000
0
=
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
( )
km
p
p
g
RT
h
p
e
p
h
p
h
RT
g
77
,
5
ln
5
,
0
0
0
0
=
=
⋅
=
⋅
=
−
µ
µ
11.1.
11.1.
11.1.
11.1. W zamkniętej butelce o objętości V
0
=500cm
3
znajduje
się
powietrze o temperaturze T
1
=27
0
C i ciśnieniu p
1
=1000 hPa.
Po
pewnym czasie słońce ogrzało butelkę do temperatury
T
2
=57
0
C. Oblicz liczbę cząsteczek gazu znajdującego się w
butelce, końcowe ciśnienie powietrza oraz ciepło pobrane
przez gaz. Narysuj wykres p(V).
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Szukamy:
?
=
N
?
2
=
p
?
=
Q
Końcowe ciśnienie:
Końcowe ciśnienie:
Końcowe ciśnienie:
Końcowe ciśnienie:
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
;
T
T
p
p
T
p
T
p
const
V
V
T
V
p
T
V
p
=
=
=
=
=
Pa
p
5
2
10
1
,
1
⋅
=
Liczba cząsteczek gazu:
Liczba cząsteczek gazu:
Liczba cząsteczek gazu:
Liczba cząsteczek gazu:
23
2
2
2
2
10
12
,
0
⋅
=
=
=
=
=
RT
VN
p
nN
N
RT
V
p
n
nRT
pV
A
A
Ciepło pobrane przez gaz:
Ciepło pobrane przez gaz:
Ciepło pobrane przez gaz:
Ciepło pobrane przez gaz:
J
T
T
R
n
dT
C
m
Q
U
pdV
U
W
U
Q
V
V
V
47
,
12
)
(
3
5
0
1
2
2
1
=
−
=
=
+
∆
=
+
∆
=
+
∆
=
∫
µ
11.2.
11.2.
11.2.
11.2. Butla gazowa o objętości V
1
=0,3m
3
wytrzymuje ciśnienie p
kr
=10
7
Pa. Znajduje się w niej
m=3369g azotu o temperaturze T
1
=27
0
C. Obliczyć ciśnienie gazu w temperaturze T
1
. Jeśli w
wyniku pożaru butla ogrzeje się to w jakiej temperaturze nastąpi jej rozerwanie? Masa
molowa azotu: μ
p
=28g.
Pa
V
RT
m
p
R
m
T
V
p
p
p
6
1
1
1
1
1
1
10
3
,
0
028
,
0
300
31
,
8
369
,
3
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
µ
µ
K
p
T
p
T
T
p
T
p
kr
kr
kr
kr
3000
1
1
1
1
=
=
=
11.3.
11.3.
11.3.
11.3. W procesie izobarycznym n=2 mole wodoru o temperaturze T
1
=300K i ciśnieniu
p
1
=10
6
Pa, zmniejszyło swoją objętość k=2 razy. Oblicz temperaturę końcową, pracę i ciepło
występujące w tym procesie. Przedstaw pracę na wykresie p(V).
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Przemiana izobaryczna – p = const
?
?
?
2
10
300
2
6
1
1
=
=
=
=
=
=
Q
W
T
k
Pa
p
K
T
K
k
T
kV
V
T
V
V
T
T
kV
V
T
V
T
V
150
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
=
=
=
=
=
=
(
)
(
)
(
)
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
V
V
p
T
T
n
C
dV
p
T
T
n
C
dV
p
U
W
U
Q
V
V
V
V
V
V
−
+
+
=
+
+
=
+
∆
=
+
∆
=
∫
∫
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1246
1
1
1
1
9146
nRT
V
p
J
k
nRT
k
V
p
V
V
p
W
J
T
T
n
C
Q
V
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
+
=
Praca została wykonana nad gazem, stąd ujemne wartości.
11.7.
11.7.
11.7.
11.7. W wyniku szybkiego rozprężeniu n=2 moli tlenu jego objętość wzrosła s=4 razy.
Obliczyć przyrost energii wewnętrznej tego gazu jeśli jego ciśnienie początkowe wynosiło
p
1
=8,31 x 10
6
Pa a temperatura T
1
=300K.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
zakładamy, że nie wystąpiła wymiana ciepła z otoczeniem - Przemiana adiabatyczna
?
