Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią na
zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Materiały do zajęć:
Równania różniczkowe
Równanie różniczkowe zwyczajne.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
2
1. Organizacja zajęć.
Temat 5: Równania różniczkowe.
1. Równanie różniczkowe zwyczajne – definicja i podstawowe pojęcia
2. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
3. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
2. Literatura:
1) Krysicki W., Włodarski L. [2008], „Analiza matematyczna w zadaniach część II”,
wydanie 27, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
2) Matwiejew N. M. [1974], „Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych”, PWN,
Warszawa.
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
3
3. Materiały do zajęć:
Temat 5: Równania różniczkowe.
zad. 1) Rozwiązać równanie różniczkowe: 𝑦
′
= 𝑥
2
zad. 2) Rozwiązać problem Cauchy’ego: {
𝑦
′
= √𝑥
𝑦(1) = 1
zad. 3) Rozwiązać równania różniczkowe/problemy Cauchy’ego:
a) 2𝑥
2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦
b) 𝑦
′
=
𝑦 ln 𝑦
sin
2
𝑥
c) {
𝑦
′
=
𝑦
2
+1
𝑥𝑦
𝑦(−2) = 1
d) 𝑦
′′
= 𝑥
2
e) sin 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 cos 𝑥
f) (1 + 𝑥
2
)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= √1 − 𝑦
2
g) {
𝑦
′
= (𝑥 − 𝑦)
2
+ 1
𝑦(0) =
1
2
h) 𝑦
′
= 2𝑥 + 3𝑦 + 1
i) 2𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑥
2
− 2𝑦
2
= 0
j) (𝑥 − 1)(𝑦
2
− 𝑦 + 1) − (2𝑦 − 1) (𝑥
2
+ 𝑥 +
5
4
)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
k) 𝑦
′
−
𝑦
𝑥
=
1
2𝑦
l) 𝑦
′
− 2𝑥𝑦 = 2𝑥
3
𝑦
2
m) 𝑦
′
= 1 +
1
𝑥
−
1
𝑦
2
+1
−
1
𝑥(𝑦
2
+1)
n) 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 2𝑥
3
o) {
𝑦
′
= (2𝑥 + 𝑦 − 3)
2
− 2(2𝑥 + 𝑦 − 3) − 1
𝑦(0) = 2
p) {
𝑦
′
− 𝑥𝑦 = 𝑥𝑒
𝑥
2
𝑦(0) = 4
q)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 2𝑒
3𝑥
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
4
r)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 4𝑦 = 2𝑒
4𝑥
s)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑥
2
t)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 7 sin 3𝑥
zad. 4) Cenowa elastyczność popytu jest funkcją postaci 𝐸𝑓(𝑥) = 4𝑥
2
. Wyznaczyć funkcję
popytu 𝑓, jeśli 𝑓(0) = 1.
zad. 5) Równanie logistyczne
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥(𝑎 − 𝑏𝑥) opisuje wzrost populacji pewnego gatunku
w izolowanym środowisku (np. żółwi olbrzymich na jednej z wysp archipelagu
Galapagos). Przez 𝑥(𝑡) oznaczamy wielkość (zagęszczenie) populacji, 𝑎 (współczynnik
rozrodczości gatunku) i 𝑏 (współczynnik konkurencji między osobnikami jednego
gatunku) są pewnymi stałymi empirycznymi.
a) Znaleźć rozwiązanie tego równania.
b) Wyznaczyć stałą 𝐶 jeśli dla 𝑎 = 2, 𝑏 =
1
2
populacja początkowa 𝑥(0) = 2.
Narysować wykresy otrzymanego rozwiązania dla kilku wybranych wartości
parametrów 𝑎 i 𝑏.
c) Wykazać, że 𝑥(𝑡) →
𝑎
𝑏
(tzw. pojemności środowiska) gdy 𝑡 → +∞ dla wszystkich
wartości 𝑥(0) > 0. Zinterpretować otrzymany wynik.
