Wykłady z analizy matematycznej dla I roku Elektroniki i

Telekomunikacji

Wiadomości wstępne

Literatura

1)

W. Żakowski, G. Decewicz ”Matematyka cz. I” Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1991

2)

W. Żakowski, W. Kołodziej ”Matematyka cz. II” Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995

3)

L. Drużkowski ”Analiza matematyczna. Podstawy”

,

Wydawnictwo Uniwersytetu Jegielońskiego, Kraków 1998

4)

G. M. Fichtenholz ”Rachunek różniczkowy i całkowy”, PWN, Warszawa 1978

5) M. Malec “Elementarny wstęp do współczsnej analizy matematycznej”, Wydawnictwa AGH, Kraków 1996

6)

M. Malec “Przestrzenie metryczne” , Wydawnictwa AGH, Kraków 2000

7) J. Banaś, S. Wędrychowicz “Zbiór zadań z analizy matematycznej”, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,

Warszawa 1993, 1997

8) W. Stankiewicz ”Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych” cz.I, PWN, Warszawa 1997
9) W. Stankiewicz, J. Wojtowicz ”Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych” cz. II, PWN Warszawa

1976

Oznaczenia:
∀ dla każdego ( uogólnienie pojęcia “koniunkcji” na dowolną liczbę zdań logicznych )
∃ istnieje ( uogólnienie pojęcia “alternatywy” )
:= równe z definicji

:

równoważne z definicji

-zbiór liczb naturalnych ,



1,2,3,...



0



0







0,1,2,...



- zbiór liczb całkowitych

- zbiór liczb wymiernych

- zbiór liczb rzeczywistych



- zbiór liczb zespolonych

Charakterystyczną cechą zbioru

jest

zasada indukcji matematycznej :

Jeśli jakieś twierdzenie T n ma zachodzić



n

n

0

,

n , n

o



, to

dowód indukcyjny

przeprowadzamy w II etapach:

I. Sprawdzamy, czy twierdzenie zachodzi dla n

0

:

T n

0

II. Dowodzimy następnie

lemat indukcyjny:

Lemat

Zał. T(n

0

), T(n

0

+1), ... , T(k) dla k

≥

n

0 ,

k



Teza T (k+1)

- 1 -

Często wystarczy udowodnić

Lemat
Zał.

T k , k



n

0

Teza T k



1

Przykład.
Udowodnić

nierówność Bernoulliego



n



(1+p )

n

≥ 1 + np, gdzie p > -1

Dowód indukcyjny.

I. Nierówność jest prawdziwa dla n=1 bo

1 + p ≥ 1+p

II. Zał. Zakładamy, że nierówność zachodzi dla n=k

(1+p )

k

≥ 1 + kp

Teza Wykażemy prawdziwość nierówności dla n=k+1

(1+p )

k+1

≥ 1 + (k+1)p

Dowód

Przekształcamy nierówność z tezy lematu indukcyjnego

(1+p )

k+1

≥ 1 + (k+1)p

(1+p )

k

(1+p) ≥ 1 + kp + p

(1+p )

k

(1+p) ≥ (1+p) + kp

(1+p)[ (1+p )

k

- 1] ≥ kp

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ (1+p )

k

- 1 ≥ kp na podstawie założenia

indukcyjnego, stąd

(1+p)[ (1+p )

k

- 1] ≥ (1+p)kp = kp+kp

2

≥ kp.

Definicje rekurencyjne

Np.

- definicja rekurencyjna silni:

{

0 !



1

n



1 !



n



1



n ! , n



0

=>

n !



n



n

1



...



2



1, n

!"

#

definicja symbolu ∑:

$

j = 1

1

a

j

:= a

1

%

$

j = 1

n+1

a

j

=

$

j = 1

n

a

j

&

a

n+1

dla n

'(

- 2 -

Stąd

)

j = 1

n+1

a

j

= a

1

*

a

2

+

...

,

a

n

.

Niech

A

-/.

i A

021

.

Def. Kresem górnym (supremum) zbioru A

354

nazywamy liczbę – oznaczoną

supA –

spełniającą warunki:

6

7

supA

- kres górny zbioru A :

8

{

9

a

:

A

a

;

supA

<

r

=

supA

>

a

?