300
10
31
,
8
4
2
1
6
1
=
∆
=
⋅
=
=
=
U
K
T
Pa
p
s
n
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
5
7
2
;
p
nRT
V
nR
T
V
p
T
V
p
V
V
p
p
V
p
V
p
pV
i
i
C
C
const
pV
V
p
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
+
=
=
=
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
=
−
−
=
−
=
−
=
∆
−
=
−
=
∆
=
+
∆
=
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
κ
s
V
p
s
V
V
p
V
V
V
p
U
sV
V
V
V
V
p
dV
V
V
p
dV
V
V
p
U
pdV
W
U
W
U
Q
s
V
V
V
V
V
V
11.10
11.10
11.10
11.10
.
.
.
.
Masę m = 160 g tlenu ogrzewa się od T
1
= 50°C do T
2
= 60°C. Obliczyć ilość
pobranego ciepła i zmianę energii wewnętrznej tlenu w przypadku, gdy ogrzewanie
zachodziło:
a) izochorycznie,
b) izobarycznie.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
(
)
?
?
8
,
28
31
,
8
333
60
323
50
16
,
0
160
1
1
=
∆
=
=
⋅
=
=
=
=
=
=
=
U
Q
g
mol
kg
J
R
K
C
T
K
C
T
kg
g
m
µ
o
o
a/ Izochorycznie -
const
V
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
2
5
2
5
2
5
T
T
mR
U
Q
m
n
T
T
mR
T
T
nR
T
T
n
C
U
V
−
=
∆
=
=
−
=
−
=
−
=
∆
µ
µ
µ
b/ izobarycznie -
const
p
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
7
2
5
2
5
T
T
mR
T
T
n
C
U
W
Q
m
n
T
T
mR
T
T
nR
T
T
n
C
U
p
V
−
=
−
=
∆
+
=
=
−
=
−
=
−
=
∆
µ
µ
µ
11.14.
11.14.
11.14.
11.14.
Oblicz wydajność silnika pracującego w cyklu pokazanym na rysunku. Dane: T
1
=600K,
T
2
=900K, T
3
=600K, gaz jednoatomowy - κ=1,67.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
1-2
–
przemiana
izobaryczna
const
p
=
(
)
1
2
2
1
T
T
n
C
Q
p
−
=
−
2-3
–
przemiana
izochoryczna
const
V
=
(
)
2
3
3
2
T
T
n
C
Q
V
−
=
−
3-4
–
przemiana
izobaryczna
const
p
=
(
)
3
4
4
3
T
T
n
C
Q
p
−
=
−
4-1 – przemiana izochoryczna
const
V
=
(
)
4
1
1
4
T
T
n
C
Q
V
−
=
−
p
V
T
1
1
p
1
V
K
T
600
3
=
2
1
p
2
V
K
T
900
2
=
3
2
p
2
V
K
T
600
3
=
4
2
p
1
V
?
4
=
T
K
K
T
T
T
p
T
T
T
p
p
T
p
T
T
T
p
p
T
V
p
T
V
p
T
V
p
T
V
p
400
900
600
600
:
3
2
2
3
1
1
2
3
1
1
1
1
2
4
2
3
1
2
3
2
2
2
2
1
4
1
2
1
1
1
=
=
=
=
=
=
⇒
=
→
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
4
1
1
2
4
1
3
4
2
3
1
2
4
1
1
2
4
1
3
4
2
3
1
2
1
4
2
1
T
T
T
T
C
T
T
T
T
T
T
T
T
C
T
T
C
T
T
C
n
T
T
C
T
T
C
T
T
C
T
T
C
n
Q
Q
W
C
C
C
C
V
V
V
p
V
p
V
p
V
p
V
p
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
=
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
+
=
=
=
−
−
κ
κ
κ
η
κ
κ
8.2.
8.2.
8.2.
8.2. W stronę nieruchomej masy m przedstawionej na rysunku 8.1. porusza się z prędkością -
v ciało o masie m i zderza się z nią centralnie. Jak długo trwa ruch masy zamocowanej do
nieważkiej sprężyny o współczynniku sprężystości k w przypadku, kiedy a) zderzenie mas
jest sprężyste b) zderzenie mas jest niesprężyste, a masy trwale przylegają do siebie? Ile
wynosi okres drgań w obu przypadkach? Tarcie zaniedbać.
8.3.
8.3.
8.3.
8.3. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne. W odległościach x
1
i x
2
od położenia równowagi
jej prędkości wynoszą v
1
i v
2
. Znaleźć amplitudę i częstość drgań cząstki.
?
?
