Ć

wiczenie 6

1.

Znajdź grupa ilorazową 3Z/15Z

2.

Wyznaczyć wszystkie warstwy w grupie addytywnej Z

12

względem podgrupy

H={0,3,6,9}.

3.

Znajdź warstwy lewostronne grupy cyklicznej G=(x) rządu 10 względem podgrupy

H=(x

2

).

4.

Znajdź wszystkie generatory grupy cyklicznej G=(x) rządu 10.

5.

Ile istnieje z dokładnością do izomorfizmu grup rządu 5, oraz 7?

6.

Udowodnij, że centrum Z(G) = {x∈G | ∀g∈G xg=gx} grupy G jest grupą normalną

grupy G.

7.

Wyznaczyć centrum grupy (względem mnożenia) macierzy postaci:





















1

0

0

1

0

1

c

b

a

, gdzie a,b,c ∈ R.

8.

Udowodnić, że każdy wewnętrzny automorfizm grupy abelową jest identycznościowy.

9.

Przekształcenie f: G → G jest określone wzorem f(x) = x

-1

. Wykazać, ze f jest

automorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest abelowa.

10.

Udowodnić, że grupa G=













≠

+

∈













−

0

,

,

2

2

b

a

R

b

a

a

b

b

a

z działaniem mnożenia

macierzy jest izomorficzna grupie C*=C\{0} 0 niezerowych liczb zespolonych
względem mnożenia.

11.

Definicje:

•

podgrupa normalna, warstwy, grupa ilorazowa

•

centrum grupy

•

homomorfizm, izomorfizm grupy

•

endomorfizm, automorfizm, automorfizm wewnętrzny grupy

•

jądro, obraz homomorfizmu