A : a

@

r

Def. Kresem dolnym (infinium) zbioru A

A5B

nazywamy liczbę – oznaczoną

infA –

spełniającą warunki:

C

D

infA

- kres dolny zbioru A :

E

{

F

a

G

A

a

H

infA

I

r

J

infA

K

a

L

A : a

M

r

Zasada osiągania kresów w

N

(

zasada zupełności zbioru

O

):

I. Każdy zbiór ograniczony z góry posiada kres górny, tzn.

PRQ

A -

zbiór ograniczony z góry

S

T

supA

UV

II.Każdy zbiór ograniczony z dołu posiada kres dolny, tzn.

WRX

A -

zbiór ograniczony z dołu

Y

Z

infA

[]\

Rozszerzenie zbioru

^

:

Definiujemy

_

`

:=

acb

dfegd

b

Wtedy

h

a

ikj

lcmon

a

pcq

r

b

s

t

u

vcwox

b

ycz

- 3 -

Suma i iloczyn dowolnej rodziny zbiorów
Niech I – dowolny zbiór,

I

{}|

.

Niech

A

i i

~

I

będzie rodziną zbiorów indeksowaną wskaźnikami ze zbioru wskaźników I.

Definiujemy



i

€

I

A

i

:= x :



i

‚

I

x

ƒ

A

i

-

suma (unia) zbiorów

A

i

„

i

…

I

A

i

:= x :

†

i

‡

I

x

ˆ

A

i

-

iloczyn (przecięcie) zbiorów

A

i

Para uporządkowana

(a,b) := {{a},{a,b}}
(a,b) = (c,d)

‰

a = c

Š

b = d

Uporządkowany układ n elementów
(a

1

, a

2

, ..., a

n

) := ((a

1

, ..., a

n-1

), a

n

) dla n

≥ 3, n

‹Œ

Iloczyn kartezjański zbiorów A i B:

A



B := x , y : x

Ž

A



y



B

n

X

i

‘

1

A

i

’

A

1

“

A

2

”

...

•

A

n

–

a

1

,a

2

,... ,a

n

: a

1

—

A

1

, a

2

˜

A

2

, ... , a

n

™

A

n

Ciągi liczbowe

Def.
Ciąg (a

n

) nazywamy

ograniczonym z góry

:

š

›

M

œ

R :



n

ž Ÿ

a

n

¡

M

Def.
Ciąg (a

n

) nazywamy

ograniczonym z dołu

:

¢

£

m

¤

R :

¥

n

¦ §

a

n

¨

m

Def.
Ciąg (a

n

)

nazywamy

ograniczonym

:

©

ª

K

«

0 :

¬

n

­ ®

a

n

¯

K

Tw.

Niech

a

n n

°²±

,

b

n n

³²´

- ciągi.

- 4 -

Jeśli

lim

n

µ·¶

a

n

¸

0

i

b

n n

¹»º

- ograniczony , to

lim

n

¼f½

a

n

¾

b

n

¿

0

.

Przykład

lim

n

ÀÂÁ

1
n

Ã

sin n

Ä

0 , ponieważ lim

n

ÅÇÆ

1
n

È

0 , a ciąg

b

n

É

sin n

jest ograniczony.

Tw. (o trzech ciągach)

Niech

a

n n

ʲË

,

b

n n

̲Í

,

c

n n

ΠÏ

- ciągi

Jeżeli

Ð

n

Ñ

n

0

a

n

Ò

b

n

Ó

c

n

oraz

lim

n

ÔÖÕ

a

n

×

lim

n

ØÚÙ

c

n

Û

g ,

to

lim

n

ÜfÝ

b

n

Þ

g

.

Kryterium zbieżności d'Alemberta

lim

n

ß/à

a

n

á

1

a

n

â

1

ã

ci g

ą a

n n

äæå

jest zbie ny

ż

ç

lim

n

è/é

a

n

ê

0

Przykład

Niech a

n

ë

2

n

ì

n !

n

n

. Obliczyć lim

n

íïî

2

n

ð

n !

n

n

Stosujemy kryterium zbieżności d'Alemberta

lim

n

ñÂò

2

n

ó

1

ô

n

õ

1 !

n

ö

1

n

÷

1

2

n

ø

n !

n

n

ù

lim

n

ú û

2

ü

n

ý

1

n

þ

1

n

n

ÿ

n 1

lim

n



2

n



1

n

n



2
e



1

stąd

lim

n



2

n



n !

n

n



0 .