,
,
2
1
2
1
=
=
ω
A
v
v
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
=
−
=
−
=
−
=
⋅
−
=
−
−
=
⇒
−
=
+
=
−
=
−
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
1
cos
cos
sin
1
sin
cos
ω
υ
ω
ω
υ
ω
ω
υ
ω
ω
υ
ω
ω
υ
ω
υ
ω
υ
ϕ
ω
ϕ
ω
A
x
A
x
A
A
A
A
x
A
A
A
x
A
A
x
x
x
x
x
A
t
A
x
t
otrzymujemy równanie z 2 niewiadomymi, wyciągamy
2
ω
:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
υ
ω
υ
ω
υ
ω
ω
υ
ω
ω
ω
υ
ω
Wstawiamy do
2
2
x
:
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
A
x
A
A
x
x
−
−
−
−
−
=
υ
υ
υ
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
ϕ
ω
ω
υ
ϕ
ω
ω
ω
−
−
=
∂
∂
=
−
=
+
=
t
A
t
x
t
t
A
t
x
t
A
t
A
t
x
sin
cos
sin
cos
2
1
i porządkujemy by wyciągnąć A:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
−
−
=
−
=
−
−
+
=
−
+
=
−
−
+
=
−
+
−
−
=
−
−
x
x
A
A
x
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
A
x
x
A
A
x
A
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
=
+
−
−
−
−
=
−
+
−
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
ω
υ
υ
υ
υ
υ
ω
tylko coś mi z tym „-„ nie terere
8.7*.
8.7*.
8.7*.
8.7*. Ile wynosi okres małych drgań kulki A w układzie złożonym z wahadła matematycznego
i nieważkiej sprężyny? Osobno wahadło matematyczne ma okres małych drgań T
1
, a kulka A
podwieszona tylko do sprężyny ma okres drgań T
2
.
g
l
T
π
2
1
=
osobno
k
m
T
π
2
1
=
kulki podwieszonej do sprężyny
ϕ
ϕ
π
ω
ω
mg
F
mg
F
T
x
x
m
k
m
F
t
x
≈
=
=
−
=
−
=
=
∂
∂
sin
2
2
2
2
przybliżenie dla bardzo małych drgań
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
sin
sin
sin
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
m
k
l
g
ml
kl
mg
t
t
ml
kl
mg
t
l
t
kl
mg
l
t
t
x
lm
kl
mg
t
m
l
I
Fl
M
I
M
t
kl
mg
kl
mg
t
x
kl
ka
F
l
a
+
⋅
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
∂
∂
−
=
−
=
∂
∂
−
−
=
∂
∂
⇒
∂
∂
=
+
−
∂
∂
=
∂
∂
≈
+
−
=
∂
∂
=
−
=
=
=
∂
∂
+
−
=
−
−
=
∂
∂
−
=
−
=
=
π
π
π
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
tu coś nie halloo
8.10*.
8.10*.
8.10*.
8.10*. Wyobraźmy sobie tunel wydrążony w Ziemi wzdłuż jej osi obrotu. W chwili t = 0 ciało A
zaczyna spadać swobodnie z powierzchni Ziemi w głąb tunelu, a ciało B zaczyna spadać w
głąb tunelu z odległości r = R
Z
/2 od środka Ziemi. Obliczyć czas t, po którym ciała się
spotkają i wskazać miejsce spotkania. Zaniedbać opór powietrza oraz założyć, że Ziemia jest
jednorodną kulą o promieniu R
Z
= 6400 km.
8.26.
8.26.
8.26.
8.26. W pewnym ośrodku wzdłuż osi y przemieszcza się monochromatyczna harmoniczna
fala płaska o długości λ. Znaleźć różnicę faz drgań cząstek ośrodka znajdujących się na
równoległych płaszczyznach A i B odległych od siebie o Δy. Płaszczyzny te są prostopadłe
do osi y.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Płaszczyzna A:
(
)
( )
A
A
s
ky
t
s
s
ϕ
ϕ
ω
cos
cos
0
0
=
+
−
=
Płaszczyzna B:
(
)
(
)
( )
B
B
s
y
y
k
t
s
s
ϕ
ϕ
ω
cos
cos
0
0
=
+
∆
+
−
=
y
k
y
k
ky
t
y
k
ky
t
A
B
∆
−
=
∆
=
∆
−
=
−
+
−
+
∆
−
−
=
∆
−
=
∆
λ
π
ϕ
λ
π
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
„-„ oznacza, że drgania w B są opóźnione w fazie o
y
∆
⋅
λ
π
2
w stosunku do A.
8.27*.
8.27*.
8.27*.
