Równania Różniczkowe Zwyczajne
ZESTAW 5.
Równanie Bernoulliego
Zad.1 Rozwiązać równania
√
(a) xy0 − 4 y = x 2 y, (b) y0 − xy = −y 3 e−x 2 , q
(c) (1 + x 2) y0 − 2 xy = 4 y(1 + x 2) arc tg x, (d) y0 + 3 y = x
√ .
y
Zad. 2 Rozwiązać zagadnienia początkowe: (a) y0 + 1 y = y 2 ln x , y(1) = 4 ,
x
x
√
(b) y0 + xy = x y, y(0) = 4 .
1 −x 2
9
Równanie Riccatiego
Zad.1 Niech y 1 będzie rozwiązaniem równania Riccatiego y0 + a( x) y 2 + b( x) y =
c( x) . Wykazać, że podstawienie y = y 1 + 1 sprowadza to równanie do u
równania liniowego.
Zad.2 Rozwiązać podane równania, znając ich rozwiązanie szczególne y 1( x) : (a) y0e−x + y 2 − 2 yex = 1 − e 2 x, y 1( x) = ex,
(b) y0 = y 2 − (4 x + 1) y + 4 x 2 + 2 x + 2 , y 1( x) = 2 x.
Zad.3 Rozwiązać równania:
(a) y0 − 2 xy + y 2 = 5 − x 2 , (b) xy0 − y 2 + (2 x + 1) y = x 2 + 2 x, (c) y0 + y 2 = − 1 , 4 x 2
(d) y0 − y 2 − y = 1 , x
x 2
(e) y0 + 2 yex − y 2 = e 2 x + ex.