- 5 -

Tw. ( o ciągu monotonicznym i ograniczonym )

1. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

2. Jeżeli ciąg jest ciągiem rosnącym ograniczonym z góry, to jest zbieżny.

3. Jeżeli ciąg jest ciągiem malejącym ograniczonym z dołu, to jest zbieżny.

Tw. (o iloczynie ciągu ograniczonego i zbieżnego)
Niech

a

n n



, b

n n



- ciągi

Jeżeli

lim a

n



0

oraz

b

n n



- ograniczony tzn.



K



0 : b

n



K dla n



,

to

lim

n



a

n



b

n



0

.

Tw.

Ciąg

a

n n

!

, gdzie a

n

"

1

#

1

n

dla n

$%

jest rosnący i ograniczony.

Dowód
1. Korzystając z nierówności Bernoulliego wykazuje się, że ciąg

a

n n

&'

jest ciągiem

rosnącym

2. Wystarczy wykazać, że ciąg

a

n n

()

jest ograniczony z góry. Korzystamy z dwumianu

Newtona:

1

*

1
n

n

+-,

k

.

0

n

n
k

/

1

n

k

0

1

1

n
1

2

1
n

3

n
2

4

1

n

2

5

...

6

n
n

7

1

n

n

=

= 1

8

n !

n

9

1 !

:

1 !

;

1
n

<

n !

n

=

2

>

2 !

?

1

n

2

@

n !

n

A

3 !

B

3 !

C

1

n

3

D

...

E

n !
n !

F

1

n

n

=

= 1

G

1

H

n

I

n

J

1

2 !

K

1

n

2

L

n

M

n

N

1 n

O

2

3 !

P

1

n

3

Q

...

R

n !
n !

S

1

n

n

≤

≤ 2

T

1

2 !

U

1

3 !

V

1

4 !

W

...

X

1

n !

≤

≤ 2

Y

1
2

Z

1

2

2

[

1

2

3

\

...

]

1

2

n

^

1

=

= 3

_

1
2

n

`

1

≤ 3

- 6 -

Wniosek Istnieje granica lim

n

ab

1

c

1
n

n

Def.

e :

d

lim

n

egf

1

h

1

n

n

Tw.
1. Jeżeli albo

a

n

ikjml

albo

a

n

npomq

przy n

rtsvu

, to

lim

n

wgx

1

y

1

a

n

a

n

z

e

2. Jeżeli

a

n

{

0

przy

n

|t}v~

to:

lim

n

€

1

‚

a

n

1

a

n

ƒ

e

Przykład

a

n

„

n

…

2

n

†

5

n

‡

n

ˆ

2

‰

7

Š

7

n

‹

5

n

Œ

1



7

n

Ž

5

n



1



7

n

‘

5

n

’

5

“

7

”–•

7

n

—

5

˜

n

™

n

šœ›

e



7

ponieważ

lim

n

žœŸ

1

 

7

n

¡

5

n

¢

5

£

7

¤

e oraz lim

n

¥¦

§

7n

n

¨

5

©«ª

7

Tw.

lim

n

¬­

n

n

®

1

Dowód
Niech

n

n := 1

¯

b

n

. Wtedy

b

n

°

0 i

n

±

1

²

b

n

n

Korzystając ze wzoru Newtona otrzymujemy

n

³µ´

k

¶

0

n

n
k

b

n

k

·

1

¸

n

¹

b

n

º

n
2

»

b

n

2

¼

...

½

b

n

n

.

Stąd n

¾

n
2

b

n

2

,

- 7 -

n

¿

1
2

n n

À

1 b

n

2

,

2

n

Á

1

Â

b

n

Ã

0

Zatem lim

n

ÄÅ

b

n

Æ

0 na podstawie tw. o trzech ciągach.

- 8 -