8.27*. W jednorodnym ośrodku sprężystym o gęstości ρ
0
rozchodzi się fala płaska
( )
(
)
kx
t
s
t
x
s
−
=
ω
cos
,
0
Sporządzić wykresy dla
ω
π
=
t
a) zależności
( ) (
)( ) (
)( )
x
x
s
x
t
s
x
s
∂
∂
∂
∂
,
,
( )
(
)
(
)
(
)
kx
t
s
kx
t
s
t
s
kx
s
t
x
s
−
−
=
−
−
=
∂
∂
−
=
ω
ω
ω
ω
π
sin
sin
cos
,
0
0
0
(
)
(
)
kx
ks
kx
t
ks
x
s
−
=
−
=
∂
∂
π
ω
sin
sin
0
0
??
b) zaznaczyć na wykresie dla s=0 kierunki prędkości cząstek ośrodka dla fali podłużnej i
poprzecznej,
??
c) zależności gęstości ośrodka ρ(x) dla fali podłużnej.
8.28.
8.28.
8.28.
8.28. Wykazać, że ogólne równanie fali płaskiej w postaci
( )
(
)
ϕ
ω
+
−
=
r
k
t
s
t
r
s
r
r
r
cos
,
0
spełnia równanie falowe.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
=
∂
∂
⋅
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
s
y
s
x
s
r
s
t
s
f
f
υ
υ
(
)
(
)
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
+
−
−
=
∂
∂
+
−
−
=
∂
∂
r
k
t
s
t
s
r
k
t
s
t
s
r
r
r
r
cos
sin
2
0
2
2
0
z
z
y
y
x
x
z
y
x
e
k
e
k
e
k
k
e
z
e
y
e
x
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+
+
=
+
+
=
( )
(
)(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
+
−
−
−
=
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
=
z
k
y
k
x
k
t
s
t
r
s
z
k
y
k
x
k
t
s
t
r
s
e
z
e
y
e
x
e
k
e
k
e
k
t
s
t
r
s
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
cos
,
cos
,
cos
,
0
0
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(
)
(
)
(
)
(
)
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
+
+
−
−
−
−
=
∂
∂
+
+
−
−
−
−
=
∂
∂
+
+
−
−
−
−
=
∂
∂
+
−
−
−
−
=
∂
∂
z
k
y
k
x
k
t
s
k
z
s
z
k
y
k
x
k
t
s
k
y
s
z
k
y
k
x
k
t
s
k
x
s
z
k
y
k
x
k
t
s
k
x
s
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
z
y
x
x
cos
cos
cos
sin
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
π
ϕ
ω
λ
π
υ
ϕ
ω
υ
ϕ
ω
υ
υ
+
−
−
=
+
−
−
=
=
+
−
=
+
−
−
=
=
+
−
+
+
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
kr
t
s
kr
t
s
T
kr
t
s
kr
t
k
s
kr
t
e
k
e
k
e
k
s
z
s
y
s
x
s
f
f
z
z
y
y
x
x
f
f
cos
cos
2
cos
2
cos
cos
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
r
r
r
T
k
f
λ
υ
λ
π
=
=
;
2
c.n.d.
8.29.
8.29.
8.29.
8.29. W zamocowanej na końcach strunie o długości b = 120 cm wytworzono falę stojącą. W
punktach odległych od siebie o d
1
= 15 cm i d
2
= 5 cm amplituda tej fali jest równa A
1
= 3,5
mm. Znaleźć maksymalną amplitudę tej fali. Której harmonicznej odpowiada ta fala?
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
?
0035
,
0
05
,
0
15
,
0
2
,
1
max
1
2
1
=
=
=
=
=
A
m
A
m
d
m
d
m
b
st
d
d
λ
=
+
2
1
n
b
st
=
λ
rząd fali stojącej
2
1
2
1
1
d
d
b
d
d
b
b
n
k
+
=
+
=
=
π
π
π
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
−
+
−
+
+
=
+
+
+
−
+
−
+
+
+
+
−
=
+
+
+
=
+
−
=
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
sin
sin
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
02
2
1
01
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
kx
t
s
s
s
kx
t
kx
t
kx
t
kx
t
s
s
s
kx
t
s
s
kx
t
s
s
( )
( )
( )
( )
kx
x
A
A
kx
A
x
A
sin
sin
max
max
=
=
2
2
2
2
1
1
d
x
d
x
=
=
( )
(
)
⋅
+
=
=
∧
⋅
+
=
=
2
sin
sin
2
sin
sin
2
2
1
1
2
1
max
1
2
1
1
1
1
max
d
d
d
A
kx
A
A
d
d
d
A
kx
A
A
π
π
8.30.