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
5
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
zad. 1) Rozwiązać równania:
a) 𝑦
′
= 2𝑦
b) 𝑦
′
=
𝑥
3 +
𝑦
𝑥
+
𝑦
𝑥
c) (𝑥 − 1)(𝑦
2
− 3𝑦 + 2) − (𝑦 − 1)(𝑥
2
+ 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
d) 𝑥
2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= sin
1
𝑥
e) sin
2
𝑥 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
= 1
f) cos 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 sin 𝑦 (5 cos
3
𝑥 − 3 cos 𝑥)
g) (𝑥 + 𝑦)
2
(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 1) = 1
h) 𝑥
2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥
2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦
2
i) 𝑒
𝑥
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑥𝑦
j)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑥𝑦 = 𝑥𝑒
𝑥
2
k) 𝑦
′
+ 𝑦 + 𝑥√𝑦 = 0
l)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
sin 𝑥 + 𝑦 cos 𝑥 = sin(2𝑥)
m) 𝑥
2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
= 1
n) 𝑒
−
1
𝑥
𝑦
3
+ 𝑥
2
𝑦
2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
o) 𝑥
2
+ 𝑦
2
= 2𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
p) 𝑦
′
−
𝑦
𝑥
= 2𝑥
2
q) cos 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 sin 𝑥 = 2 sin 𝑥
r)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 25𝑥
2
𝑒
3𝑥
s)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑒
−𝑥
t)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑥
2
− 𝑥 − 1
u) 𝑦
′
− 𝑦 = 𝑥
2
− 2𝑥 + 3
v)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 5 cos(2𝑥)
w)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 𝑥𝑒
2𝑥
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
6
Odpowiedź (jeśli nie podano inaczej 𝐶 ∈ ℝ):
a) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒
2𝑥
b) 𝑦(𝑥) = 𝑥(−3 ± √9 + 2𝑥 + 2𝐶)
c) 𝑦(𝑥) = 1, 𝑦(𝑥) = 2 + 𝐶𝑒
− arctg 𝑥
√𝑥
2
+ 1
d) 𝑦(𝑥) = cos
1
𝑥
+ 𝐶
e) 𝑦(𝑥) = ± sin 𝑥 + 𝐶
f) 𝑦(𝑥) = arcsin(𝐶𝑒
6 sin 𝑥 − 5 sin
3
𝑥
)
g) 𝑦(𝑥) = √3𝑥 + 𝐶
3
h) 𝑦(𝑥) = 𝑥 tg(ln |𝑥| + 𝐶)
i) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒
1
2
𝑒
−𝑥2
j) 𝑦(𝑥) = 𝑒
𝑥
2
+ 𝐶𝑒
1
2
𝑥
2
k) 𝑦(𝑥) = (2 − 𝑥 + 𝐶𝑒
−
1
2
𝑥
)
2
l) 𝑦(𝑥) =
−
1
2
cos(2𝑥) + 𝐶
sin 𝑥
m) 𝑦(𝑥) = ±
1
2
(𝑥√1 − 𝑥
2
+ arcsin 𝑥) + 𝐶
n) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒
−
1
𝑥
o) 𝑦(𝑥) = ±√𝑥
2
+ 𝐶𝑥
p) 𝑦(𝑥) = 𝑥
3
+ 𝐶𝑥
q) 𝑦(𝑥) = 1 + 𝐶 cos
2
𝑥
r) 𝑦(𝑥) = (5𝑥
2
− 2𝑥 +
2
5
) 𝑒
3𝑥
+ 𝐶𝑒
−2𝑥
s) 𝑦(𝑥) = (𝑥 + 𝐶)𝑒
−𝑥
t) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒
−2𝑥
+
1
2
𝑥
2
− 𝑥
u) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒
𝑥
− 𝑥
2
− 3
v) 𝑦(𝑥) = 2 sin(2𝑥) − cos(2𝑥) + 𝐶𝑒
𝑥
w) 𝑦(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑒
2𝑥
+ 𝐶𝑒
𝑥