8.30.
8.30.
8.30. W ośrodku o gęstości ρ wytworzono mechaniczną podłużną falę stojącą. Wychylenie
cząsteczek ośrodka opisane jest równaniem:
( )
( )
t
kx
s
s
ω
cos
cos
2
0
=
. Obliczyć średnią gęstość
energii kinetycznej i średnią gęstość energii potencjalnej ruchu falowego w węzłach i w
strzałkach.
Rozwiązanie:
dV
dE
E
dV
dE
V
E
E
k
k
k
k
dV
k
=
=
∆
∆
=
→0
lim
( )
( )
( )
t
s
s
t
kx
s
s
ω
ω
cos
2
cos
cos
2
0
0
=
=
( )
( )
( )
( )
p
k
k
k
k
k
E
s
E
t
s
E
t
Vs
E
t
s
m
E
m
E
t
s
dt
ds
=
=
=
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
−
=
=
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
sin
2
sin
2
2
1
sin
4
2
1
sin
2
ρω
ω
ρω
ω
ρ
ω
ω
υ
ω
ω
υ
8.32.
8.32.
8.32.
8.32. W trzech równoodległych punktach znajdujących się
na jednej prostej dokonano pomiaru natężenia fali
emitowanej przez to samo źródło punktowe. Gdzie znajduje
się źródło fali, jeżeli natężenie fali w punktach skrajnych jest
jednakowe, a w punkcie środkowym większe o p = 10%?
Odległość między punktem środkowym a punktami
skrajnymi wynosi a = 10 m. Przyjąć:
a) fale są kuliste,
b) b) fale są koliste.
,
01
,
0
10
%,
10
m
cm
a
p
=
=
=
(
)
2
2
1
2
3
1
1
d
a
x
p
I
I
I
I
+
=
+
=
=
2
~ A
I
a/ kuliste
(
)
(
)
(
)
p
a
d
p
a
d
a
d
p
d
d
d
a
p
d
d
a
p
C
d
C
p
I
d
C
I
d
I
d
a
C
I
I
d
a
x
I
r
I
=
=
=
−
+
+
=
+
+
+
/
=
/
+
=
=
+
=
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
~
1
~
1
~
1
~
1
~
b/ koliste
2
2
1
3
2
2
1
1
~
1
~
1
~
1
~
d
a
C
I
I
d
a
x
I
r
I
+
=
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
~
p
p
a
d
p
p
a
d
a
d
p
p
d
d
d
a
p
d
p
d
d
d
a
dp
d
d
a
p
d
d
a
p
C
d
C
p
I
d
C
I
d
I
+
=
+
=
=
−
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
/
=
/
+
=
=
8.33.
8.33.
8.33.
8.33. Punktowe źródło fal o mocy P znajduje się w środku walca o promieniu R i
wysokości h. Przyjmując, że ścianki walca całkowicie tłumią fale, obliczyć średni
strumień energii padający na boczną powierzchnię walca.
?
=
Φ
R
h
P
(
)
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
0
0
2
0
0
0
2
2
2
1
2
1
1
4
4
4
2
1
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
sin
1
1
2
1
2
1
sin
sin
4
sin
4
cos
2
2
cos
2
4
4
+
=
+
=
=
Φ
+
=
+
=
+
=
⋅
+
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
Φ
=
=
Φ
∫
h
R
P
h
R
r
r
P
dS
r
P
d
h
R
h
R
h
R
h
h
R
h
h
r
r
d
r
S
r
r
dS
dS
r
P
d
r
P
I
IdS
d
π
π
π
α
α
α
π
α
π
α
α
π
α
π
π
π
α
α
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
fizyka 4 11 17, SiMR - st. mgr, fizyka mgr, FIZYKA II KOLO, FIZYKA II KOLO, fizyka-kolokwium II,
MIKRO KOŁO II
KOŁO II
Giełda Koło II z odpowiedziami
Wyklad GENY, Koło II GENY
lepto moje, Studia, IV ROK, Bydło, Zakaźne, zakazy bydło, koło 2, EPI koło II
lab 13, Notatki, FIZYKA, SEMESTR II, laborki, lab
czytanie koło II Man?out the House
skóra koło II
kolo II interna
diagnoza kolo II
fizyka kolo sciaga
Koło II reumatologia
fizyka koło 2
Edukacja zdrowotna koło II
Zdrowie kolo II, UŚ Psychologia, Psychologia zdrowia i jakości życia
więcej podobnych podstron